高中數(shù)學關于球的內切外接問題

1、處理球的“內切”“外接”問題與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接。作為這種特殊的位置關系在高考中也是考查的重點，但同學們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置及球心的位置，畫好截面圖是關鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內切、外接球問題例1.正四面體的外接球和內切球的半徑是多少?分析：運用正四面體的二心合一性質， 作出截面圖，通過點、線、面關系解之。解：如圖1所示，設點。是內切球的球心，正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知，點O也是外接球的球心.設內切球半徑為r ,外接球半徑為R .正四面體的表面積正四面體的體積Va_bcd.32, 3

2、 222a AE =a AB -BE 412.1"二S表 r =VA_BCD , ，r 33 2 a33Va皿d 3 12 a6二二a嬴 .3a212在 RMBEO 中，BO2 =BE2 +EO2【點評】由于正四面體本身的對稱性可知，內切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即內切球的半徑為h（h為正四面體的高），且外4接球的半徑3h,從而可以通過截面圖中R0OBE建立棱長與半徑之間的關系。4例2.設棱錐MABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA_LAB,如果AAMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑解：？丁AB_LAD,AB_LMA,/.AB_L平面M

3、AD,由此，面MAD，面AC.記E是AD的中點，從而ME_LAD.ME_L平面AC,ME_LEF設球。是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如圖2,得截面圖AMEF及內切圓O不妨設O亡平面MEF,于是。是AMEF的內心.設下的半徑為，則"ef:S；mf，設AD=EF=a，fMD=1二EM=2,MF=.'a2+f2,r=2<-2-=V21a，a2222222aaJaa當且僅當a=2,即a=T2時，等號成立a當AD=ME=應時，滿足條件的球最大半徑為V2-1.練習：一個正四面體內切球的表面積為3冗，求正四面體的棱長。（答案為：上2 ）圖4圖5【點評】根據(jù)棱錐的對稱

4、性確定內切球與各面的切點位置，作出截面圖是解題的關鍵二、球與棱柱的組合體問題1.正方體的內切球:球與正方體的每個面都相切，切點為每個面的中心，顯然球心為正方體的中心。設正方體的棱長為a,球半徑為Ro如圖3,截面圖為正方形EFGH的內切圓，得R=-;22. 與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，I如圖4作截面圖，圓。為正方形EFGH的外接圓，易得R=2a。23. 正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖5,以對角面AA1作截面圖得，圓O為矩形AAlCiC的外接圓，易得R=AO=13a。24. .在球面上有四個點P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且P

5、A=PB=PC=a,那么這個球的表面積是.解：由已知可得PA、PB、PC實際上就是球內接正方體中交于一點的三條棱，正方體的對角線長就是球的直徑，連結過點C的一條對角線CD,則CD過球心O,對角線CD=.3a練習：一棱長為2a的框架型正方體，內放一能充氣吹脹的氣球，求當球與正方ff體棱適好接觸但又不至于變形時的球的體積。（答案為V=次Qia）3=a3）424.構造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點處，由球心、底面中心及底面一頂點構成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱ABC-AiBiCi的六個頂點在球Oi上，又知球。2與此正三棱柱的5個面都相切，求球Oi與球02的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系解：如圖6,由題意得兩球心Oi、O2是重合的，過正三棱柱的一條側棱AAi和它們的球心作截面，設正三棱柱底面邊長為a ,則R2=£a ,正三棱柱的高為圖63h =2R2 = a ,由 RUA1D1O 中，得 3，0: S2=R12:R22=5:1 ,V1 :V2= 5V5:1練習：正四棱柱ABCD-AiBiGDi的各頂點都在半徑為R的球面上，求正四棱柱的側面積的最大值。（答案為：4<2R2）【點評】“內切”和“外接”等有