高中數(shù)學(xué)思想專題講座整體的思想方法

1、高中數(shù)學(xué)思想專題講座-整體的思想方法一、知識要點(diǎn)概述解數(shù)學(xué)題時，人們往往習(xí)慣于從問題的局部出發(fā)，將問題分解成若干個簡單的子問題，然后再各個擊破、分而治之但思考方法并非對所有題目都適用，它常常導(dǎo)致某些題解題過程繁雜、運(yùn)算量大，甚至半途而廢其實(shí)，有很多數(shù)學(xué)問題，如果我們有意識地放大考察問題的“視角”，往往能發(fā)現(xiàn)問題中隱含的某個“整體”，利用這個“整體”對問題實(shí)施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化，常常能使問題快速獲解一般地，我們把這種從整體觀點(diǎn)出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進(jìn)行整體處理的解題思想方法，稱為整體思想方法在數(shù)學(xué)思想中整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想。它是通過研究問題的整體形式、

2、整體結(jié)構(gòu)，并對其進(jìn)行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解的一種方法簡單地說就是從整體去觀察、認(rèn)識問題、從而解決問題的思想。運(yùn)用整體思想，可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維鄣礙，可以使繁難的問題得到巧妙的解決。它是數(shù)學(xué)解題中一個極其重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑。高考中，整體思想方法是一個重點(diǎn)考查對象，在選擇題、填空題、解答題中都有不同層次的滲透。二、解題方法指導(dǎo)1運(yùn)用整體的思想方法解題，要有強(qiáng)烈的整體意識，要認(rèn)真分析問題的條件或結(jié)論的表達(dá)形式、內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，不拘泥于常規(guī)，不著眼于問題的各個組成部分，從整體上觀察，從整體上分析，從整體結(jié)構(gòu)及原有問題的改造、轉(zhuǎn)化入手，尋找解題的途徑。2運(yùn)用整體的思想方法解題，在

3、思維方向上，既有正向的，也有逆向的；在思維形態(tài)上，既有集中的，也有發(fā)散的，既有直觀的，也有抽象的。3運(yùn)用整體的思想方法解題，常與換元法結(jié)合起來，對題目進(jìn)行整體觀察、整體變形、整體配對、整體換元、整體代入，在運(yùn)用整體的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化問題時一定要注意等價性。三、整體的思想方法主要表現(xiàn)形式1、整體補(bǔ)形【例1】甲烷分子（CH4）由一個碳原子和四個氫原子組成，其空間構(gòu)型為一個各條棱都相等的四面體，其中四個氫原子分別位于該四面體的四個頂點(diǎn)上，碳原子位于該四面體的中心，它與每個氫原子的距離都相等若視氫原子、碳原子為一個點(diǎn)，四面體的棱長為a，求碳原子到各個氫原子的距離思路：透過局部整體補(bǔ)形構(gòu)建方程解：顯然，四面

4、體的四個頂點(diǎn)在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點(diǎn)（氫原子）的距離為半徑的球面上  圖1ABC ABDD如圖，將此四面體ABCD補(bǔ)成正方體BD，其中A，B，D也在球面上設(shè)碳原子到每個氫原子的距離為x，則2x= BD，BD、AB（a）、AA之間的關(guān)系是a=AB=AA，2x=BD=AA，因此，2x=即碳原子到各個氫原子的距離為 評注：這里，我們將一個正四面體補(bǔ)成一個正方體，則正四面體的中心與各頂點(diǎn)的距離與正四面體棱長通過正方體的棱長搭橋立即建立聯(lián)系，局部問題便在正方體這個整體內(nèi)快速獲解，體現(xiàn)了整體補(bǔ)形較高的思維價值在立幾中，我們常常將四面體補(bǔ)成正四面體或平行

5、六四面體、正四面體補(bǔ)成正方體、過同一個頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的三棱錐（或四面體）補(bǔ)成長方體、四棱錐補(bǔ)成平行六面體，等等近幾年的高考題或高考模擬題中，經(jīng)常出現(xiàn)這類問題，試題常常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，具有一定的創(chuàng)新性復(fù)習(xí)中大家要注意總結(jié)這種問題的補(bǔ)形規(guī)律，力爭在高考中速戰(zhàn)速決【例2】、如圖2，已知三棱錐子PABC，則三棱錐子PABC的體積為（ ）。分析：若按常規(guī)方法利用體積公式求解，底面積可用海倫公式求出，但頂點(diǎn)到底面的高無法作出，自然無法求出。若能換個角度來思考，注意到三棱錐的有三對邊兩兩相等，若能把它放在一個特定的長方體中，則問題不難解決。 解析：如圖3所示，把三棱錐PABC補(bǔ)成一個長方體

6、AEBGFPDC，易知三棱錐PABC的各邊分別是長方體的面對角線。，則由已知有：，從而知2、整體展開【例3】有一個各條棱長均為a的正四棱錐，現(xiàn)用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，但可以折疊，求包裝紙的最小邊長 ABC SD思路：整體展開化歸平幾面積覆蓋  圖5S3S1S2S4DABC解：將圖4中的正四棱錐整體展開，變?yōu)閳D5中的平面圖形，問題則轉(zhuǎn)化為求一個最小的正方形將圖5完全覆蓋順次連結(jié)圖5中的S1，S2，S3，S4，易證S1S2S3S4，為正方形，且為將圖5完全包住的最小的正方形于是其邊長為： 圖4 故包裝紙的最小邊長為評注：為研究立體圖形的某些

7、特性，如表面積問題、沿表面行走路徑最短問題、包裝問題、剪裁問題、制作 問題等等，我們常常視立體圖圖5形為一個整體，將其展開，變?yōu)槠矫鎴D形，通過對平面圖形的研究達(dá)到解決立幾問題的目的近幾年的高考，加大了對這種解題思想方法的考查力度，試題常常以現(xiàn)實(shí)生活為背景，設(shè)計(jì)新穎，能有效考查學(xué)生的空間想象能力和綜合能力對此大家應(yīng)引起重視3、整體補(bǔ)式【例4】、求sin2200+cos2500+sin200cos500的解。解：令A(yù)= sin2200+cos2500+sin200cos500B= cos 2200+ sin 2500+ cos 200 sin 500則A+B=2+sin700 A-B= - +得A

8、=，故原式=4、整體構(gòu)形【例5】、已知 x,y,z求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1分析：觀察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘積式，聯(lián)想到用面積公式。圖6證明：如圖6，構(gòu)造正三角形，則SABD+SEFC+SBDF= x(1-y)sin600+ y(1-z) )sin600+ z(1-x) )sin600<SABC=×1×1×sin600<1，故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1。5、整體代換【例6】、已知，求cosx+cosy的取值范圍。解：設(shè)u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平

9、方得：，（1）。（2）（1）+（2）得：，即，因?yàn)椋裕獾?。所以。點(diǎn)評：利用整體代換構(gòu)建不等式也是求解此類問題的最基本的方法?！纠?】在數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=，a2=2且Sn+13Sn+2Sn1+1=0(n2)，試判斷an1(nN*)是不是等比數(shù)列，為什么？思路：透過局部重新組合整體代換解：將已知等式重新組合，得(Sn+1Sn)2(SnSn1)+1=0 又因?yàn)閍n+1=Sn+1Sn，an=SnSn1(n2)，an+12an+1=0，即an+11=2(an1)， =2(n2)(*)當(dāng)n=1時，因此（*）式對nN*成立故an1(nN*)是等比數(shù)列評注：這里，如果將Sn+1、Sn

10、與Sn1均用求和公式代入，將會十分繁難，而從Sn+13Sn+2Sn1+1=0整體著眼，實(shí)施整體代換，解題過程十分簡捷、明快整體代換在解題中往往能起到化難為易、化繁為簡的作用，高考中以簡化數(shù)列、解幾運(yùn)算居多6、整體換元【例8】、已知的最大值解析：由首先想到用三角換元即令，則，直接求解較困難，于是又令，從而有點(diǎn)評：本題利用整體換元成功地實(shí)現(xiàn)了二元函數(shù)問題一元化轉(zhuǎn)化的目的，這是求解二元函數(shù)最值問題的最常用的思想方法。7、整體設(shè)元【例9】、已知密碼3BCPQR=4PQRABC其中每個字母都表示一個十進(jìn)制數(shù)字，試將這個密碼譯成數(shù)字形式。解析：此題有6個未知數(shù)，若依次求解，無法達(dá)到目的確良，注意到ABCP

11、QR與PQRABC之間的輪換關(guān)系，可將ABC與PQR視為兩個整體，分別設(shè)ABC=x,PQR=y,則3（1000x+y）=4(1000y+x)428x=571yx,y為三位數(shù)且428與571互奇,x=571,y=428所求密碼為3571428=4428571.【例10】已知tantan=3， tan=2，求cos()的值思路：轉(zhuǎn)換思維整體設(shè)元構(gòu)建方程解：tan=2， cos()=設(shè)， 則cos()=,=.又=3 ， 、聯(lián)立解得，于是cos()=xy=評注：本題條件分散、聯(lián)系隱蔽，企圖由三角恒等變形求解難以達(dá)到目標(biāo)從待求cos()與能求cos（）中發(fā)現(xiàn)coscos和sinsin兩個整體，而這兩個整

12、體又恰好含在tantan中因此，通過引進(jìn)兩個新元x， y，迅速構(gòu)建出以x， y為未知數(shù)的方程組，使問題順利獲解其中，整體換元是解題關(guān)鍵性的一步整體換元是一種重要的解題方法，幾乎每年的高考都要從不同的角度對其進(jìn)行考查8、整體運(yùn)算【11】、橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，1），一直線經(jīng)過點(diǎn)P與橢圓交于P1，P2兩點(diǎn)，弦P1P2被點(diǎn)P平分，求直線P1P2的方程。分析：遵循常規(guī)思路，只需求出直線P1P2的斜率K，待定系數(shù)法寫出直線P1P2的點(diǎn)斜式與橢圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，其兩根為P1，P2兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理可得關(guān)于K的方程，但運(yùn)算量較大。解：設(shè)P1（x1,y1），P2(x2,y2)則

13、， 兩式相減得：,又P為P1P2中點(diǎn)，x1+x2=2,y1+y2=2當(dāng)x1x2時k=,故所求的直線為：y-1=-(x-1)，即2x+3y-5=0,當(dāng)x1=x2時，直線不滿足條件，故故所求的直線為2x+3y-5=0。我們觀察與思考數(shù)學(xué)問題時，著眼結(jié)構(gòu)的整體性，可以簡化解題思路，有利于確定解題的突破口或者總體思路，在教學(xué)中，我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生裝全面考慮問題，養(yǎng)成整體分析的思維習(xí)慣，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，以優(yōu)化其數(shù)學(xué)素質(zhì)。9、整體聯(lián)想【例12】、若均為銳角，且滿足=1，求證分析：由題設(shè)條件，易聯(lián)想到長方體對角線的性質(zhì)：“長方體的一條對角線與同一個頂點(diǎn)上的三條棱所成的角的余弦的平方和等于1”，于是構(gòu)造長

14、方體解題。圖7證明：如圖7，設(shè)以a，b，c為長，寬，高的長方體ABCD-A1B1C1D1的對角線AC1與過點(diǎn)A的三條棱AD，AB，AA1所成的角分別為，則，三式相乘得：。點(diǎn)評：數(shù)學(xué)解題，由于題目中的特殊的結(jié)構(gòu)形式，有時應(yīng)充分發(fā)揮類比、聯(lián)想，合理構(gòu)造，從起到簡捷理想的解題效果?！纠?3】若對任意實(shí)數(shù)x和常數(shù)a，都有f (x+a)=成立，試判斷f (x)是不是周期函數(shù)，為什么？思路：整體聯(lián)想發(fā)現(xiàn)原型猜想論證解：對抽象關(guān)系式作整體聯(lián)想，立即發(fā)現(xiàn)其與tan(x+)=極為相似，因此視tanx為f(x)的一個原型，這里的a=，而tanx的周期是的4倍，由此猜想4a是f(x)的一個周期事實(shí)上， f (x+2

15、a)=，于是f (x+4a)= 故f (x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期評注：對某些僅含有抽象的符號、抽象的結(jié)構(gòu)式，用常規(guī)方法難以求解的數(shù)學(xué)問題，整體聯(lián)想法，不失為一種有效途徑本例通過整體聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)原型，使我們迅速找到求解抽象函數(shù)問題的思路常見的抽象函數(shù)的原型還有：logax是f (xy)=f (x)+f (y)和f ()=f (x)f (y)的一個原型；cosx是f (x+y)+f (x-y)=2f (x)f (y)的一個原型；kx是f (x+y)=f (x)+f (y)和f (xy)=f (x) f (y) 的一個原型； ax是f (x+y) =f (x)f (y)和f (x y)=的

16、一個原型；等等對抽象函數(shù)問題的考查在近幾年的高考中有逐年增加數(shù)量的趨勢，充分體現(xiàn)了高考加大對理性思維能力考查的命題思想10、整體配方【例14】 求函數(shù)y=(xR)的最小值思路：轉(zhuǎn)換思維整體配方放縮求解解：y=+2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即x2=3時等號成立，這顯然是不可能的說明利用均值不等式中的等號成立無法求出最小值，必須轉(zhuǎn)換思維，另辟蹊徑注意到與的關(guān)系，嘗試整體配方：y=()2 + 2，()2， y+2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，故y的最小值是評注：本題中整體配方后，就可以視為一個新的整體，通過研究它的最小值，就能達(dá)到研究整個函數(shù)最小值的目的在高考中，根據(jù)問題的特征，靈活運(yùn)用整體配方法，常常能出奇制

17、勝11、整體求導(dǎo)【例15】已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)若當(dāng)x0，1時，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍思路：合理轉(zhuǎn)化整體求導(dǎo)最值求解解：f(x) g(x)在0，1上恒成立，即2xt0在0，1上恒成立視2xt為一個整體，令其為F(x)，對F(x)實(shí)施整體求導(dǎo)，得F(x)=2=x0，1，F(xiàn)(x)<0，F(xiàn)(x)在0，1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)為其最大值于是F(x)0在0，1上恒成立F(x)在0，1上的最大值小于或等于零，即F(0)=1t0，t1故實(shí)數(shù)t的取值范圍是t1評注：本例是含參數(shù)的恒成立不等式問題，常規(guī)解法涉及到分類討論和建立較復(fù)雜的不等式組，對學(xué)生的要

18、求比較高而整體求導(dǎo)法，打破常規(guī)，巧用函數(shù)的最值使問題順利獲解，令人耳目一新導(dǎo)數(shù)的引入，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問題（如函數(shù)問題、不等式問題、解析幾何問題等）的研究提供了新的視角、新的方法，拓寬了高考的命題空間理解和掌握整體求導(dǎo)法，有助于我們開辟新的解題途徑，提高創(chuàng)新能力12、整體改造【例16】將一根長為16米的鐵絲做成一個長方體骨架，且骨架的表面積為10米2，若不計(jì)接頭處的誤差，求能做成的長方體的最大棱長思路：觀察聯(lián)想整體改造合理化歸解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為x米、y米、z米， 則x+y+z=4xy+yz+zx=5 即4(x+y+z)=162(xy+yz+zx)=10,對上述方程組實(shí)施整體改造，就有即x+y=4zxy=5z