例談初中數(shù)學有關(guān)代數(shù)式求值問題的解題技巧與方法

1、 例談初中數(shù)學有關(guān)代數(shù)式求值問題的解題技巧與方法 摘要:代數(shù)式求值問題繁雜多樣,但選擇恰當?shù)慕忸}方法能快速.有效地解決問題.這就需要在平時的教學中掌握一定的解題技巧與方法. 關(guān)鍵詞: 代數(shù)式 ; 代數(shù)式求值;代入求值 求代數(shù)式值的問題一般有兩種方法:一種是直接代入計算,這種計算方法一般計算量較大.繁瑣,不易求得結(jié)果;一種是先化簡整理成比較簡單的形式,再代入計算,這種方法要求有較高的綜合能力.有時候,所求代數(shù)式字母取值比較復(fù)雜或字母取值是由條件等式給出時,直接代入往往比較困難,這就需要一定的解題技巧.下面舉例說明代入求值的一些常見的技巧與方法.(一) 全局著眼,整體代入例1. 已知abc=1,試

2、說明+=1,解: 原式= + + =+= =1 評注:本題的解題關(guān)鍵是抓住分母的特征“對等性”及條件式abc=1的整體效應(yīng),將其中兩個分式的分母與另外一個分式的分母拼湊統(tǒng)一,此時很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)果中分子分母是同一個代數(shù)式,故而使問題得以求解.另例:已知a是方程x-2006x+1=0的一個根,試求a-2005a+的值.解:a是方程x-2006x+1=0的一個根,代入即得a-2006a+1=0, a-2006a=-1或a+1=2006a .a-2005a+=a-2006a+a+=-1+a+=2005 評注:根據(jù)方程的意義,a是一元二次方程的一個根,那么它適合此方程,即得a-2006a +1=0,而此題

3、我們求不出a 的值,但經(jīng)過觀察知分母為a+1,可把a+1看做一個整體,方程化為a+1=2006a,代入式子,經(jīng)過適當變形可求出結(jié)果.(二) 以退為進,升冪代入例2:已知x =-1,則= .解:由已知可得x=2-2x,則 原式= = =-1評注:本題的突破點在于將“x =-1”轉(zhuǎn)化為“x=2-2x ”,然后升冪代入.由于x =4-2 =2-2( -1)=2-2x ,這樣,升冪代入可以避免繁雜的公式,使運算更為簡捷.另例:已知:x=,求代數(shù)式的值.解:x=,x=,x+1=,即x=x+1= = = = = =評注:本題的突破點在于將x與x+1聯(lián)系起來,即在運算的過程中將其互換,達到約分的效果,從而使

4、問題得以求解.(三) 主客倒置,逆反代入例3 若x=-1,則x+2x-17x-x+18x-16的值是 .解:由已知得x+1=,兩邊平方后已知未知倒置得 16=x+2x,則 原式=x+2x-17x-x+18x-(x+2x)=x+2x-17x-2x+16x=x+2x-17x-2x+(x+2x)x=x+2x-16x=x+2x-(x+2x)x=0評注:本題初看很麻煩,若將條件式x=-1直接代入求解實屬不易,但若將條件式x=-1通過移項x+1=,再兩邊同時平方,再移項得16=x+2x,然后依此為突破口,打破常規(guī),將已知數(shù)字“16”用未知量x+2x代入,即主客倒置,逆反代入,步步抵消,最后會使問題很容易得

5、以求解.另例: 若.是方程x+2x-2001=0的兩個實根,求+3+的值.解:+=-2,=-2001,+3+= +2-2=+(-)-2=-2=1999評注:解法同例3,依舊是打破常規(guī),將常數(shù)“2”用未知量“-”代替,使問題得以求解.例4 已知(2000-a)(1998-a)=1999,求(2000-a)+(1998-a)的值.解: 設(shè)1999-a=x,則2000-a=x+1,1998-a=x-1,由已知得(x+1)(x-1)=1999 x=2000,則(2000-a)+)(1998-a)=(x+1)+(x-1) =2x+2=22000+2=4002評注:本題的解題關(guān)鍵在于巧妙轉(zhuǎn)化,即巧設(shè):設(shè)1

6、999-a=x,則2000-a=x+1,1998-a=x-1,然后“均值代入”,使問題很容易得以求解.(四) 避繁就簡,約簡代入例5 已知x-5x-2000=0,則的值是( ) A.2001 B.2002 C.2003 D.2004解: 原式= = =(x-2)-x=x-5x+4x-5x-2000=0,原式=2000+4=20004評注:本題的解題關(guān)鍵是避開繁瑣的立方運算,而將所求解的代數(shù)式作以適當整理,則不難發(fā)現(xiàn)分子.分母便可以約分,使式子化簡,再將條件式x-5x-2000=0代入,故而得以求解.(五) 分類湊整,零值代入例6 已知a+b+c=0,求a(+)+b(+)+c(+)的值.解: 原式=a(+-)+b(+-)+c(+-) =a(+)-1+b(+)-1+c(+)-1=(a+b+c)( +)-3a+b+c=0,原式=(a+b+c)( +)-3 =0(+)-3 =-3評注:本題的解題思想是整體代入求值,需要湊整,零值代入,即充分利用條件式a+b+c=0.認真觀察所求代數(shù)式,不難發(fā)現(xiàn)該式具有較強的對應(yīng)性,要湊“0”,只需添項再減項即可,從而使問題得以求解.(六) 打破常規(guī),倒數(shù)代入例7 已知a.b.c為實數(shù),且=,=,=,則的值是 解: 將已知條件求倒數(shù)得 =+