高等數(shù)學(xué)--幾何中的應(yīng)用

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面 第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2一、一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例引例 ,)()()(ttztytx)(),(),()(),(ttttfzyxr記 的向量方程,),(ttfrMrxzyO 對 上的動點M ,即 是此方程確定映射3R, :f,稱此映射為一元向量 ，顯然OMr r的終點M 的軌跡 ,值函數(shù). 要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性連續(xù)性和光滑性光

2、滑性，就需要引進向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.已知空間曲線 的參數(shù)方程:此軌跡稱為向量值函數(shù)的 終端曲線終端曲線 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3定義定義 給定數(shù)集 D R , 稱映射nDfR:為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）, 記為Dttfr),(定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進行討論.則設(shè),),(),(),()(312Dttftftftf極限極限：連續(xù)連續(xù)：導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)：嚴格定義見P90)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(32

3、1tftftftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面僅以 n = 3 的情形為代表目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則: (P91)設(shè)vu,是可導(dǎo)向量值函數(shù), )(t是可導(dǎo)函數(shù), 則OCtdd) 1 ()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutC 是常向量, c 是任一常數(shù),)()()()7(ddtuttut目錄 上頁 下頁

4、返回 結(jié)束 5向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在 R3中, 設(shè)Dttfr),(的終端曲線為 , 切線的生成MxzyOr)(0tf tr)(),(00ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t 的增長方向一致.)(0tf , 則0)(0 tf設(shè)r目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè))(tfr 表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有 )()(tftv)(tva)(tf ).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1 設(shè)設(shè)速度向量：加速度向量

5、：解解 ktjtittftttt4444lim)sinlim()coslim()(limkji42222)(4f目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7例例2 設(shè)空間曲線 的向量方程為 求曲線 上對應(yīng)于解解 20t)62, 34, 1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的點處的單位切向量.R,t故所求單位切向量為)31,32,32()2()2(ff)2, 4, 4()2( f222)2(44)2( f其方向與 t 的增長方向一致另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為)31,32,32(= 6目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8例例3 一人懸掛在滑翔機上, 受快速上升氣流影響作螺求旋式上

6、升, 其位置向量為),sin3,cos3(2tttr (1) 滑翔機在任意時刻 t 的速度向量與加速度向量;(2) 滑翔機在任意時刻 t 的速率;(3) 滑翔機的加速度與速度正交的時刻.解解 (1)2,sin3,cos3(ttva)2,cos3,3sin()(ttttrv222)2()cos3()sin3()()2(ttttr249t0av(3) 由即, 04sincos9cossin9ttttt,0t得即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9二、二、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面TM置.)(),(),()(ttttf：給定光滑曲線 在)(),()

7、,()(ttttf點法式可建立曲線的法平面方程利用時，不同時為，則當(dāng)0點M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程空間光滑曲線在點 M 處的 為此點處割線的極限位切線切線過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的 法平面法平面.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 101. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況,),(, )(, )(ttztytx：因此曲線 在點 M 處的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),(0000ttzyxM對應(yīng)上的點設(shè)則 在點M 的導(dǎo)向量為)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt法平面方程法平面方程 )(

8、),(),()(0000ttttfM)(0tf 不全)(),(),(000ttt給定光滑曲線為0, 切線方程切線方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11例例4 求曲線32,tztytx在點 M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. ,3,2, 12tztyx解解 , 10t點(1, 1, 1) 對應(yīng)于故點M 處的切向量為)3, 2, 1 (T因此所求切線方程為 111zyx123法平面方程為) 1( x) 1(2y0) 1(3z即632zyx)()(:xzxy思考思考: 光滑曲線光滑曲線的切向量有何特點?), 1(T答答:)()(:xzxyxx切向量目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12

9、時，當(dāng)0),(),(zyGFJ2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxyxydd曲線上一點),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點),(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(M

10、xzGF),(),()(0yy0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14例例5 求曲線0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令, 6222zyxGzyxF則即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1506222zyxzyx法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解

11、法解法21ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1方程組兩邊對 x 求導(dǎo), 得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點點 M (1,2, 1) 處的處的切向量切向量011)1,0, 1(T目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 170),(:zyxF三、三、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxM0tt 設(shè)對應(yīng)點 M,)(, )(, )

12、(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點 M 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線下面證明: 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT此平面稱為 在該點的切平面切平面.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18MT證證 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0處求導(dǎo)兩邊在tt ,0Mtt對應(yīng)點注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),

13、(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點 M 的 法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz 切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 過M點且垂直于切平面的直線 MTn法向量法向量:稱為曲面 在點 M 的

14、法線法線. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20)(,(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點),(zyx故當(dāng)函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點),(000zyx當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx特別特別,全微分的幾何意全微分的幾何意目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0

15、000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22例例6 求球面14222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解 令令14),(222zyxzyxF所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法線方程法線方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()3,

16、 2, 1(n即321zyx(可見法線經(jīng)過原點，即球心)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23例例7 確定正數(shù) 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2解解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 241. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 x

17、xt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25切線方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情況.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zzT目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 26空間光滑

18、曲面0),(:zyxF法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面 在點的),(000zyxM法向量法向量目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 27空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn目錄