數(shù)學(xué)建模――金磚國家在經(jīng)濟(jì)上的優(yōu)勢(shì)

1、金磚國家優(yōu)勢(shì)分析摘要 本文中我們選擇經(jīng)濟(jì)未來發(fā)展?jié)摿@個(gè)側(cè)面來分析金磚國家相對(duì)發(fā)達(dá)國家的優(yōu)勢(shì),并用各國 GDP 的增長率來代表其經(jīng)濟(jì)未來發(fā)展?jié)摿?。金磚五國都是 重要的發(fā)展中國家和新興市場(chǎng)國家, 盡管目前金磚國家在很大程度上還是一個(gè)松 散的團(tuán)體, 但它們擁有世界 40%的人口、 18%的全球貿(mào)易以及約 45%的當(dāng)年增長。 其經(jīng)濟(jì)增長速度遠(yuǎn)高于世界平均增長速度,而且占全球 GDP 總量超過 1/7。 針對(duì)問題一,我們選擇對(duì)發(fā)展中國家 GDP 相對(duì)影響較大的人口、經(jīng)濟(jì)活動(dòng) 人口、價(jià)格指數(shù)、資源和環(huán)境、能源、對(duì)外貿(mào)易等方面為參考指標(biāo),以中國和俄 羅斯為代表,運(yùn)用灰色分析法找出對(duì)金磚五國 GDP 影響較

2、顯著的因素,其中對(duì) 外貿(mào)易、能源及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口對(duì)金磚國家 GDP 的影響最大,并根據(jù)各金磚國家 的經(jīng)濟(jì)特點(diǎn)及相對(duì)優(yōu)勢(shì)分析其 GDP 增長較快的原因。針對(duì)問題二,我們首先通過互聯(lián)網(wǎng)搜集金磚國家及七國集團(tuán)在 05 09年 GDP 增長率的變化情況, 并用折線圖反映出金磚國家 GDP 增長率相對(duì)世界平均 水平及七國集團(tuán)的具體情況,從而反映出從 GDP 增長率的角度來看,金磚國家 對(duì)七國集團(tuán)還存在整體上的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)問題三,我們利用第一問模型中得出的結(jié)論對(duì)外貿(mào)易對(duì)金磚國家 GDP 影響最為顯著,運(yùn)用數(shù)據(jù)擬合模型,找出金磚各國進(jìn)出口總額的增長率和 GDP 的增長率之間的線性關(guān)系,從而分析五國之間的差異。針

3、對(duì)問題四, 我們根據(jù)金磚五國地理位置及其經(jīng)濟(jì)特點(diǎn)的不同, 建立馬爾可 夫模型, 從而建立金磚五國在經(jīng)濟(jì)貿(mào)易上的合作關(guān)系, 通過調(diào)劑其貿(mào)易余缺從而 達(dá)到經(jīng)濟(jì)共同進(jìn)步發(fā)展的目的。在第五問中,我們建立灰色預(yù)測(cè)模型,利用 2004 2010年金磚國家及美國 GDP 值情況預(yù)測(cè)出 2011 2015年六國 GDP 的發(fā)展趨勢(shì),從而得出作為世界新興 經(jīng)濟(jì)體的金磚國家其 GDP 將保持高速增長的態(tài)勢(shì), 并且在此方面的優(yōu)勢(shì)將會(huì)繼續(xù) 擴(kuò)大。關(guān)鍵詞:灰色分析法 數(shù)據(jù)擬合模型 馬爾可夫模型 灰色預(yù)測(cè)一、 問題重述2003年 10月高盛公司發(fā)表了一份題為“與 BRICs 一起夢(mèng)想的全球經(jīng)濟(jì)報(bào) 告” ,首次提出了“金磚

4、四國”這一概念。 “金磚四國” (BRIC 的名稱來源于巴 西、俄羅斯、印度和中國的英文首字母。由于該詞與英文中的磚(Brick 類似, 因此被稱為“金磚四國” 。該報(bào)告估計(jì),到 2050年,世界經(jīng)濟(jì)格局將會(huì)經(jīng)歷劇烈 洗牌,全球新的六大經(jīng)濟(jì)體將變成中國、美國、印度、日本、巴西、俄羅斯。在 2010年,南非加入金磚四國, “金磚四國”即將變成“金磚五國” ,并更名為“金 磚國家” (BRICS。2011年 4月 14日,金磚國家領(lǐng)導(dǎo)人第三次會(huì)晤在中國三亞舉行,五國領(lǐng)導(dǎo) 人商討了如何協(xié)調(diào)應(yīng)對(duì)重大國際問題, 如何深化和擴(kuò)大彼此間合作, 如何加強(qiáng)金 磚國家合作機(jī)制等問題。 根據(jù)華爾街日?qǐng)?bào)的報(bào)道, 中國

5、打算提升金磚集團(tuán)作為新 興經(jīng)濟(jì)體平臺(tái)的地位, 從而獲得對(duì)發(fā)達(dá)國家更有力的優(yōu)勢(shì)。 由于這種優(yōu)勢(shì)可能體 現(xiàn)在多個(gè)側(cè)面,請(qǐng)你選擇某個(gè)感興趣的側(cè)面,建立數(shù)學(xué)模型分析以下問題: 1、盡管目前金磚國家在很大程度上還是一個(gè)松散的團(tuán)體,但它們擁有世界 40%的人口、 18%的全球貿(mào)易以及約 45%的當(dāng)年增長。 因此, 請(qǐng)分析在世 界范圍內(nèi),金磚國家在該此方面的優(yōu)勢(shì),并指出產(chǎn)生這種優(yōu)勢(shì)的主要原 因;2、七國集團(tuán)(G7是由加拿大、法國、德國、意大利、日本、英國和美國 所構(gòu)成的聯(lián)盟。請(qǐng)分析在你選擇的側(cè)面上,金磚國家是否對(duì)七國集團(tuán)也 存在著這種整體優(yōu)勢(shì);3、在感興趣的側(cè)面上,金磚五國是否存在著相同的優(yōu)勢(shì),或者建立模型

6、研 究成員之間在該種優(yōu)勢(shì)上的差異性;4、為了提高金磚國家在此側(cè)面的優(yōu)勢(shì),請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型探討成員之間更好 的協(xié)作分工模式;5、預(yù)測(cè)研究在若干年后,金磚國家在此側(cè)面的優(yōu)勢(shì)會(huì)繼續(xù)保持、縮小還是 擴(kuò)大?利用數(shù)學(xué)模型支持你的結(jié)論。二、 問題分析對(duì)于問題一,金磚五國因?yàn)橥伙w猛進(jìn)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展勢(shì)態(tài)而得名,所以首先考 慮從最能反映經(jīng)濟(jì)增長速度的 GDP 增長率入手,先選擇對(duì)經(jīng)濟(jì)影響較明顯的幾 個(gè)因素:總?cè)丝?經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口,居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲率,森林面積、一次能 源生產(chǎn)總量、 貨物進(jìn)出口總額, 考慮到經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的復(fù)雜與不確定性, 采用灰色模 型理論,對(duì)于這幾個(gè)因素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的量化歸一,求出他們對(duì)于 GDP 增長率的關(guān)

7、聯(lián)度。根據(jù)關(guān)聯(lián)度的大小判斷這幾個(gè)因素對(duì)于 GDP 增長的影響。對(duì)于問題二,通過將 G7這幾個(gè)傳統(tǒng)發(fā)達(dá)國家對(duì)世界平均 GDP 的總量和增 長率的影響力與金磚五國對(duì)于世界平均 GDP 總量和增長率的影響力的比較突顯 出金磚五國在 GDP 增長率上的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于問題三,不同國家因?yàn)楫a(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的不同對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易的依賴程度也 不同, 以此為切入點(diǎn)對(duì)五國之間的差異, 建立進(jìn)出口額與 GDP 之間的線性關(guān)系, 通過比較線性方程之間系數(shù)的差異來反應(yīng)五國之間的差異。對(duì)于問題四,五個(gè)國家的合作問題,從貿(mào)易往來入手,研究資源在各個(gè)國 家的轉(zhuǎn)移率為多少時(shí)能夠滿足各個(gè)國家的需求。 針對(duì)研究長期隨機(jī)現(xiàn)象可以利用 馬爾可夫鏈

8、, 建立條件向量和轉(zhuǎn)移矩陣求得資源在各個(gè)國家的轉(zhuǎn)移率之間的相互 關(guān)系,得到具有參考價(jià)值的數(shù)據(jù)。對(duì)于問題五, 針對(duì)未來幾年 GDP 的預(yù)測(cè)考慮到離散模型只能對(duì)客觀系統(tǒng)的 發(fā)展做短期分析,適應(yīng)不了從現(xiàn)在起做較長遠(yuǎn)的分析、規(guī)劃、決策的要求。而灰 色理論首先基于對(duì)客觀系統(tǒng)的新的認(rèn)識(shí)。 盡管某些系統(tǒng)的信息不夠充分, 但可將 有些隨機(jī)量、 無規(guī)則的干擾成分以及雜亂無章的數(shù)據(jù)看作是在一定范圍內(nèi)變化的 灰色量按適當(dāng)?shù)霓k法將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理, 將灰色數(shù)變換為生成數(shù), 獲得較強(qiáng)的 生成函數(shù),因而有一定的可靠性。三、 模型假設(shè)1. 假設(shè)網(wǎng)上搜集的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠;2. 假設(shè)在預(yù)測(cè)的五年里, 不會(huì)出現(xiàn)戰(zhàn)爭(zhēng)和金融危機(jī)等嚴(yán)重

9、影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因素;3. 假設(shè)影響 GDP 的各指標(biāo)有一個(gè)穩(wěn)定的發(fā)展趨勢(shì);4. 假設(shè)各金磚國家愿意建立貿(mào)易合作雙贏關(guān)系。四、 符號(hào)說明1x 總?cè)丝?x 經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口3x 居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲率4x 森林面積5x 一次性能源生產(chǎn)總量6x 貨物進(jìn)出口總額1y 巴西2y 中國3y 印度4y 俄羅斯5y 南非五、模型的建立與求解5.1問題一模型的建立求解:金磚五國都是重要的發(fā)展中國家和新興市場(chǎng)國家,盡管目前金磚國家在很 大程度上還是一個(gè)松散的團(tuán)體, 但它們擁有世界 40%的人口、 18%的全球貿(mào)易以 及約 45%的當(dāng)年增長。 金磚國家經(jīng)濟(jì)增長速度遠(yuǎn)高于世界平均增長速度, 而且占 全球 GDP 總量超過

10、 1/7。因此,我們選定 GDP 的增長率作為反映金磚國家經(jīng)濟(jì) 未來發(fā)展?jié)摿Φ氖滓罁?jù), 針對(duì)金磚國家在該此方面的優(yōu)勢(shì), 我們選擇對(duì)發(fā)展中 國家 GDP 相對(duì)影響較大的人口、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口、價(jià)格指數(shù)、資源和環(huán)境、能源、 對(duì)外貿(mào)易等方面為參考指標(biāo),運(yùn)用灰色分析法分析出對(duì)金磚五國 GDP 影響較顯 著的因素,從而找到產(chǎn)生這種優(yōu)勢(shì)的原因。我們以中國和俄羅斯為代表,分析總?cè)丝?、?jīng)濟(jì)活動(dòng)人口、居民消費(fèi)價(jià)格 指數(shù)上漲率、森林面積、一次能源生產(chǎn)總量、貨物進(jìn)出口總額與 GDP 的相關(guān)系 數(shù),從而得到對(duì)金磚五國 GDP 影響較顯著的因素。我們首先對(duì)中國進(jìn)行具體分析:對(duì)中國 2005至 2009年 GDP 及這六個(gè)

11、指標(biāo)的數(shù)據(jù)變化統(tǒng)計(jì)如下表(一 : 運(yùn)用灰色分析法來確定這六個(gè)方面對(duì) GDP 影響的比重,具體步驟如下: 首先選取 0x =GDP為參考數(shù)列 ,0x =22576, 27135, 34957, 45218, 49905以總?cè)丝?1x , 經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口 2x , 居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲率 3x , 森林面積 4x , 一 次性能源生產(chǎn)總量 5x , 貨物進(jìn)出口總額 6x 為比較數(shù)列。(1原始數(shù)據(jù)做均值化處理設(shè)原始數(shù)據(jù)為 i x =(1,(2,(3,(4,(5i i i i i x x x x x (其中 i=1,2,3,4,5,6 , 對(duì) i x 均值化處理得到數(shù)列 i y ,令 511( 5i i

12、 k x x k =,則: (1(2(3(4(5(1,(2,(3,(4,(5, , , , i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x y y y y y y x x x x x =(2求差序列:0( ( ( i i k y k y k =- (i=1,2 6; k=1,2,3,4,5(3計(jì)算參考數(shù)列 0y 在第 k 點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為:0min min ( max max ( (, ( ( max max ( i i i k i ki i i i k k k r y k y k k k +=+ (i=1,2 6(4計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度:(50011, , 5

13、i i i k r r y y r y k y k = (i=1,2,3,4,5,6 312456r r r r r r 由關(guān)聯(lián)序列可以看出,對(duì)于中國來說,貨物進(jìn)出口總額和 GDP 的關(guān)聯(lián)度最 高,其次是一次性能源生產(chǎn)總量和森林面積,再然后是經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口,總?cè)丝? 居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲率。對(duì)俄羅斯 2005至 2009年 GDP 及這六個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)變化統(tǒng)計(jì)如下表 (二 :(二 則同上運(yùn)用灰色分析法來確定六個(gè)指標(biāo)對(duì)俄羅斯 GDP 影響的比重,通過 341526r r r r r r 由關(guān)聯(lián)序列可以看出,對(duì)于俄羅斯來說,貨物進(jìn)出口總額和 GDP 的關(guān)聯(lián)度 最高, 其次是一次性能源生產(chǎn)總量和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)

14、人口, 再然后是總?cè)丝? 森林面積, 居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲率。則由以上分析可以看出, 對(duì)中國和俄羅斯 GDP 影響較大的都為貨物進(jìn)出口 總額、一次性能源生產(chǎn)總量,其次是經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口。由此我們可得出,作為發(fā)展 中國家的金磚五國 GDP 同貨物進(jìn)出口總額、一次性能源生產(chǎn)總量、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人 口的相關(guān)度最大。由于金磚國家以廉價(jià)商品、豐富資源、充足勞動(dòng)力、巨大潛在市場(chǎng)等著稱, 成為各發(fā)達(dá)國家小商品及原材料的生產(chǎn)基地, 同時(shí)對(duì)外貿(mào)易也為其帶來了巨大的 經(jīng)濟(jì)效益, 促進(jìn)了各金磚國家經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展, 因此其貨物進(jìn)出口總額相對(duì) GDP 的權(quán)重較大。金磚五國總?cè)丝诖蠹s占了全球總?cè)丝诘?42.7%,擁有豐富的人力資

15、源, 而且比歐美國家更加年輕化, 因此其經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口較多也對(duì)其經(jīng)濟(jì)發(fā)展起到 較好的促進(jìn)作用。5.2問題二模型的建立求解:七國集團(tuán)(G7是由加拿大、法國、德國、意大利、日本、英國和美國所 構(gòu)成的聯(lián)盟。他們擁有強(qiáng)大的經(jīng)濟(jì)實(shí)力,但面對(duì)國際金融危機(jī)帶來的嚴(yán)重沖擊, 其 GDP 甚至出現(xiàn)負(fù)增長現(xiàn)象(見表三 。 2009年,當(dāng)世界經(jīng)濟(jì)出現(xiàn) -0.6的增長率時(shí),金磚國家仍以平均 0.72的增長 率快速發(fā)展(見表四 。其中中國和印度甚至出現(xiàn)了 9.2%、 4.5%的高速增長。表 明金磚國家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力及對(duì)全球經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)率不斷提高, 對(duì)發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體的依 賴程度也在逐漸降低。 金磚五國 GDP 增長率相對(duì)世界以及

16、七國集團(tuán)的綜合折線圖如下:增長率 -10-5510152025年份百 分 比由上圖可以清晰看出, 在 2005 2009年間, 中國一直處于高速發(fā)展的前線, 其 GDP 增長率始終高于七國集團(tuán)。而且巴西、南非、俄羅斯的國內(nèi)生產(chǎn)總值也 都保持了較平穩(wěn)的增長率,并且都在 08年之后超過七國集團(tuán)的平均增長率。其 中印度的經(jīng)濟(jì)增長幅度波動(dòng)較大,受 08年國際金融危機(jī)的影響較大,但在 09年期間逐步擺脫影響且恢復(fù)較快,迅速超過了七國集團(tuán)的平均增長率。隨著金磚國家經(jīng)濟(jì)的迅速增長,世界經(jīng)濟(jì)權(quán)力和財(cái)富將加速向金磚國家轉(zhuǎn) 移,以西方為主導(dǎo)的世界經(jīng)濟(jì)版圖將會(huì)發(fā)生巨大變化。 2008國際金融危機(jī)的爆 發(fā)進(jìn)一步加速了

17、金磚國家追趕西方發(fā)達(dá)國家的腳步。 金磚國家經(jīng)濟(jì)的崛起并不是 處于危機(jī)下的短暫或偶然現(xiàn)象, 而將是一種持續(xù)長期的趨勢(shì), 體現(xiàn)為全球經(jīng)濟(jì)由 西向東、由北到南的歷史性轉(zhuǎn)折。因此,從 GDP 增長率的角度來看,金磚國家 對(duì)七國集團(tuán)還存在整體上的優(yōu)勢(shì)。5.3問題三模型的建立求解:金磚五國各自的 GDP 雖然都在快速增長但彼此之間又不盡相同,通過對(duì)問 題一的求解發(fā)現(xiàn)各國 GDP 的增長和進(jìn)出口總額的關(guān)聯(lián)度最大,所以利用數(shù)據(jù)擬 合模型,探求金磚五國各國進(jìn)出口總額的增長率和 GDP 的增長率之間的線性關(guān) 系,找出五國之間的差異。首先取五國各自的進(jìn)出口額增長率作為自變量, GDP 增長速率作為因變量,利用 ma

18、tlab 中的擬合函數(shù)進(jìn)行一元線性擬合,得到下列線性方程:根據(jù)上述五個(gè)線性方程的一次項(xiàng)系數(shù)可見當(dāng)前進(jìn)出口對(duì)于印度 GDP 的增長 率影響最大,其次依次是俄羅斯、南非、巴西、中國。印度作為世界第一大產(chǎn)奶國,也是世界重要的產(chǎn)棉國和產(chǎn)茶國,擁有豐富 的礦產(chǎn)資源, 鋁土儲(chǔ)量和煤產(chǎn)量均占世界第五位, 農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)為其最大的經(jīng)濟(jì) 部門,其牛、山羊、綿羊、水牛頭數(shù)居世界第一 。 近年來,隨著綜合國力不斷增 強(qiáng), 印度加快推進(jìn)大國外交戰(zhàn)略, 強(qiáng)調(diào)外交為經(jīng)貿(mào)服務(wù), 在保持與俄羅斯及其他 獨(dú)聯(lián)體國家關(guān)系的同時(shí),大力發(fā)展與美、日、歐等發(fā)達(dá)國家的關(guān)系,尤其是經(jīng)貿(mào) 科技合作,吸收資金和技術(shù)。其主要進(jìn)口商品為:石油及其制

19、品、燃料、資本貨 物、寶石、化肥、化工產(chǎn)品、鋼鐵、造紙?jiān)稀⒓垙埖?主要出口商品為:棉紗 及棉織品、珠寶制品、醫(yī)藥及化工制品、機(jī)械及五金制品、農(nóng)業(yè)及相關(guān)半成品、 皮革及其制品、海產(chǎn)品、鐵礦砂等。在政治鼓勵(lì)和經(jīng)濟(jì)利益的刺激下,印度加強(qiáng) 對(duì)外貿(mào)易, 其興旺發(fā)展的出口貿(mào)易也為其經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的后繼力量。 甚至 有報(bào)告稱,到 2020年印度將躍升為全球經(jīng)濟(jì)增長最快的國家之一,其對(duì)外貿(mào)易 在世界各國外貿(mào)排行榜上將躍居前十。俄羅斯作為世界加油站,其自然資源十分豐富,種類多,儲(chǔ)量大,自給程 度高。石油探明儲(chǔ)量 65億噸,占世界探明儲(chǔ)量的 12-13%,居世界第二位。其出 口商品主要有石油、天然氣、電力、

20、煤、機(jī)器設(shè)備、黑色金屬等,進(jìn)口商品主要 有機(jī)器設(shè)備、小轎車、卡車、食品以及紡織品、鞋帽等輕工業(yè)品。隨著石油和天 然氣價(jià)格的不斷上漲, 這兩大工業(yè)的開采和生產(chǎn)控制了其五分之一的國民生產(chǎn) , 并創(chuàng)造了 50%的出口貿(mào)易產(chǎn)值和 40%的國家收入。南非、巴西、中國則分別擁有豐富的自然自然、強(qiáng)大的世界原料基地以及 充?？煽康膭趧?dòng)力, 為其出口礦產(chǎn)資源、 提供原材料、 吸引外資等對(duì)外貿(mào)易建立 了條件,也創(chuàng)造了巨大的經(jīng)濟(jì)效益,為其國內(nèi)年國產(chǎn)總值的增長做貢獻(xiàn)。5.4問題四模型的建立求解:針對(duì)金磚五國的地理位置以及各國的對(duì)外貿(mào)易特點(diǎn),以及每個(gè)國家的資源 種類和總量的不同, 五國之間要加強(qiáng)合作, 需要通過相互貿(mào)易

21、調(diào)劑余缺, 今假設(shè) 五國總共可以出口的資源為 1,巴西、南非、印度、中國、俄羅斯分別需要 0.1、 0.2、 0.3、 0.2、 0.2假設(shè)五國之間相互貿(mào)易的關(guān)系如圖所示 (1,2,3,4,5; 1,2,3,4,5 ij p i j =為資源從第 i 個(gè)國家出口到第 j 個(gè)的概率。 假設(shè)停留在每個(gè)國家的資源向外周轉(zhuǎn)的概率可以調(diào)控, 求當(dāng)概率分別為多少 時(shí)能夠滿足各國的需求條件。針對(duì)資源長期穩(wěn)定流通這一問題, 考慮到資源的流動(dòng)方向只與當(dāng)前貨物所在 的國家有關(guān)而與其所在產(chǎn)地?zé)o關(guān)可以建立馬爾可夫模型, 因此可以設(shè)巴西、 南非、 印度、 中國、 俄羅斯這五個(gè)國家種各自的需求量為條件概率 (0.1,0.

22、2,0.3,0.2,0.2P 將資源在各個(gè)國家的轉(zhuǎn)移率列為轉(zhuǎn)移矩陣122113323443455400000000000000000p p p Z p p p p p =由 0.1,0.2,0.3,0.2,0.2P Z =可以解得540.5322233221p p p p p p p p =+=+=+= 只要資源在各個(gè)國家轉(zhuǎn)移的概率滿足上述公式就可以使資源大體上滿足每 個(gè)國家的需求。 至于各個(gè)轉(zhuǎn)移概率的具體值可由五個(gè)國家根據(jù)自身的情況自己制 定。5.5問題五模型的建立求解:金磚國家在 2004到 2010年, GDP 顯持續(xù)上升趨勢(shì)。我們用灰色預(yù)測(cè)模型 來預(yù)測(cè)金磚國家和美國 2011到 201

23、5未來五年的 GDP ,進(jìn)行比較,進(jìn)而判斷出 金磚國家在此側(cè)面的優(yōu)勢(shì)會(huì)繼續(xù)保持、縮小還是擴(kuò)大?；疑A(yù)測(cè)是指利用 GM 模型對(duì)系統(tǒng)行為特征的發(fā)展變化規(guī)律進(jìn)行估計(jì)預(yù) 測(cè),灰色預(yù)測(cè)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,以及環(huán)境、社會(huì)和軍事等領(lǐng)域中 都有廣泛的應(yīng)用,特別是依據(jù)目前已有的數(shù)據(jù)對(duì)未來的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)分析。 下面以巴西為例詳細(xì)建模并求解。 1 .數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理首先,為了保證建模方法的可行性,需要對(duì)已知數(shù)據(jù)列做必要的檢驗(yàn)。設(shè)參考數(shù)據(jù)為 :000012(, , , k n X x x x -= =(6638, 8824, 10888, 13665, 16507, 15384, 20898計(jì)算數(shù)列的級(jí)

24、比:010( k kx k x -= 則(2,(3, (7 =(0.7523, 0.8104, 0.7968, 0.8278 , 1.0730, 0.7361如果所有的級(jí)比 ( k 都落在可容覆蓋(21n e -+ , 22n e + =(0.7575, 1.3307內(nèi),則數(shù)列 0X 可以作為模型 GM(1,1的數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)。做一次累加(AGO 生成數(shù)列1111127(, X x x x =(6638, 15462, 26350, 40015, 56522, 71906, 92804其中 1k x =01k i i x =, (k=1, 2, n 2.建立模型求均值序列:11建立灰微分方程

25、為:0k x +a1k z =b,(k=2, n 相應(yīng)的白化微分方程為:11, t dx ax b dt,則有最小乘法,求得使 ( ( ( T J Y B Y B =-達(dá)到最小值的 1(, ( T T T a b B B B Y -=。 于是求解方程得1011( , ak k b b x x ea a-+=-+(k=1, 2, n-1 3 .檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值(1殘差檢驗(yàn):令殘差為 (k ,計(jì)算如果 k 0.2,則可認(rèn)為達(dá)到一般要求,如果 k 0.1,則可認(rèn)為達(dá)到較高的 要求。00120(, , k kk n k x x x -= =(0, -0.0674, -0.1658 , 0.0801 , 0.

26、0154 , -0.0203, 0.0622 0.2故符合一般要求(2級(jí)比偏差值檢驗(yàn):首先由參考數(shù)據(jù) 01k x -, 0k x 計(jì)算出級(jí)比 (k ,再用發(fā)展系數(shù) a (一般取 0.5求出相應(yīng)的級(jí)比偏差 :如果 k 0.2 ,則可認(rèn)為達(dá)到一般要求;如果 k 0.1,則認(rèn)為達(dá)到較高的 要求。(1210.51( , , , 10.5k n a k a -=-= +=(0.1243, 0.0566 , 0.0725 , 0.0363, -0.2491, 0.1430 0.2故符合一般要求經(jīng)驗(yàn)證,該模型的精度在允許范圍內(nèi),其預(yù)測(cè)結(jié)果具有一定的可靠性。4.用 matlab 求解(程序見附錄金磚五國及美國

27、 20042015的 GDP 值 (其中 20042010為真實(shí)值, 20112015為預(yù)測(cè)值 圖中:青色 -美國紅色 -中國藍(lán)色 -巴西綠色 -俄羅斯黃色 -印度紫色 -南非由上折線圖可以看出, 在未來五年中, 作為世界主要新興經(jīng)濟(jì)體的 “金磚五 國”中國、印度、巴西、俄羅斯和南非 5個(gè)金磚國家將繼續(xù)保持強(qiáng)勁增長,其中 經(jīng)濟(jì)發(fā)展最突出的是中國,他們與 G7之間的差距將逐步變小,在此方面的優(yōu)勢(shì) 將會(huì)逐步擴(kuò)大。金磚國家的工業(yè)化涉及到全球 40%的人口, 從這個(gè)意義上講, 金磚國家能夠 在和平方式下實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化,工業(yè)文明將會(huì)被帶到惠及世界大部分人口的嶄新階 段, 其歷史意義將是空前絕后的。 與此同時(shí)

28、, 金磚國家不僅需要處理好內(nèi)部各成 員國之間的利益關(guān)系, 也要處理好與其他國家之間的關(guān)系。 應(yīng)該看到, 機(jī)遇與發(fā) 展同在,金磚五國經(jīng)濟(jì)互補(bǔ)性較強(qiáng),具有資金、技術(shù)、資源、勞動(dòng)力以及消費(fèi)市 場(chǎng)等優(yōu)勢(shì),合作潛力巨大。我們有理由相信,金磚五國將會(huì)實(shí)現(xiàn)互利共贏,必將 成為世界上一支舉足輕重的力量。六、模型的評(píng)價(jià)本文的第一問第五問相繼用灰色模型求解,運(yùn)用灰色模型解決經(jīng)濟(jì)方面這 些成因模糊復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象, 可以避免因?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)模型對(duì)于數(shù)據(jù)量要求大, 對(duì) 于統(tǒng)計(jì)數(shù)字要求要有較強(qiáng)的規(guī)律性等問題, 灰色系統(tǒng)理論建模的主要根據(jù)具體灰 色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù), 充分開發(fā)并利用不多的數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息, 尋找 因素間或因素本身的數(shù)學(xué)關(guān)系。從而突破了概率統(tǒng)計(jì)的局限性, 使其結(jié)果不再 是過去依據(jù)大量數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 但灰色模型同樣具有所得結(jié)果難 以解釋等缺陷等問題有待進(jìn)一步改進(jìn)。第三問采用擬合原理尋找 GDP 增長率與進(jìn)出口增長率之間的連系,由于所 運(yùn)用的數(shù)據(jù)量較少, 所得的線性關(guān)系就顯得較為簡單, 針對(duì)長期客觀現(xiàn)象的真實(shí) 反映可能不太精準(zhǔn)。第四問借用馬爾可夫鏈模型,研究進(jìn)出口貨物之間的關(guān)系,簡化了線性規(guī) 劃復(fù)雜的約束條件, 在不影響結(jié)果的前提下簡化了求解過程。 但對(duì)于現(xiàn)實(shí)問題的 解答顯得有些過于模糊。本文