2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第5章53平面向量的數(shù)量積

1、5.3平面向量的數(shù)量積最新考綱考情考向分析1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運算、投影、求模與夾角等問題，考查利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個向量的夾角、模以及判斷兩個平面向量的平行與垂直關(guān)系.一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾會在解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題.1.向量的夾角兩個非零向量a和b，作a，b，那么AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，.2.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非

2、零向量a，b的夾角為，那么數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.向量數(shù)量積的運算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b).(3)(ab)cacbc.4.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為.結(jié)論符號表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|概念方法微思考1.a在b方向

3、上的投影與b在a方向上的投影相同嗎提示不相同.因為a在b方向上的投影為|a|cos，而b在a方向上的投影為|b|cos，其中為a與b的夾角.2.兩個向量的數(shù)量積大于0，那么夾角一定為銳角嗎提示不一定.當(dāng)夾角為0時，數(shù)量積也大于0.題組一思考辨析1.判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“)(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.()(2)由ab0可得a0或b0.()(3)(ab)ca(bc).()(4)假設(shè)ab0是“a與b的夾角為銳角的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，假設(shè)ab0，那么a與b的夾角為銳角或零角，

4、假設(shè)a與b的夾角為銳角，那么一定有ab0，所以“ab0是“a與b的夾角為銳角的必要不充分條件，應(yīng)選B.5.矩形ABCD中，|6，|4，假設(shè)點M，N滿足3，2，那么等于()A.20B.15C.9D.6答案C解析因為ABCD為矩形，建系如圖.A(0,0)，M(6,3)，N(4,4).那么(6,3)，(2，1)，62319.6.向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，那么|a2b|_.答案2解析方法一|a2b|2.方法二(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，那么|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.平面向量數(shù)量積的根本運算例1如圖，在梯形AB

5、CD中，ABCD，CD2，BAD，假設(shè)2，那么_.答案12解析方法一(幾何法)因為2，所以，所以，因為ABCD，CD2，BAD，所以2|cos，化簡得|2.故()|2(2)222cos12.方法二(坐標(biāo)法)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy.依題意，可設(shè)點D(m，m)，C(m2，m)，B(n，0)，其中m0，n0，那么由2，得(n，0)(m2，m)2(n，0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化簡得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.思維升華平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當(dāng)向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)當(dāng)向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即假設(shè)

6、a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.跟蹤訓(xùn)練1(1)在正三角形ABC中，D是BC上的點，假設(shè)AB3，BD1，那么_.答案解析如下列圖，()93cos120.(2)梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，且DAB90，AB2，AD1，假設(shè)點Q滿足2，那么等于()A.B.C.D.答案D解析以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下列圖，那么B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，又2，Q，1.應(yīng)選D.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點1求向量的模例2(1)(2022遵義統(tǒng)考)兩個單位向量a和b的夾角為120，k

7、R，那么|kab|的最小值為()A.B.C.1D.答案B解析|kab|2k2a22kabb2因為a和b是單位向量，且夾角為120，所以|kab|2k2a22kabb2k2|a|22k|a|b|cosa，b|b|2k2k12，所以|kab|，所以|kab|的最小值為.(2)(2022四川雙流中學(xué)診斷)如圖，在ABC中，M為BC的中點，假設(shè)AB1，AC3，與的夾角為60，那么|_.答案解析M為BC的中點，()，|2()2(|2|22)(19213cos60)，|.命題點2求向量的夾角例3(1)(2022昆明一中檢測)向量a，|b|2，且ab1，那么a與b的夾角為()A.30B.45C.60D.90

8、答案C解析|a|1，cosa，b，a與b的夾角為60.(2)e1，e2是互相垂直的單位向量.假設(shè)e1e2與e1e2的夾角為60，那么實數(shù)的值是_.答案解析由題意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos60，解得.思維升華 (1)求解平面向量模的方法利用公式|a|.利用|a|.(2)求平面向量的夾角的方法定義法：cos，的取值范圍為0，.坐標(biāo)法：假設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么cos.解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022江西省臨川一中模擬)向量a(3,4)，b(1，k)，且ab，那么a4b與a的夾角為_.答案解析因為a

9、b，故ab0，所以34k0，故k，故a4b(1,7)，設(shè)a4b與a的夾角為，那么cos，因0，故.(2)(2022日照模擬)向量a，b，c滿足|a|4，|b|2，a，b，(ca)(cb)1，那么|ca|的最大值為_.答案1解析設(shè)a，b，c，以O(shè)A所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，|a|4，|b|2，a與b的夾角為，那么A(4,0)，B(2,2)，設(shè)C(x，y)，(ca)(cb)1，x2y26x2y90，即(x3)2(y1)21，所以點C在以(3,1)為圓心，1為半徑的圓上，|ca|表示點A，C的距離，即圓上的點與A(4,0)的距離，因為圓心到A的距離為，所以|ca|的最

10、大值為1.平面向量與三角函數(shù)、解三角形例4(2022石家莊模擬)向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，f (x)ab.(1)求函數(shù)f (x)ab的最小正周期；(2)在ABC中，BC，sinB3sinC，假設(shè)f (A)1，求ABC的周長.解(1)f (x)sinxcosxcos2xsin2xcos2x，f (x)sin，所以f (x)的最小正周期T.(2)由題意可得sin，又0A，所以2A，所以2A，故A.設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，那么a2b2c22bccosA.所以a2b2c2bc7，又sinB3sinC，所以b3c.故79c2c23c2，解得c1.所以b3，AB

11、C的周長為4.思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.跟蹤訓(xùn)練3在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求C的大??；(2)假設(shè)點D為邊AB上一點，且滿足，|，c2，求ABC的面積.解(1)因為m(cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，所以ccosB(b2a)cosC0，在AB

12、C中，由正弦定理得，sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，sinA2sinAcosC，又sinA0，所以cosC，而C(0，)，所以C.(2)由知，所以2，兩邊平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，所以a2b2ab12.由得ab8，所以SABCabsinACB2.1(2022全國)向量a，b滿足|a|1，ab1，那么a(2ab)等于()A4B3C2D0答案B解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.2.(2022全國)(2,3)，(3，t)，|1，那么等于()A.3B.2C.2D.3答案C解析因為

13、(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，應(yīng)選C.3(2022咸陽模擬)向量a(5，m)，b(2，2)且(ab)b，那么m等于()A9B9C6D6答案B解析ab(7，m2)，142(m2)0，m9.應(yīng)選B.4.(2022湖南省桃江縣第一中學(xué)模擬)向量a，b滿足|a|，|b|1，且|ba|2，那么向量a與b的夾角的余弦值為()A.B.C.D.答案D解析由題意可知，|ba|2b22aba232ab4，解得ab，cosa，b，應(yīng)選D.5.(2022東莞模擬)非零向量m，n滿足|n|4|m|，且m(2mn)，那么m，n的夾角為()A.B.C.D.答案D解析|n|4|m|，且m(

14、2mn)，m(2mn)2m2mn2|m|2|m|n|cosm，n0，且|m|0，|n|0，2|m|n|cosm，n0，cosm，n，又0m，n，m，n.應(yīng)選D.6(2022漢中模擬)兩個單位向量e1，e2的夾角為，那么以下結(jié)論不正確的選項是()Ae1在e2方向上的投影為cosBeeCR，(e1e2)(e1e2)0DR，e1e2答案D解析對于A選項，e1在e2方向上的投影為|e1|coscos，故其正確；對于B選項，e|e1|21，e|e2|21，故其正確；對于C選項，(e1e2)(e1e2)ee0成立，故其正確；對于D選項，e1e2|e1|e2|coscos，這與cos1,1矛盾應(yīng)選D.7(2

15、022徐州模擬)e1，e2是夾角為的兩個單位向量，向量ae12e2，bke1e2，假設(shè)ab0，那么實數(shù)k的值為_答案解析ab(e12e2)(ke1e2)，因為ee1，e1e2，所以abk2k2k0，所以k.8向量a，b滿足|a|1，|b|，|ab|，那么a在b方向上的投影為_答案解析向量a，b滿足|a|1，|b|，|ab|，|ab|，解得ab1.a在b方向上的投影為.9(2022天津市河北區(qū)模擬)在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中點，E在BC上，且AEBD，那么_.答案16解析建立平面直角坐標(biāo)系，如下列圖，那么A(0,4)，B(0,0)，C(6,0)，D(3,2)，設(shè)E(x,0)

16、，那么(x，4)，(3,2)，由AEBD，得3x80，解得x，又(6,0)，64016.10.(2022天津市北辰區(qū)模擬)在平行四邊形ABCD中，AB4，4，點P在邊CD上，那么的取值范圍是_.答案解析因為點P在邊CD上，所以設(shè)(01)，那么，(1)，所以()(1)4(1)(1)161621242，又01，所以0.11.|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)假設(shè)a，b，求ABC的面積.解(1)因為(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos.又0，所以

17、.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因為與的夾角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12.向量a(cosx，sinx)，b(3，)，x0，.(1)假設(shè)ab，求x的值；(2)記f (x)ab，求f (x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.解(1)因為a(cosx，sinx)，b(3，)，ab，所以cosx3sinx.假設(shè)cosx0，那么sinx0，與sin2xcos2x1矛盾，故cosx0，于是tanx.又x0，所以x.(2)f (x)ab(cosx，sinx)(3，)3cosxsinx2cos.因為x0，

18、所以x，從而1cos.于是，當(dāng)x，即x0時，f (x)取得最大值3；當(dāng)x，即x時，f (x)取得最小值2.13O是ABC內(nèi)部一點，0，2且BAC60，那么OBC的面積為()A.B.C.D.答案A解析0，O為三角形的重心，OBC的面積為ABC面積的，2，|cosBAC2，BAC60，|4，ABC的面積為|sinBAC，OBC的面積為，應(yīng)選A.14.(2022天津)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.假設(shè)點E為邊CD上的動點，那么的最小值為()A.B.C.D.3答案A解析如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.連接AC，由題意知CADCAB60，ACDACB30，那么D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，).設(shè)E(0，y)(0y)，那么(1，y)，y2y2(0y)，當(dāng)y時，有最小值.應(yīng)選A.15.假設(shè)向量a，b，c滿足ab，c0，且(ca)(cb)0，那么的最小值是()A.B.2C.2D.答案C解析設(shè)向量a，b，c，那么由(ca)(cb)0得0，即C的軌跡為以AB為直徑的圓，圓心為AB的中點M，半徑為|，因此|c