2009年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）解析版

1、2009年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）解析版參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）i是虛數(shù)單位，5i2-i=（）A1+2iB12iC12iD1+2i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可【解答】解：5i2-i=5i(2+i)5=-1+2i，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本小題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，基礎(chǔ)題2（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件：x+y3x-y-12x-y3，則目標(biāo)函數(shù)z2x+3y的最小值為（）A6B7C8D23【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】59：不等式的解法

2、及應(yīng)用【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件x+y3x-y-12x-y3畫出滿足約束條件的可行域，再用角點(diǎn)法，求出目標(biāo)函數(shù)的最小值【解答】解：畫出不等式x+y3x-y-12x-y3表示的可行域，如圖，讓目標(biāo)函數(shù)表示直線y=-2x3+z3在可行域上平移，知在點(diǎn)B自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組x+y=32x-y=3得（2，1），所以zmin4+37，故選：B【點(diǎn)評(píng)】用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)然后將可行域各角點(diǎn)的值

3、一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解3（5分）命題“存在x0R，2x210”的否定是（）A不存在x0R，2x0210B存在x0R，2x0210C對(duì)任意的xR，2x210D對(duì)任意的xR，2x210【考點(diǎn)】2J：命題的否定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5L：簡(jiǎn)易邏輯【分析】命題的否定只否定結(jié)論即可，不要與否命題混淆【解答】解：結(jié)論的否定形式為：2x210原命題的否定為：D故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的否定，注意它與否命題的區(qū)別4（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=13xlnx（x0），則yf（x）（）A在區(qū)間（1e，1），（l，e）內(nèi)均有零點(diǎn)B在區(qū)間（1e，1），（l，e）內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C在區(qū)間（1e，1）內(nèi)無(wú)

4、零點(diǎn)，在區(qū)間（l，e）內(nèi)有零點(diǎn)D在區(qū)間（1e，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（l，e）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況判斷原函數(shù)的增減性可得答案【解答】解：由題得f'(x)=x-33x，令f（x）0得x3；令f（x）0得0x3；f（x）0得x3，故知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上為減函數(shù)，在區(qū)間（3，+）為增函數(shù)，在點(diǎn)x3處有極小值1ln30；又f(1)=130，f(e)=e3-10，f(1e)=13e+10故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的增減性與原函數(shù)

5、的單調(diào)性之間的關(guān)系即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減5（5分）閱讀程序框圖，則輸出的S（）A26B35C40D57【考點(diǎn)】EF：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5K：算法和程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S2+5+8+14的值【解答】解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S2+5+8+14的值S2+5+8+1440故選：C【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或

6、偽代碼）中既要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模6（5分）設(shè)a0，b0若3是3a與3b的等比中項(xiàng)，則1a+1b的最小值為（）A8B4C1D14【考點(diǎn)】7F：基本不等式及其應(yīng)用；87：等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】由題設(shè)條件中的等比關(guān)系得出a+b1，代入1a+1b中，將其變?yōu)?+ba+ab，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因?yàn)?a3b3，所以a+b1，1a+1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab2+2baab=4，當(dāng)

7、且僅當(dāng)ba=ab即a=b=12時(shí)“”成立，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力7（5分）已知函數(shù)f（x）sin（x+4）（xR，0）的最小正周期為，為了得到函數(shù)g（x）cosx的圖象，只要將yf（x）的圖象（）A向左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】57：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】由周期函數(shù)的周期計(jì)算公式：T=2，算得2接下來(lái)將f（x）的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成與g（x）同名的三角函數(shù)，再觀察左右平移的長(zhǎng)度即可【解答】解：由題知2，所以

8、f(x)=sin(2x+4)=cos2-(2x+4)=cos(2x-4)=cos2(x-8)，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)定位：本小題考查誘導(dǎo)公式，函數(shù)圖象的變換，基礎(chǔ)題8（5分）已知函數(shù)f（x）=x2+4xx04x-x2x0.若f（2a2）f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（，1）（2，+）B（1，2）C（2，1）D（，2）（1，+）【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；7E：其他不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由題義知分段函數(shù)求值應(yīng)分段處理，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式【解答】解：f(x)=x2+4x=(x+2)2-4，x04x-x2=-(x-2)2+4，x0由

9、f（x）的解析式可知，f（x）在（，+）上是單調(diào)遞增函數(shù)，在由f（2a2）f（a），得2a2a 即a2+a20，解得2a1故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查了分段函數(shù)的求值，還考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，同時(shí)一元二次不等式求解也要過(guò)關(guān)9（5分）設(shè)拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|2，則BCF與ACF的面積之比SBCFSACF=（）A45B23C47D12【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)SBCFSACF=|BC|AC|，進(jìn)而根據(jù)兩三角形

10、相似，推斷出|BC|AC|=|BB1|AA1，根據(jù)拋物線的定義求得|BB1|AA1=|BF|AF|，根據(jù)|BF|的值求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)式求得直線的方程，把x=y22代入，即可求得A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得|BF|AF|的值，則三角形的面積之比可得【解答】解：如圖過(guò)B作準(zhǔn)線l：x=-12的垂線，垂足分別為A1，B1，SBCFSACF=|BC|AC|，又B1BCA1AC、|BC|AC|=|BB1|AA1，由拋物線定義|BB1|AA1|=|BF|AF|=2|AF|由|BF|BB1|2知xB=32，yB=-3，AB：y0=33-32（x-3）把x=y22代入上式，求得yA2，xA2，|AF|AA1|=

11、52故SBCFSACF=|BF|AF|=252=45故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和綜合分析問(wèn)題的能力10（5分）0b1+a，若關(guān)于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（）A1a0B0a1C1a3D2a3【考點(diǎn)】7E：其他不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】要使關(guān)于x的不等式（xb）2（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，那么此不等式的解集不能是無(wú)限區(qū)間，從而其解集必為有限區(qū)間，【解答】解：由題得不等式（xb）2（ax）2即（a21）x2+2bxb20，它的解應(yīng)在兩根之間，因此應(yīng)有 a210

12、，解得a1或a1，注意到0b1+a，從而a1，故有4b2+4b2（a21）4a2b20，不等式的解集為-ba-1xba+1或0ba+1x-ba-1（舍去）不等式的解集為-ba-1xba+1，又由0b1+a得0ba+11，故-3-ba-1-2，0ba+11，這三個(gè)整數(shù)解必為2，1，02（a1）b3 （a1），注意到a1，并結(jié)合已知條件0b1+a故要滿足題設(shè)條件，只需要2（a1）1+a，即a3即可，解得1a3故選：C【點(diǎn)評(píng)】本小題考查解一元二次不等式解法，二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，邏輯思維推理能力，含有兩個(gè)變量的題目是難題二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11（4分）某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專

13、業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取40名學(xué)生【考點(diǎn)】B3：分層抽樣方法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)【分析】根據(jù)全校的人數(shù)和A，B兩個(gè)專業(yè)的人數(shù)，得到C專業(yè)的人數(shù)，根據(jù)總體個(gè)數(shù)和要抽取的樣本容量，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用C專業(yè)的人數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到結(jié)果【解答】解：C專業(yè)的學(xué)生有1200380420400，由分層抽樣原理，應(yīng)抽取120×4001200=40名故答案為：40【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣，分層抽樣過(guò)程中，每個(gè)

14、個(gè)體被抽到的概率相等，在總體個(gè)數(shù)，樣本容量和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率這三個(gè)量中，可以知二求一12（4分）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是33，則a3【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5Q：立體幾何【分析】該幾何體是放倒的三棱柱，依據(jù)所給數(shù)據(jù)求解即可【解答】解：由已知可知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長(zhǎng)為2，底邊上的高為a的等腰三角形，所以有2a2×3=33a=3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本小題考查三視圖、三棱柱的體積，基礎(chǔ)題本試題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的運(yùn)用培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力和基本的運(yùn)算能力13（4分）設(shè)直線l1的參數(shù)方程為x=1+ty=1+3t（t

15、為參數(shù)），直線l2的方程為y3x+4則l1與l2的距離為3105【考點(diǎn)】IU：兩條平行直線間的距離；QJ：直線的參數(shù)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程【分析】先求出直線的普通方程，再利用兩條平行線間的距離公式求出它們的距離即可【解答】解析：由題直線l1的普通方程為3xy20，故它與l2的距離為|4+2|10=3105故答案為3105【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、兩條平行線間的距離，屬于基礎(chǔ)題14（4分）若圓x2+y24與圓x2+y2+2ay60（a0）的公共弦的長(zhǎng)為23，則a1【考點(diǎn)】JA：圓與圓的位置關(guān)系及其判定；JF：圓方程的綜合應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5B：

16、直線與圓【分析】畫出草圖，不難得到半徑、半弦長(zhǎng)的關(guān)系，求解即可【解答】解：由已知x2+y2+2ay60的半徑為6+a2，圓心（0，a），公共弦所在的直線方程為，ay1大圓的弦心距為：|a+1a|由圖可知6+a2-(a+1a)2=(3)2，解之得a1故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本小題考查圓與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題15（4分）在四邊形ABCD中，AB=DC=（1，1），1|BA|BA+1|BC|BC=3|BD|BD，則四邊形ABCD的面積是3【考點(diǎn)】9E：向量數(shù)乘和線性運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5A：平面向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)題意知四邊形ABCD是菱形，其邊長(zhǎng)為2，且對(duì)角線BD等于邊長(zhǎng)的3倍，再由向量數(shù)量積

17、運(yùn)算的應(yīng)用可得cosABD=2+2-6222=-12和sinABD=32，最終可得四邊形ABCD的面積【解答】解：由題1|BA|BA+1|BC|BC=3|BD|BD，可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分ABC，四邊形ABCD是菱形，其邊長(zhǎng)為2，且對(duì)角線BD等于邊長(zhǎng)的3倍，所以cosBAD=2+2-62×2×2=-12，故sinBAD=32，SABCD（2）2×32=3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本小題考查向量的幾何運(yùn)算，基礎(chǔ)題16（4分）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有324個(gè)（用數(shù)字作答）【

18、考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5O：排列組合【分析】由題意知本題需要分類來(lái)解，當(dāng)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)，當(dāng)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果【解答】解：由題意知本題需要分類來(lái)解：當(dāng)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)的有：C32A33C41+A33C31=90種；當(dāng)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)的有：C32A33C41+C31C32A33C31=234種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到共有90+234324個(gè)故答案為：324【點(diǎn)評(píng)】本小題考查排列實(shí)際問(wèn)題基礎(chǔ)題數(shù)字問(wèn)題是計(jì)數(shù)中的一大類問(wèn)題，條件變換多樣，把計(jì)數(shù)問(wèn)題包含在數(shù)

19、字問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏三、解答題（共6小題，滿分76分）17（12分）已知：ABC中，BC=5，AC3，sinC2sinA（1）求AB的值（2）求sin(2A-4)的值【考點(diǎn)】HP：正弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】58：解三角形【分析】（1）根據(jù)正弦定理將題中正弦值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，即可得到答案（2）根據(jù)三邊長(zhǎng)可利用余弦公式得到角A的正弦值和余弦值，再由兩角和與差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案【解答】解：（1）在ABC中，sinC2sinA由正弦定理得ABsinC=BCsinAAB=sinCsinABC2BC25（2）在ABC中，AB25

20、，BC=5，AC3，cosA=(25)2+32-522×25×3，sinA=55，cosA=255sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=22(2sinAcosA-cos2A+sin2A) =22(2×55×255-45+15) =210 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理和和兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用屬基礎(chǔ)題18（12分）在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（I）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率

21、計(jì)算公式；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)【分析】（）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的所有事件是從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為C103，滿足條件的事件是從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為C3kC73k，寫出概率，分布列和期望（II）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)包括三種情況，一是恰好取出1件一等品和2件三等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，這三種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率，得到結(jié)果【解答】解：（）由題意知本題是一個(gè)古典概型，由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為C103，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有

22、k件一等品的結(jié)果數(shù)為C3kC73k，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P（Xk）=C3kC73-kC103，k0，1，2，3隨機(jī)變量X的分布列是 x 0 1 2 3 p 724 2140 740 1120X的數(shù)學(xué)期望EX=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910（）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3而P(A1)C31C32C103=3

23、40，P（A2）P（X2）=740，P（A3）P（X3）=1120，取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P（A）P（A1）+P（A2）+P（A3）=340+740+1120=31120【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的類型題目19（12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AFABBCFE=12AD，（1）求異面直線BF與DE所成的角的大??；（2）證明平面AMD平面CDE；（3）求二面角ACDE的余弦值【考點(diǎn)】LM：異面直線

24、及其所成的角；LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角；5Q：立體幾何【分析】（1）先將BF平移到CE，則CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲證平面AMD平面CDE，即證CE平面AMD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證CE與平面AMD內(nèi)兩相交直線垂直即可，易證DMCE，MPCE；（3）設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，連接PQ，EQ，易證EQP為二面角ACDE的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可【解答】（1）解：由題設(shè)知，BFCE，所以CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角設(shè)P為

25、AD的中點(diǎn)，連接EP，PC因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD而PC，AD都在平面ABCD內(nèi)，故EPPC，EPAD由ABAD，可得PCAD設(shè)FAa，則EPPCPDa，CDDEEC=2a，故CED60°所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（2）證明：因?yàn)镈CDE且M為CE的中點(diǎn)，所以DMCE連接MP，則MPCE又MPDMM，故CE平面AMD而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE（3）解：設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，連接PQ，EQ因?yàn)镃EDE，所以EQCD因?yàn)镻CPD，所以PQCD，故EQP為二面角ACDE的平面角可得，EPPQ，E

26、Q=62a，PQ=22a于是在RtEPQ中，cosEQP=PQEQ=33【點(diǎn)評(píng)】本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力20（12分）已知函數(shù)f（x）（x2+ax2a2+3a）ex（xR），其中aR（）當(dāng)a0時(shí)，求曲線yf（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；（）當(dāng)a23時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（）把a(bǔ)0代入到f（x）中化簡(jiǎn)得到f

27、（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍€的切點(diǎn)為（1，f（1），所以把x1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；（）令f'（x）0求出x的值為x2a和xa2，分兩種情況討論：當(dāng)2aa2時(shí)和當(dāng)2aa2時(shí)，討論f'（x）的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最值【解答】（）解：當(dāng)a0時(shí)，f（x）x2ex，f'（x）（x2+2x）ex，故f'（1）3e，所以曲線yf（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線的斜率為3e，f（1）e，所以該切線方程為ye3e（x1），

28、整理得：3exy2e0（）解：f'（x）x2+（a+2）x2a2+4aex令f'（x）0，解得x2a，或xa2由a23知，2aa2以下分兩種情況討論若a23，則2aa2當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（，a2）2a（2a，a2）a2（a2，+）f（x）+00+F（x）極大值極小值所以f（x）在（，2a），（a2，+）內(nèi)是增函數(shù)，在（2a，a2）內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f（x）在x2a處取得極大值f（2a），且f（2a）3ae2a函數(shù)f（x）在xa2處取得極小值f（a2），且f（a2）（43a）ea2若a23，則2aa2，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）

29、的變化情況如下表：x（，a2）a2（a2，2a）2a（2a，+）f（x）+00+F（x）極大值極小值所以f（x）在（，a2），（2a，+）內(nèi)是增函數(shù)，在（a2，2a）內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f（x）在xa2處取得極大值f（a2），且f（a2）（43a）ea2，函數(shù)f（x）在x2a處取得極小值f（2a），且f（2a）3ae2a【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題21（14分）已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（c，0）和F2（c，0）（c0），過(guò)點(diǎn)E(a2c，0)

30、的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|（1）求橢圓的離心率；（2）求直線AB的斜率；（3）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線F2B上有一點(diǎn)H（m，n）（m0）在AF1C的外接圓上，求nm的值【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）由F1AF2B且|F1A|2|F2B|，得|EF2EF1|=|F2BF1A|=12，從而a2c-ca2c+c=12，由此可以求出橢圓的離心率（2）由題意知橢圓的方程可寫為2x2+3y26c2，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a2c)，設(shè)A（x1，y1），B（x2

31、，y2），則它們的坐標(biāo)滿足方程組y=k(x-3c)2x2+3y2=6c2，整理，得（2+3k2）x218k2cx+27k2c26c20再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解（III）解法一：當(dāng)k=-23時(shí)，得A(0，2c)，C(0，-2c)線段AF1的垂直平分線l的方程為y-22c=-22(x+c2)直線l與x軸的交點(diǎn)(c2，0)是AF1C外接圓的圓心，因此外接圓的方程為(x-c2)2+y2=(c2+c)2由此可以推導(dǎo)出nm的值解法二：由橢圓的對(duì)稱性可知B，F(xiàn)2，C三點(diǎn)共線，由已知條件能夠?qū)С鏊倪呅蜛F1CH為等腰梯形由此入手可以推導(dǎo)出nm的值【解答】（1）解：由F1AF2B且|F1A|2|F2B

32、|，得|EF2EF1|=|F2BF1A|=12，從而a2c-ca2c+c=12整理，得a23c2，故離心率e=ca=33（2）解：由（I）得b2a2c22c2，所以橢圓的方程可寫為2x2+3y26c2設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a2c)，即yk（x3c）由已知設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則它們的坐標(biāo)滿足方程組y=k(x-3c)2x2+3y2=6c2消去y整理，得（2+3k2）x218k2cx+27k2c26c20依題意，=48c2(1-3k2)0，得-33k33而x1+x2=18k2c2+3k2x1x2=27k2c2-6c22+3k2由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x1+3c2

33、x2聯(lián)立解得x1=9k2c-2c2+3k2，x2=9k2c+2c2+3k2將x1，x2代入中，解得k=±23（III）解法一：由（II）可知x1=0，x2=3c2當(dāng)k=-23時(shí)，得A(0，2c)，由已知得C(0，-2c)線段AF1的垂直平分線l的方程為y-22c=-22(x+c2)直線l與x軸的交點(diǎn)(c2，0)是AF1C外接圓的圓心，因此外接圓的方程為(x-c2)2+y2=(c2+c)2直線F2B的方程為y=2(x-c)，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組(m-c2)2+n2=9c24n=2(m-c)，由m0，解得m=53cn=223c故nm=225當(dāng)k=23時(shí)，同理可得nm=-22

34、5解法二：由（II）可知x1=0，x2=3c2當(dāng)k=-23時(shí)，得A(0，2c)，由已知得C(0，-2c)由橢圓的對(duì)稱性可知B，F(xiàn)2，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在AF1C的外接圓上，且F1AF2B，所以四邊形AF1CH為等腰梯形由直線F2B的方程為y=2(x-c)，知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，2m-2c)因?yàn)閨AH|CF1|，所以m2+(2m-2c-2c)2=a2，解得mc（舍），或m=53c則n=223c，所以nm=225當(dāng)k=23時(shí)同理可得nm=-225【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系和橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大，解題要注意公式的正確選取和靈活運(yùn)用，避免不必要的性質(zhì)22（14分）已知等差數(shù)列an的公差為d（d0），等比數(shù)列bn的公比為q（q1）設(shè)sna1b1+a2b2+anbn，Tna1b1a2b2+（1）n1anbn，nN+，（1）若a1（2）b1（3）1，d