小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)材料(六年級(jí)下期)

1、小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)材料六年級(jí)下期第一講圖形題例1一個(gè)長(zhǎng)方形(左下圖)被分為9個(gè)面積不相等的小長(zhǎng)方形。其中A、B、C、D、E的面積分別是A160，B172，C215，D240，E300(單位：2)。原來(lái)大長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？(北京市第十一屆迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：給大長(zhǎng)方形寬上的四個(gè)點(diǎn)標(biāo)上字母（右上圖），, ，所以MNNPPQ456。設(shè)MN、NP、PQ分別為4a、5b、6c，那么原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)()。所以原長(zhǎng)方形的面積是×(456)a1995(2)。例2如圖，陰影部分小正六角星形的面積是162。問(wèn)：大正六角形的面積是多少平方厘米？(第五屆“華杯賽”決賽題)解：小正六角星形可以分成12個(gè)

2、相等的小正三角形，每個(gè)小正三角形的面積是16÷121(2)。圍繞小正六角星形的正六邊形比小六角星形大了6個(gè)小等邊三角形，每個(gè)小等邊三角形的面積等于一個(gè)小正三角形的面積，所以正六邊形的面積是161×624(2)，而大正六角星形面積等于正六邊形面積的2倍，是24×248(2)。例3如左下圖，將三角形ABC的BA邊延長(zhǎng)1倍到D，CB邊延長(zhǎng)2倍到E，AC邊延長(zhǎng)3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是多少？(北京市第一屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)D DA A C C B B E F E F 解：連結(jié)CD、AE、BF如右上圖，那么ACDABC1，ADEAB

3、E2，CDFCBF3，BEF6，所以，DEF1×22×23×2618。例4如圖，長(zhǎng)方形的面積為352，左下方直角三角形的面積為52，右上方直角三角形的面積為72，那么中間的三角形(陰影部分)的面積是平方厘米。(1996年全國(guó)奧賽初賽題)75解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a、寬為b。左下方直角三角形的底是a的，右上方直角三角形的高是b的，于是，右下方直角三角形的底是a的1，高是b的1，面積是×(a×b)ab×357.5(2)，所以，陰影部分的面積是35(757.5)15.5(2)。練習(xí)一1一個(gè)長(zhǎng)方形(左下圖)被兩條直線分為四個(gè)長(zhǎng)方形，其中三個(gè)的面積

4、分別是20、25、30(單位：2)。問(wèn)：另一個(gè)(圖中陰影部分)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？(第一屆“華杯賽”復(fù)賽題) 25 20 302圖中，BEBC，CDAC，那么三角形AED的面積是三角形ABC的幾分之幾？(北京市第八屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) A D B EC3圖中,直線DF與平行四邊形ABCD的BC邊交于E點(diǎn),與直線AB的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)。已知AB28，EG等于7,那么 DC三角形CEF的面積是多少平方厘米？(南京市小學(xué) E數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) ABGF4如圖，長(zhǎng)方形的廣告牌長(zhǎng)為10m，寬為8m，A、B、C、D點(diǎn)分別在四條邊上，并且C比A低5m，D在B左邊2m，四邊D形ABCD的面積是多少平方米？

5、(南京市小學(xué)數(shù)學(xué) A競(jìng)賽題) C B5圖中ABCD是直角梯形，其上底CD3，下底AB9，線段DE、EF把梯形分成面積相等的三塊S1S2S3。已知CF2，求這個(gè)直角梯形的面積。(第三屆“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) D CS1 F S2 S3 A E B6圖中三角形ABC的面積是12，且BE2EC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？(北京市第十二屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) C E F A D B7如圖，在三角形ABC中，BC8，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)。那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？(北京市第七屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) A E F DBC8圖中，三角形ABC被分成了甲(陰

6、影部分)、乙兩部分，BDDC4，BE3，AE6。求甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？(第三屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) AE乙 甲 B D C9街心花園里有一個(gè)正方形花壇，四周有一條寬1m的甬道，如果甬道的面積是12m2，那么中間的花壇的面積是多少平方米？(北京市第十二屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)10已知四邊形的周長(zhǎng)是60，四邊形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到各邊的距離都是4.5，求這個(gè)四邊形的面積。(1997年全國(guó)奧賽決賽題)11如圖，三角形ABC和三角形DEC都等腰直角三角形，陰影部分是正方形，三角形ABC與三角形DEC面積的比是多少？(第九屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) D A B E C12如圖，E、F分

7、別是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的點(diǎn)，DFFC，并且甲、乙、丙3個(gè)三角形面積相等。已知梯形ABCD的面積是32平方厘米，求圖中陰影部分的面積。（第八屆小學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題） AD 乙 F 甲 丙 B EC第二講立體圖形例1有10個(gè)表面涂了漆的正方體木塊，棱長(zhǎng)分別是2、4、6、8、20。如果把這些木塊全部鋸成棱長(zhǎng)1的小正方體，那么，鋸成的小正方體木塊中，至少有一個(gè)面上有漆的有多少塊？(第八屆“中原之星”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：為了找出規(guī)律，取出一個(gè)表面涂了漆的正方體木塊進(jìn)行研究。比如，取棱長(zhǎng)是10的正方體木塊，它的體積是1033。因?yàn)槠崾峭吭谒谋砻嫔系?，可以設(shè)想，從長(zhǎng)、寬、高每個(gè)方向的兩端

8、各去掉一層1厚的表層，得到一個(gè)棱長(zhǎng)是1028()的較小的正方體木塊，而這個(gè)較小的正方體木塊的表面上是沒(méi)有漆的，體積是833。這就說(shuō)明，去掉的部分的體積是(10383)3，因?yàn)樽詈箐彸傻男≌襟w木塊的棱長(zhǎng)是1，所以，至少有一個(gè)面上有漆的小正方體木塊好就有10383塊。其它木塊的情況可以依此類推，由此得出，至少有一個(gè)面上有漆的小正方體木塊的總數(shù)應(yīng)該是：(2303)(4323)(6343)(183163)(203183)(234363183203)(032343163183)2038000(塊)。答：至少有一個(gè)面上有漆的小正方體木塊有8000塊。例2有一個(gè)長(zhǎng)60cm、寬50cm、高30cm的長(zhǎng)方體木

9、箱，如圖那樣用繩子捆扎，繩子的總長(zhǎng)至少有多少米？30cm50cm 60cm解：觀察發(fā)現(xiàn)，繩子沿長(zhǎng)的方向有6段，寬的方向有8段，高的方向有10段，所以，繩子的長(zhǎng)度至少有60×650×830×101060(cm)，1060cm10.6m。答：繩子的總長(zhǎng)至少有10.6m。例3在墻角處有若干個(gè)體積都等于1的正方體堆成如下圖所示的立體圖形(每個(gè)正方體都可以獨(dú)立地搬走，但如果抽走下面的正方體，上面的正方體就會(huì)自動(dòng)落下去。)有人希望搬走其中部分正方體，但從前面、上面、右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，則最多可以搬走多少個(gè)小正方體？(2005年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令

10、營(yíng)競(jìng)賽試題)解：要想搬走一部分小正方體，但是從前面、上面、右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，就只能搬走既不挨墻也不挨地的那些小正方體，這樣的小正方體有13610(個(gè))。答：最多可以搬走10個(gè)小正方體。例4一個(gè)圓柱，底面直徑和高都是8，一個(gè)圓錐，底面直徑和高都是4。圓柱體積與圓錐體積的比是多少？(第四屆“華杯賽”初賽題)解：再取一個(gè)底面直徑和高都是4的小圓柱，大、小兩個(gè)圓柱體積的比是83435126481，而小圓柱與圓錐體積的比是31，所以大圓柱與圓錐體積的比是(8×3)1241。答：圓柱體積與圓錐體積的比是241。練習(xí)二1有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)4cm、寬3cm、高2cm，各面

11、都涂上藍(lán)色，再把它切成棱長(zhǎng)1cm的的正方體。這些正方體中兩個(gè)面是藍(lán)色的有多少個(gè)？(第二屆“中原之星”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2把三個(gè)長(zhǎng)10cm、寬6cm、高4cm的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體表面積的最大值與最小值相差多少平方厘米? (第一屆“九章杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題)3把一根長(zhǎng)2.4m的長(zhǎng)方體木料鋸成5段，表面積比原來(lái)增加了96 cm2。這根木料原來(lái)的體積是多少立方厘米？4有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是 5cm、4cm、3 cm的長(zhǎng)方體, 將它截成兩個(gè)長(zhǎng)方體, 使這兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大。這時(shí), 表面積之和是多少平方厘米？5一個(gè)長(zhǎng)方體的正面和上面的面積之和是77 cm2,它的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)厘米

12、，并且都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米?6由27個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體，若自上而下去掉中間的3個(gè)小正方體，如下圖所示，則剩下的幾何體的表面積是多少？(第四屆“希望杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)7下面是一個(gè)正方形的表面展開(kāi)圖，每個(gè)面上各有一個(gè)數(shù)，這個(gè)正方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)之和最大是多少？(第九屆“中原之星”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)1 6 2 5 4 38有一個(gè)棱長(zhǎng)5cm的正方體木塊，從它的每個(gè)面看都有一個(gè)完全穿透的的“十字形”孔(如圖)。求這個(gè)立方體的內(nèi)、外表面的總面積。9用一些棱長(zhǎng)是1的小正方體碼成一個(gè)立體，從上向下看這個(gè)立體，如左下圖，從正面看這個(gè)立體，如右下圖，則

13、這個(gè)立體的表面積最多是多少？(第十二屆“華杯賽”決賽題)10一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5cm，深20cm。在水深15cm時(shí)，將一個(gè)底面半徑為2cm，高為17cm的鐵圓柱垂直放入容器中。求容器這時(shí)的水深是多少厘米？(第五屆“華杯賽”試題)11一種厚度為d厘米的銅板紙(一種優(yōu)質(zhì)紙)被卷成一個(gè)空心圓柱(紙卷得很緊，沒(méi)有空隙)，它的外半徑是R厘米，內(nèi)半徑是r厘米。這卷銅板紙的總長(zhǎng)度是多少？12如圖，將高是1m，底面半徑分別為1.5m、1m、0.5m的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體，求這個(gè)物體的表面積是多少平方米？(取3)(第三屆“華杯賽”初賽題)第三講枚舉例1紅領(lǐng)巾春節(jié)慰問(wèn)小組在確定去敬老院演出的節(jié)目

14、單時(shí)，遇到如下問(wèn)題：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、雜技、小品四個(gè)節(jié)目。如果要求唱歌不排在第四項(xiàng)，舞蹈不排在第三項(xiàng)，雜技不排在第二項(xiàng)，小品不排在第一項(xiàng)，那么，滿足上述要求的節(jié)目單，共有多少種不同的排法？(北京市第十三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：用逐項(xiàng)枚舉的方法：(1)唱歌、小品、雜技、舞蹈；(2)唱歌、舞蹈、雜技、小品；(3)唱歌、舞蹈、小品、雜技；(4)舞蹈、小品、唱歌、雜技；(5)舞蹈、唱歌、雜技、小品；(6)舞蹈、唱歌、小品、雜技；(7)雜技、小品、唱歌、舞蹈；(8)雜技、唱歌、小品、舞蹈；(9)雜技、舞蹈、唱歌、小品。共有9種。答：共有9種不同的排法。例2有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚

15、，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問(wèn)：有多少種不同的支付方法？(第五屆“華杯賽”初賽題)解：23555521235555111235552222235552221123555221111當(dāng)5分的少于3枚時(shí)，無(wú)法湊成23分，所以只有上面5種不同的支付方法。答：有5種不同的支付方法。例3恰有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？(2002年全國(guó)奧賽決賽題)解：設(shè)三位數(shù)中有兩個(gè)a、一個(gè)b，恰有兩個(gè)數(shù)字相同的排列就有aab、aba、baa三種。當(dāng)a0、b0時(shí)，a有9種選擇，b有剩下的8種選擇，a、b確定后，它們有三種排列，可以組成9×8×3216(個(gè))三位數(shù)；當(dāng)a0、b0時(shí)，b有9種選擇，只有一種

16、排列baa，可以組成9×19(個(gè))三位數(shù)；當(dāng)a0、b0時(shí)，a有9種選擇，有兩種排列aab、aba，可以組成9×218(個(gè))三位數(shù)。一共可以組成216918243(個(gè))三位數(shù)。答：恰有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有243個(gè)。例4如果11!1×22!1×2×33!1×2×3×44!1×2×3××99×100100!那么1!2!3!100! 的個(gè)位數(shù)字是幾？(北京市第四屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：因?yàn)?!1×2×3×4×5120，可知對(duì)于

17、所有大于4的自然數(shù)n，n! 的個(gè)位數(shù)字都是0，所以1!2!3!100! 的個(gè)位數(shù)字就是1!2!3!4! 的個(gè)位數(shù)字，計(jì)算得到1!2!3!4!33，于是1!2!3!100! 的個(gè)位數(shù)字是3。答：個(gè)位數(shù)字是3。練習(xí)三1有八張卡片，上面分別寫(xiě)著自然數(shù)1到8。從中取出3張，要求這三張卡片上的數(shù)字之和是9。問(wèn)有多少種不同的取法？(第二屆“華杯賽”試題)2在1000和9999之間由四個(gè)不同的數(shù)字組成，而且個(gè)位數(shù)和千位數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù))是2，這樣的整數(shù)共有多少個(gè)？(2001年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)3某人射擊8槍，命中4槍，命中的4槍中，恰好有3槍的環(huán)數(shù)連在一起的情況有多少種？(2001年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)4有一類

18、自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直到不能寫(xiě)為止，如246,1459等等，這類數(shù)共有多少個(gè)？(2002年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)5四個(gè)裝藥用的瓶子都貼了標(biāo)簽，其中恰好有三個(gè)貼錯(cuò)了，那么錯(cuò)的情況共有多少種？(2002年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)6用0、1、2三個(gè)數(shù)字組成數(shù)字可以重復(fù)的三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？(南京市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7將3個(gè)相同的小球放入A、B、C三個(gè)盒子中，共有多少種不同的放法？8小明家的電話號(hào)碼是一個(gè)很巧的七位數(shù)ABCDEFG，把它從中間斷開(kāi)，分成一個(gè)三位數(shù)ABC和一個(gè)四位數(shù)DEFG，或者分成一個(gè)四位數(shù)ABCD和EFG，但無(wú)論前三位數(shù)和后四位數(shù)的和，還是前四位數(shù)和

19、后三位數(shù)的和都是兩個(gè)相等的四位數(shù)。小亮家后來(lái)也裝電話了，小亮要求電信局的叔叔也給一個(gè)有小明家電話號(hào)碼這樣特點(diǎn)的號(hào)碼，而且七位數(shù)比小明家的還要大。電信局的叔叔說(shuō)，這樣的號(hào)碼小明家是最大的。那么小明家的電話號(hào)碼是多少？(2003年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)9甲、乙都是兩位數(shù)，將甲的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)對(duì)調(diào)得丙(甲丙)，將乙的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)對(duì)調(diào)得丁(乙丁)，丙和丁的乘積等于甲和乙的乘積，而甲、乙兩數(shù)的數(shù)字全為偶數(shù)，并且數(shù)字不能完全相同(如24和42)，則甲、乙兩數(shù)的和最大是多少？(2001年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)10將一個(gè)圓形紙片用直線畫(huà)成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？(第三屆“

20、華杯賽”決賽題)11四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)之和等于，則這四個(gè)自然數(shù)兩兩乘積的和等于多少？(2001年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)12一本書(shū)有500頁(yè)，編上頁(yè)碼1, 2，3，。問(wèn)數(shù)字1在頁(yè)碼中出現(xiàn)多少次？(美國(guó)長(zhǎng)島小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)第四講計(jì)數(shù)例1圖中大長(zhǎng)方形ABCD的AB邊上有多少AB條線段？AD邊上有多少條線段？ 圖中有多少個(gè)正方形？多少個(gè)長(zhǎng)方形(不包括正方形)？DC解：AB上有432110(條)線段，AD上有3216(條)線段。可以形成長(zhǎng)方形和正方形共10×660(個(gè))，其中小正方形4×312(個(gè))；由4個(gè)小正方形組成的正方形3×26(個(gè))；由9個(gè)小正方形組成的正方形2個(gè)。共1

21、26220(個(gè))。長(zhǎng)方形(不包括正方形)602040(個(gè))。例2由四個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成如左下圖所示的左右對(duì)稱圖形，以圖中正方形的14個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以得到許多不同的三角形，那么，在這些三角形中，面積為1的三角形共有多少個(gè)？(面積為1的三角形的三條邊中，至少有一條邊是水平或垂直的)(2003年全國(guó)奧賽預(yù)賽題) A B C D E F G H I J K L M N解：(1)像ABH那樣水平線段為1的有22個(gè)；(2)像CGH那樣水平線段為2的有14個(gè)；(3)像AIF那樣無(wú)水平線段的8個(gè)，共44個(gè)。例3如圖所示，把A、B、C、D、E這五部分，用四種不同的顏色著色，并且相鄰的部分不能使用同一種顏色，

22、不相鄰的部A分可以使用同一種顏色。那么這幅圖一共有多少種 B不同的著色方法。(北京市第十二屆“迎春杯”數(shù) C學(xué)競(jìng)賽題)D E解：A有4種著色方法。A著色后，B有3種著色方法。A、B著色后，C有2種著色方法。A、B、C著色后，D有2種著色方法。A、B、C、D著色后，E有2種著色方法。共有4×3×2×2×296(種)不同的著色方法。例4 現(xiàn)有如下一系列圖形：DCDCDCABABABn1n2n3當(dāng)n1時(shí)，長(zhǎng)方形ABCD分為2個(gè)直角三角形，總計(jì)數(shù)出5條邊；當(dāng)n2時(shí)，長(zhǎng)方形ABCD分為8個(gè)直角三角形，總計(jì)數(shù)出16條邊；當(dāng)n3時(shí)，長(zhǎng)方形ABCD分為18個(gè)直角三角形，

23、總計(jì)數(shù)出33條邊；按如上規(guī)律請(qǐng)你回答：當(dāng)n100時(shí)，長(zhǎng)方形ABCD應(yīng)分為多少個(gè)直角三角形？總計(jì)數(shù)出多少條邊？(第六屆“華杯賽”決賽題)解：因?yàn)橹苯侨切蔚膫€(gè)數(shù)等于小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的2倍，而小長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)等于n2，所以直角三角形的個(gè)數(shù)等于2n2。n100時(shí)，應(yīng)分為2×100220000(個(gè))直角三角形?？梢园堰叿殖伤念悾和膺?；斜邊；內(nèi)部水平邊；內(nèi)部垂直邊。外邊顯然等于4n；斜邊的條數(shù)與小長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)相同，等于n2；內(nèi)部水平邊有n1整條，每條又分成n條，共n(n1)條；內(nèi)部垂直邊與內(nèi)部水平邊的條數(shù)相同，共n(n1)條?？傆?jì)可數(shù)出4nn22n(n1)n22 n(n1)條。當(dāng)n100時(shí)，總計(jì)數(shù)出

24、10022×100×(1001)30200(條)邊。練習(xí)四1圖中有多少個(gè)三角形？2聯(lián)結(jié)圖中的點(diǎn)，最多可以得到多少個(gè)正方形？ · · · · · · · · · · · · · · · ·3從南京到上海的某次快車中途要?？苛鶄€(gè)大站。鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同的車票？這些車票中最多有多少種不同的票價(jià)？(第四屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4. 4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著站在正中間，有多少種不同的排

25、法？(南京市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)5由四個(gè)不同的非0數(shù)字組成的所有四位數(shù)中，數(shù)字和等于12的共有幾個(gè)？(第七屆“華杯賽”決賽題)6圖中共有多少條線段？(南京市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) C F G H I A E D B 7用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成3×1996個(gè)小的方格網(wǎng)(每一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為一根火柴棍長(zhǎng)，如圖)。一共需用多少根火柴棍？(北京市第十二屆迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 每行1996個(gè)小方格8用三根等長(zhǎng)的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形。用這樣的等邊三角形如右圖所示，拼合成一個(gè)大的等邊三角形。如果這個(gè)大等邊三角形的底為20根火柴長(zhǎng)，那么一共要用多少根火柴。(北京市第十二屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）9圖中(單位：

26、)：一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？所有這些長(zhǎng)方形的面積的和是多少？(第一屆“從小愛(ài)數(shù)學(xué)”競(jìng)賽題)51281247310下圖是由19個(gè)邊長(zhǎng)2的立方體重疊而成的，求這個(gè)立方體圖形的表面積。11下圖是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形。其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形若干個(gè)。那么圖中包含“*”號(hào)的大、小正三角形共有多少個(gè)？(北京市第十一屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)*16印在卡紙上的號(hào)碼倒過(guò)來(lái)看，顯然數(shù)碼0、1、8不變；6與9互換，而其余數(shù)碼沒(méi)有意義。某工廠制作了從001到999的號(hào)碼牌，由于制作的號(hào)碼牌上下一樣，所以有些號(hào)碼牌拿倒了就會(huì)發(fā)生混亂(例如068倒過(guò)來(lái)看是890)；有些號(hào)碼牌倒著看仍保

27、持不變(例如808，倒看仍是808)；有些號(hào)碼牌倒著看就沒(méi)有意義。(1)有多少號(hào)碼牌倒看仍保持不變？(2)有多少號(hào)碼牌倒看會(huì)發(fā)生混亂？(只需寫(xiě)出符合題意的號(hào)碼牌的個(gè)數(shù)，不必將號(hào)碼牌一一列舉出來(lái)。)第五講整除例1把圖中相鄰兩個(gè)數(shù)的積填入第二行，再把第二行相鄰兩個(gè)數(shù)的積填入第三行最下面那個(gè)數(shù)的末尾有幾個(gè)0？ 13 12 15 25 20解：要判斷積的末尾0的個(gè)數(shù)，就要從因數(shù)中含有質(zhì)因數(shù)2、5的個(gè)數(shù)入手。(1)原來(lái)五個(gè)數(shù)中, 12含有2個(gè)質(zhì)因數(shù)2, 從12所在的位置分析, 這2 個(gè)2經(jīng)過(guò)多次乘法運(yùn)算將變成8個(gè)；(2)同理，20所含的2個(gè)質(zhì)因數(shù)2, 最后仍為2個(gè)；(3)同理，15 所含的1個(gè)質(zhì)因數(shù)5,

28、 最后將變成6個(gè)；(4)同理，25所含的2個(gè)質(zhì)因數(shù)5, 最后將變成8個(gè)；(5)同理，20所含的1個(gè)質(zhì)因數(shù)5, 最后仍為1個(gè)。因此, 最下面的積中將含有8210個(gè)質(zhì)因數(shù)2，68115個(gè)質(zhì)因數(shù)5, 所以積的末尾應(yīng)該有10個(gè)0。答：最下面那個(gè)數(shù)的末尾有10個(gè)0。例2小宇問(wèn)大成：“你射擊三槍，共中幾環(huán)？”大成說(shuō)：“一、二槍的環(huán)數(shù)乘積是48，二、三槍的環(huán)數(shù)乘積是72，一、三槍的環(huán)數(shù)乘積是54。”大成三槍共中多少環(huán)？(北京市第十屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：設(shè)第一、二、三槍分別擊中a、b、c環(huán)，則a×b48，b×c72，a×c54，由a2(a×b)×(a&#

29、215;c)÷(b×c)48×54÷723662，得a6，b8，c9，所以三槍共中68923(環(huán))。答：大成三槍共中環(huán)23環(huán)。例3兩個(gè)自然數(shù)之差為4，它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之差是436，則這兩個(gè)數(shù)之和是多少？(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為A、B，它們的最大公因數(shù)是C，最小公倍數(shù)是D，于是，AaC，BbC，其中，a、b是兩個(gè)互質(zhì)數(shù)，并且ab。因?yàn)镈abC，所以，DCabCC(ab1)C436。由此推知：ab1。另由ABaCbC(ab)C4推知：ab，C1、2、4；ab1、2、4。(1)當(dāng)C1時(shí)，ab43723×19，a2

30、3，b19，ab4，A23×123，B19×119，AB231942；(2)當(dāng)C2時(shí)，ab21973×3，a73，b3，ab70，無(wú)解；(3)當(dāng)C4時(shí)，ab11011×10，a11，b10，ab1，A11×444，B10×440，AB444084。答：這兩個(gè)數(shù)的和是42或84。例4一根木棍上有三種刻度線，分別將木棍分成10等分、12等分、15等分。如果沿每條等分線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？(第二屆“華杯賽”決賽題)解：因?yàn)?0、12、15的最小公倍數(shù)是60，可以把木棍的作為一個(gè)長(zhǎng)度單位，這樣，木棍10等分的每份長(zhǎng)6個(gè)單位；

31、12等分的每份長(zhǎng)5個(gè)單位；15等分的每份長(zhǎng)4個(gè)單位。不算木棍的兩端，在木棍內(nèi)部，10等分時(shí)有9個(gè)分點(diǎn)；12等分時(shí)有11個(gè)分點(diǎn)；15等分時(shí)有14個(gè)分點(diǎn)。共有9111434(個(gè))分點(diǎn)。由于5和6的最小公倍數(shù)是30，分點(diǎn)在30單位處有1次重合；4和5的最小公倍數(shù)是20，分點(diǎn)在20單位、40單位處有2次重合；6和4的最小公倍數(shù)是12，分點(diǎn)在12單位、24單位、36單位、48單位處有4次重合，所以沿分點(diǎn)鋸斷時(shí)，要鋸3412427(次)，鋸成27128(段)。答：木棍總共被鋸成28段。練習(xí)五1. 1368×a的積是一個(gè)平方數(shù), a最小是多少？2有這樣一些四位數(shù)，它們能被9整除，并且，去掉末位數(shù)后

32、所得的三位數(shù)是8的倍數(shù)，這樣的四位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)3有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140，如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？(1993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽題)4從運(yùn)動(dòng)場(chǎng)一端到另一端全長(zhǎng)96m，從一端起到另一端每隔4m插一面小紅旗。現(xiàn)在要改成每隔6m插一面小紅旗，問(wèn)可以不拔出來(lái)的小紅旗有多少面？(第一屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)5馬鵬和李虎計(jì)算甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積473；李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積407。那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是多少？(第八屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)6李老師帶

33、領(lǐng)一班學(xué)生去種樹(shù)，學(xué)生恰好被平均分成4個(gè)小組，總共種樹(shù)667棵。如果師生每人種的棵數(shù)一樣多，那么這個(gè)班共有多少人？(北京市第七屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7某書(shū)店所賣的賀年卡是以“角”為單位的整數(shù)。小楊用30元錢(qián)在這家書(shū)店一次購(gòu)買(mǎi)同一種賀年卡若干張。一周以后，這家店的賀年卡全部降價(jià)，小楊上次買(mǎi)的那種每張降價(jià)1元。如果小楊現(xiàn)在還花30元錢(qián)，就可以比降價(jià)前多買(mǎi)8張。降價(jià)前這種賀年卡每張多少元？小楊買(mǎi)了這種賀年卡多少?gòu)垼?第七屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)8已知兩個(gè)自然數(shù)，每一個(gè)數(shù)除以它們的最大公因數(shù)所得的商之和等于18，而這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是975，那么這兩個(gè)數(shù)分別是多少？(第一屆“陳省身杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽

34、試題)9有A、B兩個(gè)兩位數(shù)，A是B的1倍，這兩個(gè)數(shù)的和是一個(gè)三位數(shù)，并且這個(gè)三位數(shù)能被7整除。A、B這兩個(gè)數(shù)分別是多少？10一串?dāng)?shù)1、4、7、10、397、400相乘，則積的尾部有多少個(gè)零？(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)11有一些小朋友排成一行，從左面第一人開(kāi)始每隔2人發(fā)一個(gè)蘋(píng)果；從右面第一人開(kāi)始，每隔4人發(fā)一個(gè)橘子，結(jié)果有10個(gè)小朋友蘋(píng)果和橘子都拿到，那么這些小朋友最多有多少人？(1997年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽題)12有三根鐵絲，一根長(zhǎng)300cm，一根長(zhǎng)444cm，一根長(zhǎng)516cm，把它們截成同樣長(zhǎng)而且盡可能長(zhǎng)的小段(不許剩余)，每小段折成一個(gè)小正方形。然后將這些小正方形混合在一起拼成一

35、個(gè)長(zhǎng)方形(每拼一次都必須全部用上這些小正方形)，這樣可以拼成多少個(gè)不同的長(zhǎng)方形？(江西省首屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。第六講比和比例 例1車過(guò)河交渡費(fèi)3元，馬過(guò)河交渡費(fèi)2元，人過(guò)河交渡費(fèi)1元。某天過(guò)河的車和馬數(shù)目的比為29，馬和人數(shù)目的比為37，共收渡費(fèi)315元。求這天過(guò)河的車、馬和人的數(shù)目各是多少？(第十屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)解：為了求出車、馬、人數(shù)目的比，首先把馬和人數(shù)目之比的前項(xiàng)變成9，馬和人數(shù)目的比為37921，于是，車、馬、人數(shù)目的比為2921。由所交錢(qián)數(shù)的比為(2×3)(9×2)(21×1)61821，可以求出車、馬、人所交的錢(qián)數(shù)分別是315÷

36、;(61821)×642(元)，315÷(61821)×18126(元)，315÷(61821)×21147(元)。所以，這天過(guò)河的車有42÷314(輛)，馬有126÷263(匹)，人有147÷1147(人)。 例2從甲地到乙地要先經(jīng)過(guò)一段上坡路再經(jīng)過(guò)一段下坡路。一輛汽車從甲地出發(fā)開(kāi)往乙地，同時(shí)另一輛汽車從乙地出發(fā)開(kāi)往甲地，這兩輛車上坡的速度都是每小時(shí) 40 km，下坡的速度都是每小時(shí) 60 km，已知從甲地出發(fā)的汽車到達(dá)乙地所用的時(shí)間與從乙地出發(fā)的汽車到達(dá)甲地的時(shí)間的比是65，那么，從甲地到乙地上坡路程與下坡路程

37、的比是多少？ 解：設(shè)從甲地到乙地的上坡路占全程的分率為 x。列出方程：()()65化簡(jiǎn)得(x2)(3x)65根據(jù)比例的性質(zhì)化簡(jiǎn)后得 5x10186x11x8x 所以，從甲地到乙地上坡路程與下坡路程的比是 811。例3如圖所示，在三角形ABC中，BD2DC，AE2ED。FC7，那么，AF？(2003年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)A E FB DC解：作DG平行于EF如圖，AEF與ADG的對(duì)應(yīng)角相等，像這樣對(duì)應(yīng)角相等的三角形叫相似三角形，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。所以AFFGAEED21。CGD與CFB也是相似三角形，CGFGCDBD12。于是，如果把FG看作2份，AF就等于4份，F(xiàn)C就等于3份。AFFC43

38、，AF4FC÷34×7÷39。例4某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二等獎(jiǎng)。已知：(1)甲、乙兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)的比是65；(2)甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的60%；(3)甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)之比為56。甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)之幾？(1998年全國(guó)奧賽決賽題)解：設(shè)甲校有60人獲獎(jiǎng)，則由(1)，乙校有60÷6×550(人)獲獎(jiǎng)。由(2)，甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的有(6050)×60%66(人)。由(3)，甲校獲二等獎(jiǎng)的有66÷(56)×530(人)，占甲校獲獎(jiǎng)人數(shù)的30÷6050%。練習(xí)

39、六 1. 甲、乙兩倉(cāng)原有水泥袋數(shù)的比是43, 甲倉(cāng)運(yùn)給乙倉(cāng)48 袋后, 甲、乙兩倉(cāng)水泥袋數(shù)的比是23, 甲、乙兩倉(cāng)原來(lái)各有水泥多少袋?2. 一塊地, 用它的種冬瓜, 其余的按32種西紅柿和茄子, 已知種茄子0.6公頃, 這塊地一共有多少公頃?3. 兩筐蘋(píng)果共65kg, 把甲筐蘋(píng)果的裝入乙筐, 甲、乙兩筐蘋(píng)重量的比恰好是76, 甲、乙兩筐蘋(píng)果原來(lái)各有多少千克? 4. 貨車與客車速度的比是32, 兩車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出, 2小時(shí)后, 貨車在途中的丙站卸貨, 這時(shí)兩車相距全程的, 再過(guò)幾小時(shí)客車到達(dá)丙站? 5. 圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是43, 20支圓珠筆和21支鉛筆共用71.5 元, 則圓珠筆

40、的單價(jià)是每支多少元？(1999 年全國(guó)奧賽預(yù)賽題) 6. 把兩筐蘋(píng)果分給甲、乙、丙三個(gè)班, 甲班分得總量的, 剩下的按 57分給乙、丙兩班。已知第二筐蘋(píng)果重量是第一筐的, 且比第一筐少5 kg。甲、乙、丙分得的蘋(píng)果分別是多少千克？(2000 年全國(guó)奧賽決賽題)7姐弟倆正要從公園門(mén)口沿馬路向東去某地，他們回家要從公園門(mén)口沿馬路向西行。他們商量是先回家取車再騎車向東去某地省時(shí)間，還是直接從公園門(mén)口步行向東去某地省時(shí)間。姐姐算了一下：已知騎車與步行的速度比是41，從公園門(mén)口到某地的距離超過(guò)2000m時(shí)，回家取車才合算。那么，公園門(mén)口到他們家的距離有多少米？(2001年全國(guó)奧賽決賽題)8乘火車從甲城到

41、乙城，1998年初需要19.5小時(shí)，1998年火車第一次提速30%,1999年第二次提速25%，2000年第三次提速20%。經(jīng)過(guò)這三次提速后，從甲城到乙城乘火車只需多少小時(shí)？(第八屆“華杯賽”復(fù)賽題)9袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是1913。放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?3；再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?311。已知放入的紅球比白球少80只。那么原來(lái)袋子里共有多少只球？(2003年全國(guó)奧賽決賽題)10汽車在南北走向的公路上行駛，由南向北頂風(fēng)而行，每小時(shí)行50km；由北向南順風(fēng)而行，每小時(shí)行70km。兩輛汽車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)相背而行，一輛汽車往北駛?cè)ト缓蠓祷兀硪惠v汽車

42、往南駛?cè)ト缓蠓祷兀Y(jié)果4小時(shí)后兩車同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)。如果調(diào)頭時(shí)間不計(jì)，在這4小時(shí)內(nèi)兩車行駛的方向相同的時(shí)間有多少小時(shí)？(2001年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)11某班一次數(shù)學(xué)考試中，平均成績(jī)是78分，男、女生各自的平均成績(jī)是75.5分、81分。問(wèn)：這個(gè)班男、女生人數(shù)的比是多少？(第三屆“華杯賽”決賽題)12甲桶油比乙桶油多3.6kg，如果從兩桶油中各取出1kg，則甲桶里剩下油的等于乙桶里剩下油的，那么甲桶原來(lái)有油多少千克？(1999年全國(guó)奧賽初賽題)第七講綜合練習(xí)(一)1如圖，設(shè)ADAB，BEBC，F(xiàn)CAC。如果三角形DEF的面積是19 cm2，那么三角形ABC的面積是cm2。 A D FB E C2陰影長(zhǎng)

43、方形ABCD的周長(zhǎng)為16cm，在它的每條邊上各畫(huà)一個(gè)以該邊為邊長(zhǎng)的正方形。已知這四個(gè)正方形的面積和是68 cm2，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積是cm2。 A D B C3. 如圖，陰影部分的面積(取3)是 。4這是一個(gè)用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型。把這個(gè)模型的表面(包括底面)都涂上紅色，那么，把這個(gè)模型拆開(kāi)以后，有三面涂上紅色的小正方體比有兩面涂上紅色的小正方體多塊。5. 在等式A×(BC)110C中，A，B，C是三個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)，那么ABC 。6在一次象棋比賽中，有若干名選手參加，每位選手與其他選手恰好比賽一局，每局勝者得2分，負(fù)者得0分，平局各得1分。今有4人統(tǒng)計(jì)得分總數(shù)，

44、分別是341、342、343、345，經(jīng)核實(shí)只有1人統(tǒng)計(jì)正確，正確的數(shù)據(jù)是，共有名選手參加。7這是一個(gè)棋盤(pán)，將一個(gè)白子和一個(gè)黑子放在棋盤(pán)線的交叉點(diǎn)上，但是不能在同一條棋盤(pán)線上，共有種不同的放法。8兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是1650，這兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到兩個(gè)商的和是13。這兩個(gè)數(shù)分別是、。9有6個(gè)人，他們的生日相同，屬相也相同。已知這6個(gè)人歲數(shù)的連乘積是17597125，那么這6個(gè)人歲數(shù)的和是 。10兩個(gè)三位數(shù)6A2與B34的和可以被18整除。請(qǐng)問(wèn)A與B的乘積的最大值是。11一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長(zhǎng)度的比依次是123。某人走各段路所用時(shí)間的比依次是456。他上坡的

45、速度是每小時(shí)3km，路程全長(zhǎng)60km，這個(gè)人走完全程用了小時(shí)。12一支解放軍部隊(duì)從駐地乘車趕往某地抗洪搶險(xiǎn)。如果將車速提高，可以比預(yù)定時(shí)間提前20分鐘趕到；如果先按原速行駛72km，再將車速提高，就只能比預(yù)定的時(shí)間提前30分趕到。這支解放軍部隊(duì)要行駛的路程是km。第八講容斥原理例1在一次測(cè)驗(yàn)中，某班的36名同學(xué)中，答對(duì)第一題的有25名，答對(duì)第二題的有23名，兩題都答對(duì)的有15名，那么有幾名同學(xué)兩題都沒(méi)答對(duì)？解：根據(jù)題意，把這36名同學(xué)分成4種情況：只答對(duì)第一題的同學(xué)；只答對(duì)第二題的同學(xué)；兩題都答對(duì)的同學(xué)；兩題都沒(méi)答對(duì)的同學(xué)。畫(huà)出示意圖：解法一：表示答對(duì)第一題的同學(xué)，表示答對(duì)第二題的同學(xué)。因此，

46、只答對(duì)第一題的同學(xué)有：251510(名)，所以，兩題都沒(méi)答對(duì)的同學(xué)有：36()3610233(名)。解法二：表示答對(duì)第一題的同學(xué)，表示答對(duì)第二題的同學(xué)。因此，只答對(duì)第二題的同學(xué)有：23158(名)，所以，兩題都沒(méi)答對(duì)的同學(xué)有：36()36(258)3(名)。解法三：表示至少答對(duì)一題的同學(xué)，而25231533，所以，兩題都沒(méi)答對(duì)的同學(xué)有：36333(人)。 例 2 1000以內(nèi)的自然數(shù)不能被13和31整除的有多少個(gè)? 解法一: b a c 圖中大橢圓表示11000 的自然數(shù), 里面左邊的小橢圓表示能被13整除的,右邊的小橢圓表示能被31整除的。13和31的最小公倍數(shù)是403, 1000÷403商2, 1000÷13商76, 1000÷31商3