解析幾何中的最值問題教案

1、學習必備歡迎下載解析幾何中的最值問題一、教學目標解析幾何中的最值問題以直線或圓錐曲線作為背景， 以函數(shù)和不等式等知識作為工具，具有較強的綜合性， 這類問題的解決沒有固定的模式， 其解法一般靈活多樣，且對于解題者有著相當高的能力要求， 正基于此， 這類問題近年來成為了數(shù)學高考中的難關。基本內容：有關距離的最值，角的最值，面積的最值。二、教學重點方法的靈活應用。三、教學程序1、基礎知識探求解析幾何最值的方法有以下幾種:(1) 函數(shù)法（設法將一個較復雜的最值問題，通過引入適當?shù)淖兞磕軞w為某初等函數(shù)（常見）的有二次函數(shù)和三角函數(shù)）的最值問題，然后通過對該函數(shù)單調性和最值的考察使問題得以解決。(2) 不

2、等式法 ：（常用的不等式法主要有基本不等式等）(3) 曲線定義法 ：利用圓錐曲線的定義刻畫了動點與動點（或定直線）距離之間的不變關系，一般來說涉及焦半徑、焦點弦的最值問題可以考慮該方法（4）平面幾何法 ：有些最值問題具有相應的幾何意義（如分式最值聯(lián)想到斜率公式，求平方和最值聯(lián)想到距離公式等等）（ 1）函數(shù)法例 1、已知 P 點在圓 x2y 421上移動， Q 點在橢圓 x2y21上移動 , 試求9PQ 的最大值。分析：兩個都是動點，看不出究竟， P、Q在什么位置時 |PQ| 最大故先讓 Q點在橢圓上固定，顯然當 PQ通過圓心 O1 時|PQ| 最大，因此要求 |PQ|的最大值，只要求 |OQ|

3、的最大值。說明：函數(shù)法其我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不易忽視。例 2在平面直角坐標系 xOy 中，點 P x, y 是橢圓 x2y21上的一個動點，3求 Sxy 的最大值（ 2）不等式法學習必備歡迎下載例 2、 設 F1 , F 2 是橢圓 x 2y 21 的兩個焦點， P是這個橢圓上任一點，4則 PF1PF 2 的最大值是解：PF 1PF 24由 PF1PF 22 PF1PF 2PF 1PF 2(PF1PF2)24即 PF1PF 2 的最大值是 4 。得4說明：在用基本不等式時要注意條件“一正二定三相等”須同

4、時具備，缺一不可(3) 曲線定義法 ：例 3、 給定點 A( 2, 2) ，已知 B 是橢圓 x2y21上的動點， F 是右焦點，當2516AB5 BF 取得最小值時，試求 B 點的坐標。33 ，所以 AB51BF ，而1分析：因為橢圓的離心率 eBFABBF 為53ee動點 B 到左準線的距離。 故本題轉法為， 在橢圓上求一點 B ，使得它到 A 點和左準線的距離之和最小，過點 B 作 l 的垂線，垂點為 N ，過 A 作此準線的垂線，垂點為 M ，由橢圓定義|BF |BF |5e | BN |e|BF |BN |3于是 AB5 BF |AB| |BN| |AN|AM 為定值3其中，當且僅當

5、 B 點 AM 與橢圓的定點時等點成立，此時 B為(53 ,2)2所以，當 AB5 BF取得最小值時，53B 點坐標為 (, 2)32說明：圓錐曲線的定義在處理許多解析幾何問題 （包括最值問題） 時常常顯得極其簡便。（4）平面幾何法例 4、已知 x, y 滿足22x 2y 21(y 2),學習必備歡迎下載(1) 求 y 3 的最大值和最小值 ;x 3(2) 若 b 2x y ，求 b 的最大值和最小值。例 4. 橢圓離心率為，過點 M（1，2），并以 y 軸為準線，則長軸的最大值為（ ）A.1B.2C.3D.4分析： 設橢圓方程為由已知得，a2=4c2b2=3c2 m=4c，橢圓為化為 12c

6、2-8c+1=.故選 A.2綜合問題例 5、已知橢圓 x2y21 a b 0 過點 3,2，離心率為3 ，圓 O的圓a2b23心為坐標原點，直徑為橢圓的短軸， 圓 M 的方程為 x228y 64，過圓M上任一點 P 作圓的切線 PA, PB ，切點分別為 A, B(1) 求橢圓的方程；(2) 若直線 PA 與圓 M 的另一交點為 Q 點 ，當弦 PQ 最大時，求 PA 的方程(3) 求 OA OB 的最大值與最小值。例 5. 設動點 P 到定點 F（1，0）及定直線 L：x=3 距離之和為 4，求 P 點軌跡方程，并畫出草圖 . 若過 F 點的直線被上述軌跡截得弦 AB，求 |AB| 的最大值 .解：設動點 P（ x,y ）， P 到定直線 L 的距離 d=|x-3| 依題 意 |PF|+d=4.即若x 3 ，；. P點軌跡為學習必備歡迎下載設直線 AB的傾角 .3 歸納小結（1）. 解決解幾中最值問題的基本思路:（2）求最值常見的方法和技巧：4課后思考題：（20XX年春季