高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程

1、備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3.掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1.對(duì)直線的傾斜角和斜率概念的考查，很少單獨(dú)命題，但作為解析幾何的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)要加深理解2.對(duì)兩條直線平行或垂直的考查，多與其他知識(shí)結(jié)合考查，如2012年浙江T3等3.直線方程一直是高考考查的重點(diǎn)，且具有以下特點(diǎn)：(1)一般不單獨(dú)命題，考查形式多與其他知識(shí)結(jié)合，以選擇題為主(2)主要是涉及直線方程和斜率.歸納·知識(shí)整合1直線的傾斜

2、角與斜率(1)直線的傾斜角一個(gè)前提：直線l與x軸相交；一個(gè)基準(zhǔn)：取x軸作為基準(zhǔn)；兩個(gè)方向：x軸正方向與直線l向上方向當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為0°.傾斜角的取值范圍為0，)(2)直線的斜率定義：若直線的傾斜角不是90°，則斜率ktan_.計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k.探究1.直線的傾角越大，斜率k就越大，這種說(shuō)法正確嗎？提示：這種說(shuō)法不正確由ktan 知，當(dāng) 時(shí)，越大，斜率越大且為正；當(dāng)時(shí)，越大，斜率也越大且為負(fù)但綜合起來(lái)說(shuō)是錯(cuò)誤的2兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系探究2.兩條直線l1，l2垂直的充要條

3、件是斜率之積為1，這句話正確嗎？提示：不正確，當(dāng)一條直線與x軸平行，另一條與y軸平行時(shí)，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在3直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0，y0)yy0k(xx0)不含直線xx0斜截式斜率k與截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式截距a與b1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用探究3.過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？提示：當(dāng)x1x2，或y1y2時(shí)，由兩點(diǎn)式方程知

4、分母此時(shí)為零，所以不能用兩點(diǎn)式方程表示自測(cè)·牛刀小試1(教材習(xí)題改編)若直線x2的傾斜角為，則()A等于0B等于C等于 D不存在解析：選C因?yàn)橹本€x2垂直于x軸，故其傾斜角為.2(教材習(xí)題改編)過(guò)點(diǎn)M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1 B4C1或3 D1或4解析：選A由題意知，1，解得m1.3過(guò)兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線方程為()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30解析：選B直線斜率為1，其方程為yx3，即xy30.4直線l的傾斜角為30°，若直線l1l，則直線l1的斜率k1_；若直線l2l，則直線l2的斜率k2_.解析：l1l2，

5、kl1tan 30°.l2l，kl2.答案：5已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三點(diǎn)共線，則x等于_解析：因?yàn)閗AB2，kAC.A，B，C三點(diǎn)共線，所以kABkAC，即2，解得x3.答案：3直線的傾斜角和斜率例1(1)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，)B.C. D.(2)已知兩點(diǎn)A(m，n)，B(n，m)(mn)，則直線AB的傾斜角為_(kāi)；(3)直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為_(kāi)自主解答(1)設(shè)直線的傾斜角為，則有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0 或 <.(2)設(shè)

6、直線AB的傾斜角為，斜率為k，則ktan 1.又0，)，所以.(3)如右圖，kAP1，kBP，k(， 1，)答案(1)B(2)(3)(， 1，)若將P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l的斜率的取值范圍 解：P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，kPA，kPB.借助圖形可知，直線l的斜率的取值范圍為. 斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率；(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率1直線l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A. B.

7、C D解析：選A設(shè)直線l的斜率為k，則k.2若直線l與直線y1，x7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則直線l的斜率為()A. BC D.解析：選B設(shè)P(x,1)，Q(7，y)，則x72,1y2，解得x5，y3，從而kl.直線的平行與垂直的判斷及應(yīng)用例2若直線ax2y60與x(a1)ya210平行，則a_.自主解答因?yàn)閮芍本€平行，所以有a(a1)2，即a2a20，解得a2或a1.答案2或1用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20

8、)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)3已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，Q(3，m)，若l1l2，則實(shí)數(shù)m_.解析：k1tan 45°1，k2，l1l2，k21，解得m6.答案：64已知過(guò)點(diǎn)A(2，m)，B(m,4)的直線與直線2xy10平行，則m的值為_(kāi)解析：由題意知，kAB2，解得m8.答案：8直 線 方 程例3(1)在等腰三角形AOB中，AOAB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

9、3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)OAB的面積為12，則直線l的方程是_自主解答(1)因?yàn)锳OAB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kABkOA3，所以直線AB的點(diǎn)斜式方程為：y33(x1)(2)法一：設(shè)直線l的方程為1(a>0，b>0)則有1，且ab12.解得a6，b4.所以所求直線l的方程為1，即2x3y120.法二：設(shè)直線l的方程為y2k(x3)(k<0)，令x0，得y23k>0；令y0，得x3>0.所以SOAB(23k)12，解得k，故所求直線方程為y2(x3)，即2x3y120.答案(1)D(2)2x3y120求直線方程的

10、常用方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為1，

11、即2x3y60.(3)BC的斜率k1，則BC的垂直平分線DE的斜率k22，由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.1個(gè)關(guān)系直線的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)任何的直線都存在傾斜角，但并不是任意的直線都存在斜率(2)直線的傾斜角和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<03個(gè)注意點(diǎn)與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)明確直線方程各種形式的適用條件點(diǎn)斜式斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截

12、距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線在應(yīng)用時(shí)要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無(wú)特殊要求下一般化為一般式(2)截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問(wèn)題中，要注意討論截距是否為零(3)求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對(duì)斜率存在與否加以討論. 易誤警示有關(guān)直線方程中“極端”情況的易誤點(diǎn)典例(2013·常州模擬)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_(kāi)解析當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為1，即xya0.點(diǎn)P(2,3)在直線l上，23a0，a1，所求直線l的方程為xy10.當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為ykx，則

13、有32k，即k，此時(shí)直線l的方程為yx，即3x2y0.綜上，直線l的方程為xy10或3x2y0.答案xy10或3x2y01因忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線方程3x2y0而致錯(cuò)，所以可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解2在選用直線方程時(shí)，常易忽視的情況還有：(1)選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況；(2)選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況已知直線l過(guò)(2,1)，(m,3)兩點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)解析：當(dāng)m2時(shí)，直線l的方程為x2；當(dāng)m2時(shí)，直線l的方程為，即2x(m2)ym60.因?yàn)閙2時(shí)，方程2x(m2)ym60，即為x2，所以直線l的方程為2x(m2)

14、ym60.答案：2x(m2)ym60一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2013·秦皇島模擬)直線xy10的傾斜角是()A.B.C. D.解析：選D由直線的方程得直線的斜率為k，設(shè)傾斜角為，則tan ，所以.2已知點(diǎn)A(1，2)，B(m,2)，且線段AB垂直平分線的方程是x2y20，則實(shí)數(shù)m的值是()A2 B7C3 D1解析：選C由已知kAB2，即2，解得m3.3若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線共有()A4條 B3條C2條 D1條解析：選B作圖易得在第一、二、四象限各能圍成一個(gè)4(2013·銀川模擬)已知直線l1：x

15、ay60和l2：(a2)x3y2a0，則l1l2的充要條件是a等于()A3 B1C1 D3或1解析：選C由題意知，l1l2，即a1.5直線2xmy13m0，當(dāng)m變化時(shí)，所有直線都過(guò)定點(diǎn)()A. B.C. D.解析：選D原方程可化為(2x1)m(y3)0，令解得x，y3，故所有直線都過(guò)定點(diǎn).6設(shè)a，b，c分別是ABC中角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsin Aayc0與直線bxysin Bsin C0的位置關(guān)系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：選C由已知得a0，sin B0，所以兩條直線的斜率分別為k1，k2，由正弦定理得k1·k2·1，所以兩條直線垂直二、填

16、空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_解析：當(dāng)時(shí)，ktan ；當(dāng)時(shí)，ktan ，0)綜上k，0).答案：，0)8已知直線xky10與直線ykx1平行，則k的值為_(kāi)解析：若兩直線平行，則k，解得k±1.答案：±19(2013·皖南八校聯(lián)考)已知直線a2xy20與直線bx(a21)y10互相垂直，則|ab|的最小值為_(kāi)解析：兩直線互相垂直，a2b(a21)0且a0，a2ba21，aba，|ab|a|2(當(dāng)且僅當(dāng)a±1時(shí)取等號(hào))答案：2三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10設(shè)直線l的

17、方程為xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸上的截距為3.解：(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以m0，于是直線l的方程可化為yx.由題意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由題意得2m63，解得m.法二：直線l的方程可化為xmy2m6.由題意得2m63，解得m.11已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)(1)求直線AB的方程；(2)已知實(shí)數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍解：(1)當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為x1，當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為y2(x1)(2)當(dāng)m1時(shí)，.當(dāng)m1時(shí)，m1，即k(， ，所以.綜合知，直線AB的傾斜角的取值范圍為.1

18、2如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線yx上時(shí)，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設(shè)A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點(diǎn)C，由點(diǎn)C在yx上，且A，P，B三點(diǎn)共線得解得m，所以A(， )又P(1,0)，所以kABkAP.所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.1直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線3y2x1垂直，則l的方程是()A3x2y10

19、B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：選A法一：設(shè)所求直線l的方程為3x2yC0，則3×(1)2×2C0，得C1，即l的方程為3x2y10.法二：由題意知，l的斜率是k，則直線l的方程為y2(x1)，即3x2y10.2直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率的取值范圍是()A1<k< Bk>1或k<Ck>或k<1 Dk>或k<1解析：選D設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y2k(x1)，令y0，得直線l在x軸上的截距為1，則3<1<3，解得k>或k<1.3已知A(3,0)，B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動(dòng)，則xy的最大值等于_解析：