解三角形知識點歸納

1、學習必備歡迎下載解三角形知識點歸納1、三角形三角關系：A+B+C=180°； C=180° (A+B) ；2、三角形三邊關系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本關系： sin( AB)sin C , cos( AB)cosC , tan(A B)tan C ,sin ABcos C ,cos A Bsin C , tan ABcot C2222224、正弦定理：在C 中， a、 b 、 c 分別為角、C的對邊， R為C 的外接圓的半徑，則有abc2R sinsinsin C5、正弦定理的變形公式：化角為邊： a2Rsin， b2R sin， c2Rsin

2、 C ；化邊為角： sina， sinbc2R， sin C；2R2R a : b : csin:sin :sin C ；abcabcsinsin Csinsinsinsin C6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.( 對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、三角形面積公式：11ab sin C1S Cbc sinac sin2222abcr (a b c) =2R sinAsinBsinC=4R2p( pa)( pb)( pc)8、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos，

3、b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 9、余弦定理的推論：b2c2a2a2c2b2a2b2c2cos2bc， cos2ac， cosC2ab10、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的對邊，則：若 a2b2c2 ，則 C90 ；學習必備歡迎下載若 a2b2c2 ，則 C90 ；若 a2b2c2 ，則 C90 12、三角形的五心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心三角形三條中線的相交于一點外心三角形三邊垂

4、直平分線相交于一點內心三角形三內角的平分線相交于一點旁心三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點題型之一 ：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角 (或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線 )及周長等基本問題1. 在 ABC 中， AB=3 ， AC=2 ，BC=10 ，則 ABAC()3223A B CD 2332【答案】 D2（ 1）在ABC 中，已知 A32.00 ， B 81.80 ， a42.9cm，解三角形；（ 2）在ABC 中，已知 a20 cm， b28 cm， A 400 ，解三角形（角度精確到10 ，邊長精確到 1c

5、m）。3（ 1）在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B600，求 b 及 A；（ 2）在 ABC中，已知 a 134.6cm ， b 87.8cm ， c 161.7cm ，解三角形4(2005 年全國高考江蘇卷 )ABC 中， A， BC3，則ABC 的周長為（）3A 4 3 sin B3 B 4 3 sinB336C 6sinB3D6sinB336分析：由正弦定理，求出b 及 c，或整體求出b c，則周長為3 bc 而得到結果選(D) 5 （ 2005年全國高考湖北卷)在ABC中，已知AB46, cos B6， AC邊上的中36線 BD = 5 ，求 sinA 的值分析：本題關鍵是利

6、用余弦定理，求出AC 及 BC，再由正弦定理，即得sinA解：設 E 為 BC 的中點，連接 DE ，則 DE /AB，且 DE1 AB2 6，設 BE x23學習必備歡迎下載在BDE 中利用余弦定理可得：BD 2BE 2ED 22BEED cos BED ，5x 282266 x ，解得 x1， x7（舍去）3363故 BC=2 ，從而2222AB BCcosB 28，即 AC221又 sin B30ACAB BC3，36221故23， sin A70sin A30146在 ABC 中，已知 a 2 ，b 22 ，C15 °，求 A。答案： BA，且 00A1800， A 300題

7、型之二 ：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀1. (2005 年北京春季高考題) 在ABC 中，已知 2 sin A cosBsin C ，那么ABC 一定是（）A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法 1：由 2 sin AcosBsin C sin(A B)sinAcosB cosAsinB，即 sinAcosB cosAsinB 0，得 sin(AB) 0，得 A B故選 (B) 解法 2：由題意，得cosB sin Cc，再由余弦定理，得cosBa2c2b22sin A2a2aca2 c2 b2c222ac2a，即 a b ，得 a b，故選

8、 (B) 評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷 (如解法 2)2在 ABC 中，若 2cosBsinA sinC ，則 ABC 的形狀一定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案： C解析： 2sinAcosB sin（ A B） sin （A B）又 2sinAcosB sinC， sin（ AB） 0， A B3.在 ABC 中，若a 2tan A的形狀。b2，試判斷 ABCtan B答案：故 ABC 為等腰三角形或直角三角形。4. 在 ABC 中，cos A b cos ，判斷 ABC 的形狀。答案：

9、 ABC 為等腰三角形或直角三角形。學習必備歡迎下載題型之三 ：解決與面積有關問題主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題1. (2005 年全國高考上海卷) 在ABC 中，若A120 ， AB5 ， BC7 ，則 ABC 的面積 S _2在 ABC 中， sin Acos A2，AC2， AB3 ，求 tan A 的值和ABC 的面2積。答案： S ABC1 ACAB sin A123263 ( 26)22443. （ 07 浙江理 18）已知 ABC 的周長為21，且 sin Asin B2 sin C （ I ）求邊 AB 的長；（ II ）若 ABC 的面積為 1 sin

10、C ，求角 C 的度數(shù)6解：（ I ）由題意及正弦定理，得ABBCAC21， BCAC2AB，兩式相減，得 AB1（II ）由 ABC 的面積 1 BC AC sin C1 sin C ，得 BC AC1，263AC 2BC 2AB2( ACBC )22AC BCAB 21由余弦定理，得 cosC2AC BC2AC BC，2所以C 60題型之四 ：三角形中求值問題1. (2005 年全國高考天津卷 ) 在ABC 中，A、 B、 C 所對的邊長分別為a、 b、 c ，設 a、b、c 滿足條件 b2c 2bca 2 和 c13 ，求A和 tan B 的值b2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關鍵

11、還是運用正、余弦定理b 2c 2a 21，因此，A 60解：由余弦定理 cos A2bc2在 ABC 中， C=180° A B=120 ° B.由已知條件，應用正弦定理13csin Csin(120B)2bsin Bsin Bsin 120 cos B cos120sin B3 cot B1 , 解得 cot B2, 從而 tan B1 .sin B2222 ABC 的三個內角為 A、B、C ，求當 A 為何值時，cos A2cos BC 取得最大值，2并求出這個最大值。學習必備歡迎下載解析：由 A+B+C= ，得B+C=A，所以有B+C=sinA。222cos22B+C

12、A2AAA1 23cosA+2cos2=cosA+2sin 2=1 2sin2+ 2sin 2 = 2(sin 2 2)+ 2；當 sinAB+C 取得最大值為 3。1，即 A=2= 23時 , cosA+2cos223在銳角 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c22，（ 1）求，已知 sin A32 BC2A，求b的值。tansin的值；（ 2）若a2，SABC222解析：（ 1）因為銳角 ABC 中， A B C ， sin A232，所以 cosA 1 ，3則BCAsin2BC2 A2 sin22 sintan222BC2cos2C1cosA17 （）1cos BcosA

13、）1（ （ C）211cosA331cosB（2）因為 S ABC2，又 S ABC 1 bcsinA 1 bc22，則 bc 3。223將 a 2， cosA 1 ， c 3 代入余弦定理：a2 b2 c22bccos A 中，3b得 b46b290 解得 b 3 。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時， 靈活逆用公式求得結果即可。4在 ABC 中，內角 A，B，C 對邊的邊長分別是a， b， c ，已知 c2 ， C3（）若 ABC 的面積等于3 ，求 a，b ；（）若 sin Csin( BA)2sin 2 A ，求 ABC 的面積本小題主要考查三角形的邊角關系，三角函數(shù)公

14、式等基礎知識，考查綜合應用三角函數(shù)有關知識的能力滿分12 分解：（）由余弦定理及已知條件得，a2b2ab4 ，又因為 ABC 的面積等于3 ，所以1 ab sin C3 ，得 ab4 ············4 分2a2b2ab，2 ， b2 ···················

15、3;·6 分聯(lián)立方程組，4解得 aab4學習必備歡迎下載（）由題意得 sin( BA)sin( BA)4sin A cos A ，即 sin B cos A2sin Acos A ， ··································

16、;···8 分當 cos A0時， A， B， a4323，3， b326當 cos A0 時，得 sin B2sin A ，由正弦定理得b2a ，a2b2ab，23， b43聯(lián)立方程組，4解得 ab332a所以 ABC 的面積 S1 ab sin C2 3 ·················12 分23題型之五 ：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，

17、如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一 .）測量問題1. 如圖 1 所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定 A 、B 兩點，望對岸標記物C，測得C CAB=30° ， CBA=75° ， AB=120cm ，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求 ABC 在 AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB 長、ADBCAB 、 CBA ，這個三角形可確定。圖 1解析：由正弦定理得ACABsin CBA， AC=AB=120m ，sin ACB又 S ABC11AB CD ，解得 CD=60m 。AB AC sinCAB22點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于

18、“不過河求河寬問題 ”。（二 .）遇險問題2 某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以 30海里 /小時的速度向正東前進， 30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10 海里內有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？解析：如圖艦艇在 A 點處觀測到燈塔S在東 15°北的方向上； 艦艇航行半小時后到北達 B 點，測得 S 在東 30°北的方向上。在ABC 中，可知 AB=30× 0.5=15，西東15°B30°ABS=150° ， ASB=15° ，由正弦定理得ACBS=AB=15 ，過

19、點 S 作 SC直線 AB ，垂足南圖 2為 C，則 SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5 海里，而燈塔周圍 10 海里內有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（ 1）準確理解題意，分清已知學習必備歡迎下載與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；（ 2）畫出示意圖， 并將已知條件在圖形中標出；（3）分析與所研究問題有關的一個或幾個三角形， 通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。（三 .）追擊問題3 如圖 3，甲船在 A 處，乙船在 A 處的南偏東 45°方向，距 A 有 9n mile 并以 20n m

20、ile/h 的速度沿南偏西 15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，應沿什么方向，用多少h 能盡快追上乙船？解析：設用t h ，甲船能追上乙船，且在C 處相遇。在 ABC 中， AC=28t ， BC=20t ， AB=9 ，設 ABC= ， BAC= 。 =180° 45°15°=120°。根據(jù)余弦定理北A45°B15°AC2AB 2BC 22 AB BC cos，C28120t21 ) ，圖 328t2 9 20t (2128t 260t27 0 ，（ 4t 3）（ 32t+9 ）=0，解得 t=3 ，

21、t=9 （舍）432 AC=28× 3 =21 n mile ， BC=20× 3 =15 n mile 。44BC sin15353sin2根據(jù)正弦定理，得AC2114，又 =120，° 為銳角，53，又53722， arcsin53， =arcsin1414214144甲船沿南偏東 arcsin 53 的方向用3h 可以追上乙船。4144點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的ABC 、 AB 邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t 有關。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關于t的一元二次方程，解出t 的值。4如圖

22、，當甲船位于A 處時獲悉，在其正東方向相距20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援， 同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 C 處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B 處救援（角度精確到 1 ）？解析：連接 BC,由余弦定理得 BC2=20 2+102 2×20×10COS120° =700.于 是,BC=107。sin ACBsin120，20107北A2010?CB?學習必備歡迎下載 sin ACB= 3 ，7 ACB<90°， ACB=41°。乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往

23、B 處救援。解三角形單元測試一選擇題：1.已知 ABC中， A30，C 105， b8，則等于（）A 4B4 2C4 3D4 52. ABC中， B45， C60 ， c1 ，則最短邊的邊長等于（）6613A 3B2C2D23.長為 5、 7、 8 的三角形的最大角與最小角之和為()A90°B120°C135°D 150°abc4. ABC中， cos Acos BcosC ，則 ABC一定是（）A 直角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形5. ABC中， B60， b2ac ，則 ABC一定是（）A 銳角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形6. ABC中， A=60° , a=6 , b=4,那么滿足條件的 ABC( )A 有一個解B有兩個解C無解D不能確定7. ABC中， b8 ， c 83，S ABC163 ，則A 等于（）A 30B60C30 或 150D60 或 120a bc8. ABC中，若 A 60 ， a3 ，則 sin Asin Bsin C 等于（）13A 2B2C3D29.ABC 中， A: B1: 2， C 的平分線 CD 把三角形面積分成3: 2 兩部分，則cosA（）A 1B3130CD2410. 如果把直