第4章電路的基本定理

1、第四章 電路的基本定理 電路定理是分析線性電路的常用工具。合理地運(yùn)用電路定理，可以使電路的分析計(jì)算得到簡(jiǎn)化。4-1 疊加定理4-2 替代定理4-3 戴維寧定理和諾頓定理4-4 特勒根定理4-5 互易定理4-1 疊加定理用結(jié)點(diǎn)法求電路中的u1、i2S1S2N1S121211()uuuiRRRR求出2112N1S1S2S121212RRR RuuuiRRRRRR(4 1)11121S1N1S1S2S121212RRR RuuuuuiRRRRRRN1S212S1S2S212121211uuRiuuiRRRRRRR(42)uN1、 u1 、 i2分別是uS1 、uS2和iS的線性組合。1RS1u2RS

2、2uSi2i1u1011121S1N1S1S2S121212RRR RuuuuuiRRRRRRN1S212S1S2S212121211uuRiuuiRRRRRRR(42)1111uuuu將式（4-2）改寫2222iiii(43)其中S2SS2S11002200uiuiuuii，S1SS1S11002200uiuiuuii，S1S2S1S211002200uuuuuuii，uS1單獨(dú)作用uS2單獨(dú)作用 iS 單獨(dú)作用1R2RS2u2i1u1RS1u2RS2uSi2i1u101R2RSi2i1u1RS1u2R2i1u11S12S112121RuuiuRRRR，11S22S212121RuuiuRR

3、RR，1211S2S1212R RRuiiiRRRR ，由三個(gè)分電路可得上述各分量與式（4-2）和式（4-3）一致。 上述結(jié)論可推廣應(yīng)用于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路、g個(gè)電壓源和h個(gè)電流源的線性電路，其第 k 條支路的電壓和電流響應(yīng)為1 S12S2S1 S12 S2ShkgghuAuA uA uaia ia i1 S12S2S1 S12 S2ShkgghiBuB uB ubib ib i(44) 式中，所有獨(dú)立源的系數(shù)均為與電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。疊加定理表述疊加定理表述 線性電路中，任一電壓或電流的響應(yīng)都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)在該處產(chǎn)生的電壓或電流響應(yīng)分量的代數(shù)和。 注意注意： 疊

4、加定理只適用于線性電路。 在各分電路中，不作用的電壓源置零即短路，不作用的電流源置零即開(kāi)路。受控源不能單獨(dú)作用，應(yīng)和所有無(wú)源元件一起，保留在分電路中。 各響應(yīng)分量的參考方向可以任意設(shè)定。疊加時(shí)與原電路相同時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 功率計(jì)算不滿足疊加定理。 結(jié)點(diǎn)電壓和電位亦滿足疊加定理?！纠?-1】試用疊加定理求各支路電流。說(shuō)明功率不能疊加。2090V3I51I2I611406.16A5 62056I 2163.36A56II3126.163.362.8AIII2909.36A20 65206I 1262.16A206II 3129.362.167.2AIII+1116.162.164AIII+2

5、223.369.366AIII +3332.87.210AIII+20140V90V3I51I2I6222233 3333333333()RRRPR IR IIR IR IPP解3R20140V3I51I2I63R3R【例4-2】試用疊加定理求i、u。210V2iui3A1210V2iui122iui3A1解10(2 1)2ii102A5i 102102 26Vui 2(3) 12iii 0.6Ai 22 ( 0.6)1.2Vui 20.61.4Aiii6 1.27.2Vuuu應(yīng)用KVL應(yīng)用KVL應(yīng)用疊加定理，得【例4-3】試用疊加定理求i、u。解 由上例的結(jié)果知210V2iui3A1210V

6、2iui3A12A22iui12A1.4Ai 7.2Vu 1.2Ai (2 1)(2)20ii2(2)1.6Vui 1.4 1.20.2Aiii7.2 1.65.6Vuuu在電流源單獨(dú)作用的分電路中，應(yīng)用KVL，得【例4-4】圖示N為線性含源網(wǎng)絡(luò)。已知：當(dāng)iS1=8A， iS2=12A 時(shí)，響應(yīng)ux80V；當(dāng)iS1=8A， iS2=4A時(shí)，響應(yīng)ux0V；當(dāng) iS1 =iS2 =0A時(shí)，響應(yīng)ux40V。當(dāng)iS1 =iS2 =20A時(shí)，ux為多少？NS1iS2ixu解 設(shè)網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)所有獨(dú)立源作為一組，所產(chǎn)生的響應(yīng)分量為ux(3)， iS1和 iS2產(chǎn)生的響應(yīng)分量為AiS1與B iS2 。則(3)S1

7、S2xxuAiBu代入已知條件(3)(3)(3)808120844000 xxxABuABuABu 解出(3)01040VxABu 需要求出： 當(dāng)iS1 =iS2 =20A時(shí)，ux為多少？0 20 10 2040160Vxu 結(jié)論結(jié)論： 在線性電路中，當(dāng)所有激勵(lì)同時(shí)增大或減小K倍（K為實(shí)常數(shù)），響應(yīng)也將增大或減小K倍。此為線性電路的齊性定理。NSuiSiu 網(wǎng)絡(luò)N只含電阻和受控源。當(dāng)只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，響應(yīng)必與激勵(lì)成正比。即SinSuuRii輸入電阻(3)S1S2xxuAiBu(3)01040VxABu 【例4-5】已知U=68V,求各支路電流。UAB1I113I115I117I112I2U4I4

8、U6I6U8I解 設(shè) I81A，則7861A(1 1) 12VIIU 6656745612A3A15VIUIIIUIU 4434523415A8A113VIUIIIUIU 2212312113A21A134VIUIIIUIU 68234UkUUAB1I113I115I117I112I2U4I4U6I6U8I各支路實(shí)際電流為1234567821 242A13 226A8 216A5 210A3 26A2 24A1 22AIIIIIIII 4-2 替代定理 替代定理具有廣泛的應(yīng)用。定理表述為 在任一集總參數(shù)電路中，若第k條支路的電壓uk和電流ik已知，那么此支路就可以用一個(gè)電壓等于uk的電壓源us

9、,或一個(gè)電流等于ik的電流源is替代。替代后電路中全部電壓和電流均保持原值。 第k條支路可以是電阻、電壓源與電阻的串聯(lián)或電流源與電阻的并聯(lián)，也可以是非線性元件。替代定理的證明比較圖（a）和圖（b）的全部約束關(guān)系NkkukiNkuSuNkiSi(a)(b)(c)(a)(b)()kKif uki可以是任意值（電壓源特點(diǎn)）KCLKVL、KCLKVL、連接相同支路VCR支路VCR第k條除外ku為已知ku為原值 原電路圖（a）的所有支路電壓和電流將滿足圖(b)的全部約束關(guān)系。若電路只有惟一解，則所有電壓和電流保持原值?！纠?-6】圖a電路中，i14A， i26A， i310A，u180V， u230V，

10、 u360V。圖b和圖c中分別用電壓源和電流源替代第三條支路。求圖b和圖c電路的各支路電壓和電流。替代定理不適用： 電路在替代前后，具有多解； 被替代支路中，含有網(wǎng)絡(luò)N中受控源的控制量，且替代將使控制量消失。20140V90V3i51i2i61u2u3u(a)20140V90V3i51i2i1u2u60V(b)20140V90V10A51i2i1u2u3u(c)解 求圖b電路中各支路電壓和電流111406080V4Aui22906030V6Aui 求圖c電路中各支路電壓和電流140V5202i1i3i90V60V1u2u(b)3N114090111060V205205uu11N1114080V

11、4A20uuui22N129030V6A5uuui電壓和電流均保持原值。140V5202i1i10A90V3u1u2u(c)104-3 戴維寧定理和諾頓定理線性電阻eqR線性電阻受控源eqR線性電阻受控源獨(dú)立電源?外電路含源一端口SN1111含源一端口SNOCu開(kāi)路電壓uOC11獨(dú)立源置零0NeqR戴維寧電阻1.戴維寧定理戴維寧定理 一個(gè)含有獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)對(duì)外電路而言，可以用一個(gè)電壓源和電阻的串聯(lián)組合等效替代，此電壓源的電壓等于一端口的開(kāi)路電壓，電阻等于一端口內(nèi)部全部獨(dú)立源置零后所形成的無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻。11SNNeqROCuN11戴維寧等效電路定理的證明替代定

12、理11SNNiu(a)用疊加定理求圖(b)端口 u和i。(b)1SNiuSii11SN0i OCuu 1(c)NS作為一組激勵(lì)1ii 0NSii1u(d)電流源激勵(lì)eqReqequR iR i OCequuuuR i所示電路即為圖(e)eqRSOCuuN11i(e)定理得證應(yīng)用戴維寧定理應(yīng)注意 NS必須為線性網(wǎng)絡(luò)，外電路N可以是非線性網(wǎng)絡(luò)。 NS與N之間不得有受控關(guān)系。 戴維寧等效電路對(duì)外等效，對(duì)內(nèi)不等效?！纠?-7】圖示電路中，已知uS1140V， uS290V，R120, R25， R36，應(yīng)用戴維寧定理求i3。R2R1S1uS2u3R3iS1uS2uOCuR2R1解 將R3拿掉，形成含源

13、一端口，可依次求出S1S2OCS1112100VuuuuRRR12eq124R RRRR eqRR2R1OC3eq310AuiRReqROCu3i3R【例4-8】求圖示電路的戴維寧等效電路。已知 uS12V， iS2A， R13, R26。Su2Ra1R2i22iSib10解 求uoc 。 用結(jié)點(diǎn)法求uN1OCab2N1216VuuiuSN1S1111112VuuiRRR用外加電壓法求Req2N122AiuR2R1R2i22i10ui2122()uiRR i2112()iiRRR代入上式eq2.667Ru i11212122()()uiRRRR RRReq2.667ROC16Vuab(a)1S

14、Ni1ReqROCu11iR(b)討論討論 uoc和Req不變。滿足什么條件，R可獲最大功率？22OCequpRiRRR由 求出R改變時(shí)，功率p為最大的條件：dd0pR 2eqeq2OC4eq()2()dd()RRRR RpuRRReq2OC3eq0()RRuRR即 ReqR注意注意 當(dāng)uoc和R不變，只改變Req時(shí)， 其條件為 Req=0 。 其傳輸效率=50% 。eqROCu11iR(b)但對(duì)有源網(wǎng)絡(luò)NS內(nèi)部的獨(dú)立電源而言，一般不是50% ?！纠?-9】 R為多大可獲多少最大功率？并求電壓源的效率。22OCOCeqmaxeq22 25010050V1625W222244uuRpR 解 先求

15、uoc 和Req，再求最大功率。最后求電壓源的效率。S21122237.5A12.5A25ARuRRiiiiiRRRRRRR2100VR2(a)111R2RSu2100V1i1iRi2(b)R112R1RSu內(nèi)部消耗221123125Wpi Ri R效率maxmax16.667%ppp2.諾頓定理諾頓定理 一個(gè)含有獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路而言，可以用一個(gè)電流源和電阻的并聯(lián)組合等效替代。電流源的電流等于一端口網(wǎng)絡(luò)的短路電流isc，電阻等于一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部全部獨(dú)立源置零后所形成的無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻Req。 NS必須為線性網(wǎng)絡(luò)，外電路N可以是非線性網(wǎng)絡(luò)。 NS 與N之間不

16、得有受控關(guān)系。NSNSCiNSCieqR 諾頓等效電路對(duì)外等效，對(duì)內(nèi)不等效。 應(yīng)用電壓源和電阻串聯(lián)組合與電流源和電阻并聯(lián)組合之間的等效變換，即可推論得出諾頓定理。 含源一端口一般有兩種等效形式：戴維寧等效電路和諾頓等效電路。其參數(shù)關(guān)系為uOCiSCReq。 特殊情況：Req=0時(shí)，只存在戴維寧等效電路，為電壓源；Req=時(shí)，只存在諾頓等效電路，為電流源。(a)1SNi1RueqROCu11iR(b)ueqRSCi1iRu(c)1【例4-10】 用諾頓定理求電流i3。 已知uS1140V， uS290V， R120, R25， R36。解 順序求解iSC 和Req，得出諾頓等效電路，求電流i3

17、。S1S2SC1225AuuiRReq124RRR 425A3i3R(d)eqRSCi6eq3SC3eq10ARiiRRR2R1S1uS2u3R3i(a)R2R1S1uS2uSCi(b)R2R1eqR(c)【例4-11】求諾頓等效電路。 已知uS2V， iS2A ， R13 R21。 SCiSu1R12u112RSi1u(a)解 求iSC2 SCS1111SSC20()R iuuuuR ii求出SC1.6Ai外加電壓法求Req12111()2uRR iuuRiu1R12u112R1ui(b)求出12(3)uRR ieq1233 3 110uRRRi 101.6Aiu(c)114-4 特勒根定理

18、 特勒根定理是對(duì)集總電路普遍適用的基本定理。它只與各支路之間的連接有關(guān)，而與各支路的內(nèi)容無(wú)關(guān)。特勒根定理特勒根定理1 1 對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的集總電路，假設(shè)各支路的電流和電壓取關(guān)聯(lián)參考方向,并用(i1、i2 ib)、(u1、 u2 ub)分別表示b條支路的電流和電壓，則對(duì)任何時(shí)間t，有 10bk kku i(46)特勒根定理1的證明1234560123特勒根定理證明1N12N1N23N2N34N3N15N26N3uuuuuuuuuuuuuuu(47)124235346000iiiiiiiii (48)61 12 23 34 45 56 61k kku iu iu iu iu iu

19、iu iN1 1N1N22N2N33N3N14N2 5N3 6()()()u iuuiuuiuuiu iu iN1124N2235N3346()()()0uiiiuiiiuiii 10bk kku i將上述結(jié)論推廣即有，其實(shí)質(zhì)是功率守恒。特勒根定理特勒根定理2 2 如果有兩個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的集總電路，各支路間具有相同的連接關(guān)系，但由內(nèi)容不同的支路構(gòu)成。假設(shè)各支路的電流和電壓都取關(guān)聯(lián)參考方向，并分別用 (i1，i2 ， ib)、(u1， u2 ， ub) 和 分別表示兩個(gè)電路中b條支路的電流和電壓，則對(duì)任何時(shí)間t，有 12biii（ ， ， ， ）、12buuu（ ， ， ， ）10bk

20、 kku i(49)10bk kku i(4 10)1234560123特勒根定理證明124235346000iiiiiiiii 1N12N1N23N2N34N3N15N26N3uuuuuuuuuuuuuuu(4 11)61 12 23 34 45 56 61k kku iu iu iu iu iu iu iN1 1N1N22N2N33N3N14N2 5N3 6()()()u iuuiuuiuuiu iu iN1124N2235N3346()()()0uiiiuiiiuiii 10bk kku i將上述結(jié)論推廣即有有時(shí)稱為擬功率原理有時(shí)稱為擬功率原理特勒根定理2的證明【例4-12】驗(yàn)證特勒根定

21、理。520140V90V610A(a)4A4A6A60V80V30V6A22V224V61A(b)5A5A4A6V10V8V4A112V解51140k kku i( -4) +80 4+60 10+30 6+90 ( -6) =0W(a)圖5122k kku i( -5) +10 5+12 1+( -8) ( -4) +4 4=0W(b)圖51140( 4)k kku i ( -5) +80 5+60 1+30+90 4=0W(a)(b)圖與5122k kku i( -4) +10 4+12 10+( -8) 6+4 ( -6) =0W4-5 互易定理定理表述定理表述 對(duì)于一個(gè)僅含線性電阻的電

22、路，在單一激勵(lì)的情況下，當(dāng)激勵(lì)和響應(yīng)互換位置時(shí)，將不改變同一激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)?；ヒ锥ɡ碛腥N表現(xiàn)形式?；ヒ锥ɡ硇问街换ヒ锥ɡ硇问街籒RSu111u1i222u2iSu111 u1i222 u2iRNRRNN與 完全相同,則22ii設(shè)該電路的支路數(shù)為b條，應(yīng)用特勒根定理2，有證明證明NRSu111u1i222u2iSu111 u1i222 u2iRN1 12 230bk kku iu iu i1 12 230bk kku iu iu i由于NR、 內(nèi)部的（b2）條支路均為線性電阻，故RN3kk kkk kuR iuR ikb， ， ，代入上式得1 12 230bk k kku iu iR i i1 12 230bk k kku iu iR i i1 12 21 12 2u iu iu iu i得到(4 12)因?yàn)?圖中(a)1S20uuu(b)圖中12S0uuuS 121S 200u iiiu i即12iiNRSi111u1i222u2i(a)Si111 u1