高中數(shù)學(xué)關(guān)于球的內(nèi)切外接問題

1、處理球的“內(nèi)切”“外接”問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關(guān)系在高考中也是考查的重點(diǎn)，但同學(xué)們又因缺乏較強(qiáng)的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少?分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)， 作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)。是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為a.由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)O也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為r ,外接球半徑為R .正四面體的表面積正四面體的體積Va_bcd.32, 3

2、 222a AE =a AB -BE 412.1"二S表 r =VA_BCD , ，r 33 2 a33Va皿d 3 12 a6二二a嬴 .3a212在 RMBEO 中，BO2 =BE2 +EO2【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為h（h為正四面體的高），且外4接球的半徑3h,從而可以通過截面圖中R0OBE建立棱長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系。4例2.設(shè)棱錐MABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA_LAB,如果AAMD的面積為1,試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑解：？丁AB_LAD,AB_LMA,/.AB_L平面M

3、AD,由此，面MAD，面AC.記E是AD的中點(diǎn)，從而ME_LAD.ME_L平面AC,ME_LEF設(shè)球。是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如圖2,得截面圖AMEF及內(nèi)切圓O不妨設(shè)O亡平面MEF,于是。是AMEF的內(nèi)心.設(shè)下的半徑為，則"ef:S；mf，設(shè)AD=EF=a，fMD=1二EM=2,MF=.'a2+f2,r=2<-2-=V21a，a2222222aaJaa當(dāng)且僅當(dāng)a=2,即a=T2時(shí)，等號(hào)成立a當(dāng)AD=ME=應(yīng)時(shí)，滿足條件的球最大半徑為V2-1.練習(xí)：一個(gè)正四面體內(nèi)切球的表面積為3冗，求正四面體的棱長(zhǎng)。（答案為：上2 ）圖4圖5【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)棱錐的對(duì)稱

4、性確定內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)位置，作出截面圖是解題的關(guān)鍵二、球與棱柱的組合體問題1.正方體的內(nèi)切球:球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,球半徑為Ro如圖3,截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，得R=-;22. 與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，I如圖4作截面圖，圓。為正方形EFGH的外接圓，易得R=2a。23. 正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5,以對(duì)角面AA1作截面圖得，圓O為矩形AAlCiC的外接圓，易得R=AO=13a。24. .在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且P

5、A=PB=PC=a,那么這個(gè)球的表面積是.解：由已知可得PA、PB、PC實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，連結(jié)過點(diǎn)C的一條對(duì)角線CD,則CD過球心O,對(duì)角線CD=.3a練習(xí)：一棱長(zhǎng)為2a的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方ff體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為V=次Qia）3=a3）424.構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱ABC-AiBiCi的六個(gè)頂點(diǎn)在球Oi上，又知球。2與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球Oi與球02的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系解：如圖6,由題意得兩球心Oi、O2是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱AAi和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為a ,則R2=£a ,正三棱柱的高為圖63h =2R2 = a ,由 RUA1D1O 中，得 3，0: S2=R12:R22=5:1 ,V1 :V2= 5V5:1練習(xí)：正四棱柱ABCD-AiBiGDi的各頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求正四棱柱的側(cè)面積的最大值。（答案為：4<2R2）【點(diǎn)評(píng)】“內(nèi)切”和“外接”等有