相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整理與練習(xí)

1、相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整理與練習(xí)相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整理一、 相交線1、 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)1的兩邊與2的兩邊互為反方向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等1=2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)3與4有一條邊共有，另一邊互為反向延長(zhǎng)線領(lǐng)補(bǔ)角互補(bǔ)3 +4=180°注：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；如果與是對(duì)頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對(duì)頂角如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有+=180°；反之如果+=180°，則與不一定是鄰補(bǔ)角。兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。例1. 如圖所示,1和2是對(duì)頂角的圖形有

2、 。例2. 如圖，直線ABCDEF都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，圖中有 對(duì)對(duì)頂角。 例3. 如圖，若AOB與BOC是一對(duì)鄰補(bǔ)角，OD平分AOB，OE在BOC內(nèi)部，并且BOE=COE，DOE=72°求COE的度數(shù)。2、 垂線定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。符號(hào)語(yǔ)言記作：如圖所示：ABCD，垂足為O 垂線性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。3、垂線的畫(huà)法：過(guò)直線上一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線；過(guò)直線外

3、一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線。注：畫(huà)一條線段或射線的垂線，就是畫(huà)它們所在直線的垂線；過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。畫(huà)法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上；二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上；三畫(huà)：沿著這條直角邊畫(huà)線，不要畫(huà)成給人的印象是線段的線。4、點(diǎn)到直線的距離定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。如圖，POAB，同P到直線AB的距離是PO的長(zhǎng)。PO是垂線段。PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條?，F(xiàn)實(shí)生活中開(kāi)溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距

4、離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念 垂線與垂線段 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì)) 兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離 區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間；點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離。 線段與距離 區(qū)別：距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。例4. 已知：如圖，在一條公路的兩側(cè)有A、B兩個(gè)村莊。<1>現(xiàn)在鄉(xiāng)政府為民服務(wù)，沿公路開(kāi)通公交汽車(chē)，并在路邊修建一個(gè)公共汽車(chē)站P，同時(shí)修建車(chē)站P到A、B兩個(gè)

5、村莊的道路，并要求修建的道路之和最短，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出車(chē)站的位置，在圖中畫(huà)出點(diǎn)P的位置，(保留作圖的痕跡)并在后面的橫線上用一句話說(shuō)明道理 . <2>為方便機(jī)動(dòng)車(chē)出行，A村計(jì)劃自己出資修建一條由本村直達(dá)公路的機(jī)動(dòng)車(chē)專用道路，你能幫助A村節(jié)省資金，設(shè)計(jì)出最短的道路嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出你設(shè)計(jì)修建的最短道路，并在后面的橫線上用一句話說(shuō)明道理 .二、 平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)來(lái)也一樣（這里，我

6、們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理（平行線的存在性與惟一性）：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行（即若則有。）5、三線八角兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。如圖，直線被直線所截，1與5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）5與3在截線的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線之間（

7、內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）5與4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無(wú)關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。例5. 如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：1與2；1與7；1與BAD；2與6；5與8。解：我們將各對(duì)角從圖形中抽出來(lái)（或者說(shuō)略去與有關(guān)角無(wú)關(guān)的線），得到下列各圖。 如圖所示，不難看出1與2是同旁內(nèi)角；1與7是同位角；1與BAD是同旁內(nèi)角；2與6是內(nèi)錯(cuò)角；5與8對(duì)頂角。注意：圖中2與9，它們是同位角嗎？不是，因?yàn)?與9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線

8、被第三條直線所截而成。 (1) (2) (3) (4) (5)例6. 如圖，按各角的位置，下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）（A）1與2是同旁內(nèi)角 （B）3與4是內(nèi)錯(cuò)角（C）5與6是同旁內(nèi)角 （D）5與8是同位角 例7. 如圖3-2，與EFB構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的是_ _,與FEB構(gòu)成同旁內(nèi)角的是_ _.7、兩直線平行的判定方法兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行 簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行 簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行注意：幾何中，圖形

9、之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行。如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。例8. 判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：不相交的兩條直線必定平行線。 在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過(guò)一點(diǎn)可以且只可以畫(huà)一條直

10、線與已知直線平行解答：錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏。正確 不正確，正確的說(shuō)法是“過(guò)直線外一點(diǎn)”而不是“過(guò)一點(diǎn)”。因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。例9. 如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說(shuō)明判定的根據(jù)是什么？由2B可判定 ，根據(jù) ；由1D可判定 ，根據(jù) ；由3F180°可判定 ，根據(jù) 。三、平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等； 性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； 性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。2、兩條平行線的距離如圖，直線ABCD，EFAB于E，EFCD于F

11、，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離。注意：直線ABCD，在直線AB上任取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長(zhǎng)度也就是直線AB與CD間的距離。3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。命題的組成：每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫(xiě)成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論。有些命題，沒(méi)有寫(xiě)成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫(xiě)成“如果，那么”的形式。注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也

12、可用“已知”或者“若”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證”或“則”等形式表述。4、平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系 兩直線平行同位角相等； 兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等； 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。綜合演練一、 選擇題1、到直線L的距離等于2cm的點(diǎn)有( )A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 無(wú)數(shù)個(gè) D. 無(wú)法確定2、過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線,則( )A.有且只有一條 B.有兩條 C.不存在或只有一條 D.不存在3、如圖所示

13、,直線相較于一點(diǎn)，交點(diǎn)為O,1=2,3:1=8:1,則4=( )A. 36° B. 72 ° ° 第3題 第4題 第5題4、如圖所示,直線AB和CD相交于點(diǎn)O,若AOD與BOC的和為236°，則AOC的度數(shù)為( ) ° ° ° °5、如圖所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D，C的位置若EFB65°，則AED=( )° ° ° °6、如圖所示，ABEFDC，EGDB，則圖中與1相等的角（1除外）共有（）A6個(gè) B5個(gè) C4個(gè) D2個(gè)7、如圖，BE平分

14、ABC，DEBC，圖中相等的角共有（）A3對(duì) B4對(duì) C5對(duì) D6對(duì) 第6題 第7題 第8題8、如圖所示，將一張長(zhǎng)方形紙的一角斜折過(guò)去，使頂點(diǎn)A落在A處，BC為折痕，如果BD為ABE的平分線，則CBD =（）A80° B90° C100° D70°9、下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）（1）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行 （2）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段必平行（3）相等的角是對(duì)頂角 （4）兩條直線被第三條直線所截，所得到同位角相等（5）兩條平行線被第三條直線所截，一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)10、兩條直線相交所成的四個(gè)角中

15、，下列說(shuō)法正確的是（）A一定有一個(gè)銳角 B一定有一個(gè)鈍角 C一定有一個(gè)直角 D一定有一個(gè)不是鈍角二、 填空題11、已知直線ab，點(diǎn)M到直線a的距離是5cm，到直線b的距離是3cm，那么直線a和直線b之間的距離為 。 12、如圖所示，已知AOB=50°，PCOB，PD平分OPC，則APC=_度，PDO=_度。13、如圖所示，OPQRST，若2=110°，3=120°，則1=_度。 第12題 第13題 第14題14、如圖，將長(zhǎng)方形紙片的一角折疊，使頂點(diǎn)A落在A處，EF為折痕，再將另一角折疊，使頂點(diǎn)B落在EA上的B點(diǎn)處，折痕為EG，則FEG等于_。15、如圖，ABC中，

16、ABC與ACB的平分線相交于D，若A=50°，則BDC=_度16、已知，如圖，ABCD，則、之間的關(guān)系為 。 第15題 第16題 第17題17、如圖，已知ABCDEF，則x、y、z三者之間的關(guān)系是_ _。18、平面內(nèi)5條直線兩兩相交，且沒(méi)有3條直線交于一點(diǎn)，那么圖中共有_對(duì)同旁內(nèi)角19、（2011西寧）如圖，將三角形的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，1=30°，3=20°，則2=_。 第19題 第20題20、（2009邵陽(yáng)）如圖，ABCD，直線EF與AB，CD分別相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EP平分AEF，過(guò)點(diǎn)F作FPEP，垂足為P，若PEF=30°，則PFC=_度。三、 綜合題 21、如圖，已知，是的平分線，求的度數(shù)。22、如圖，已知，是的平分線，求的度數(shù)。25、如圖，直線ACBD，連結(jié)AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成、四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)PA