概率論與數(shù)理統(tǒng)計3講-ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第第3講講本文件可從網(wǎng)址math.vip.sina上下載(單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄)概率每一個事件都有它的發(fā)生概率即給定事件A, 存在著一個正數(shù)P 與之對應, 稱之為事件A的概率, 記作P(A)或PA.最高的發(fā)生概率為1, 表示必然發(fā)生.最低的概率為0, 表示不能夠發(fā)生.而普通的隨機事件的概率介于0與1之間.這里只是概率的數(shù)學上的規(guī)定, 其實就是任何一個事件到實數(shù)軸上的0,1區(qū)間的映射.但怎樣獲得切合實踐的一個事件的概率呢?概率的統(tǒng)計定義在n次反復實驗中, 假設(shè)事件A發(fā)生了m次, 那么m/n稱為事件A發(fā)生的頻率. 同樣假設(shè)事件B發(fā)生了k次, 那么事件

2、B發(fā)生的頻率為k/n. 概率的統(tǒng)計定義假設(shè)A是必然事件, 有m=n, 即必然事件的頻率是1, 當然不能夠事件的頻率為0. 概率的統(tǒng)計定義假設(shè)A與B互不相容, 那么事件A+B的頻率為(m+k)/n, 它恰好等于兩個事件的頻率的和m/n+k/n, 這稱之為頻率的可加性.定義在不變的條件下, 反復進展n次實驗, 事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地某一常數(shù)p附近擺動, 且普通說來, n越大, 擺動幅度越小, 那么稱常數(shù)p為事件A的概率, 記作P(A).但這不是概率的數(shù)學上的定義, 而只是描畫了一個大數(shù)定律.歷史上的擲硬幣實驗試驗者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐4

3、04020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120190.5005維尼30000149940.4998概率的穩(wěn)定性是概率的閱歷根底但并不是說概率決議于閱歷. 一個事件發(fā)生的概率完全決議于事件本身的構(gòu)造, 指實驗條件, 是先于實驗而客觀存在的.概率的統(tǒng)計定義僅僅指出了事件的概率是客觀存在的, 但并不能用這個定義計算P(A). 實踐上, 人們是采取一次大量實驗的頻率或一系列頻率的平均值作為P(A)的近似值的.例如,對一個婦產(chǎn)醫(yī)院6年出生嬰兒的調(diào)查中, 可以看到生男孩的頻率是穩(wěn)定的, 約為0.515新生兒性別統(tǒng)計表出生年份新生兒總數(shù)n新生兒分類數(shù)頻率(%)男孩數(shù)m1

4、女孩數(shù)m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計31394161461524851.4848.52概率的古典定義(概率的古典概型)有一類實驗的特點是:1,每次實驗只需有限種能夠的實驗結(jié)果2,每次實驗中,各根身手件出現(xiàn)的能夠性完全一樣.在古典概型的實驗中, 假設(shè)總共有n個能夠的實驗結(jié)果, 因此每個根身手件發(fā)生的

5、概率為1/n, 假設(shè)事件A包含有m個根身手件, 那么事件A發(fā)生的概率那么為m/n.定義假設(shè)實驗結(jié)果一共由n個根身手件E1,E2,En組成, 并且這些事件的出現(xiàn)具有一樣的能夠性, 而事件A由其中某m個根身手件E1,E2,Em組成, 那么事件A的概率可以用下式計算:nmAAP試驗的基本事件總數(shù)的基本事件數(shù)有利于)(簡單的例擲一枚硬幣的實驗, 根身手件為正面和反面, 而且由于硬幣的對稱性, 因此出現(xiàn)正面和反面的概率一樣, 都是1/2.擲一次骰子的實驗, 根身手件有6個, 因此每個根身手件的概率為1/6, 那么P奇數(shù)點=3/6=1/2, P小于3=P1,2=2/6=1/3例 袋內(nèi)裝有5個白球, 3個黑

6、球, 從中任兩個球, 計算取出的兩個球都是白球的概率.25 325:,nCAAmC解 組成試驗的基本事件總數(shù)假設(shè)事件取到兩個白球 則 的基本事件數(shù)則25285 4 1 2( )1 2 8 750.35714CmP AnC例2 一批產(chǎn)品共200個, 廢品有6個, 求(1)這批產(chǎn)品的廢品率; (2)任取3個恰有一個是廢品的概率;(3)任取3個全非廢品的概率解 設(shè)P(A), P(A1), P(A0)分別表示(1),(2),(3)中所求的概率,那么9122. 0198199200321321192193194)() 3(0855. 0198199200321211931946)()2(03. 0200

7、6)() 1 (32003194032002194161CCAPCCCAPAP例3 兩封信隨機地向標號為1,2,3,4的4個郵筒投寄,求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率及前兩個郵筒中各有一封信的概率.解 設(shè)事件A=第二個郵筒恰有一封信事件B=前兩個郵筒中各有一封信兩封信投入4個郵筒共有44種投法, 而組成事件A的投法有23種, 組成事件B的投法那么只需2種, 因此81162)(,83166)(BPAP例3 兩封信隨機地向標號為1,2,3,4的4個郵筒投寄,求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率及前兩個郵筒中各有一封信的概率.解 設(shè)事件A=第二個郵筒恰有一封信事件B=前兩個郵筒中各有一封信兩封信投入

8、4個郵筒共有44種投法, 而組成事件A的投法有23種, 組成事件B的投法那么只需2種, 因此81162)(,83166)(BPAP比較難的例子：一個小型電影院出賣電影票, 每張5元. 總共有10個觀眾隨機地排成一隊買票, 其中有5人手持一張5元的鈔票, 另5人手持 10元一張的鈔票. 售票開場時, 售票員手里沒有零鈔, 求售票可以進展的概率(即不由于短少零錢找不開而需求等的概率).售票能進展的例:售票不能進展的例:持五元持十元根身手件總數(shù)n的計算:思索將5個手持五元的人隨機地放入10個排隊位置中的5個, 那么剩下的5個位置當然是手持十元的人的位置. 即10個位置中拿出5個來放手持五元的人的總數(shù)

9、n.! 5 ! 5!10510 Cn! 5 ! 5!10510 Cn將問題改動一下, 假設(shè)售票員手里還是有足夠的零鈔找換的, 因此售票能進展的事件就等于售票員一直沒有運用本人手中的零鈔的事件, 而售票不能進展的事件就是售票員要動用本人手中的零鈔的事件.假設(shè)在售票開場時, 售票員手中的五元零鈔數(shù)目為0, 在售票過程中, 遇到手持五元鈔的觀眾那么零鈔數(shù)目增1, 否那么零鈔數(shù)目減1, 假設(shè)必需動用售票員手中原有的零鈔時, 零鈔數(shù)目能夠變?yōu)樨撝? 將售票過程中的零鈔數(shù)目的變化繪成折線圖.售票能進展的例子:01234-1-2-3-4售票不能進展的例子:01234-1-2-3-4將曲線從第一個不能進展的點

10、處開場對折01234-1-2-3-4對于售票不能進展的例子, 在遇到第一個手持10元卻必需給他找本人的零鈔的人時, 將后面的人的手中鈔票都換一下, 5元的換10元, 10元的換5元, 這樣總的效果就是有6人持10元鈔, 4人持5元鈔, 在售完票時零鈔總損失必然是2個5元鈔.反過來, 假設(shè)一開場就是有6人持10元4人持5元, 那么售票必然不能進展, 因此必然存在第一個無法找零鈔的人, 假設(shè)這時將其后面的人10元換5元, 5元換10元, 那么對應于一個5人持10元5人持5元且售票不能進展的事件.因此, 6人持10元4人持5元的排隊事件總數(shù), 和5人持10元5人持 5元售票不能進展的事件總數(shù)該當是一

11、樣的. 我們只需計算前者的事件總數(shù), 而這等于先將10個排隊位置中拿出4個放持5元的人的總數(shù).! 6 ! 4!10410CnB因此, 假設(shè)事件A為售票能進展, 事件B為售票不能進展, 有利于A的根身手件數(shù)為nA, 有利于B的根身手件數(shù)為nB, 那么61651! 6 ! 4!10!10! 5 ! 5111)(510410CCnnnnnAPBB這還可以擴展到更普通的情況, 即假設(shè)共有2k個人排隊買票, 其中k個人持五元鈔, k個人持十元鈔, 每張票五元, 售票開場時售票員沒有零鈔, 求售票可以進展的概率.假設(shè)所求事件的概率為P(A), 售票不能進展的概率為P(B), 那么B的事件總數(shù)為2k個排隊位

12、置中取出k-1個位置的事件數(shù).1111)!2(!)!1()!1()!2(111)(212kkkkkkkkkCCnnnnnnnAPkkkkBBA幾何概型設(shè)樣本空間S是平面上的某個區(qū)域, 它的面積記為m(S);SA向區(qū)域S上隨機投擲一點, 該點落入任何部分區(qū)域A的能夠性只與區(qū)域A的面積m(A)成比例.SA那么必然有( )( )( )AP AS(3.2)如樣本空間S為一線段或一空間立體, 那么向S投點的相應概率仍可用上式確定, 但m()應了解為長度或體積.例 某人一覺悟來, 覺察表停了, 他翻開收音機, 想聽電臺報時, 設(shè)電臺每正點報時一次, 求他(她)等待時間短于10分鐘的概率.解 以分鐘為單位,

13、 記上一次報時時辰為0, 那么下一次報時時辰為60, 于是這個人翻開收音機的時間必在(0,60), 記等待時間短于10分鐘為事件A, 那么有S=(0,60), A=(50,60)S,于是101( )606P A 例 甲,乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi), 在預定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間t(tT)后離去. 設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時辰到達該地是等能夠的, 且兩人到達的時辰互不牽連. 求甲,乙兩人能會面的概率.解 以x,y分別表示甲乙兩人到達的時辰, 那末0 xT, 0yT.假設(shè)以x,y表示平面上點的坐標, 那么一切根身手件可以用一正方形內(nèi)一切點表示, 兩人能會面的條件是 |x-

14、y|tyOtTxx-y=ty-x=ttTAyOtTxx-y=ty-x=ttTA所以所求概率為OtTxx-y=ty-x=ttTA222211)(TtTtTTp正方形面積陰影部分面積222211)(TtTtTTp正方形面積陰影部分面積引見蒙特卡洛實驗技術(shù)我們知道象擲硬幣這樣的實驗作一次是很費時間的. 但是計算機出現(xiàn)以后, 通常都有一個隨機函數(shù), 此隨機函數(shù)每次調(diào)用的前往值都不一樣, 會產(chǎn)生一個隨機的數(shù)字, 因此我們就可以利用這樣一個隨機的數(shù)字進展反復的實驗來求出我們所希望的事件的概率. 特別是有一些事件的概率求起來非常困難, 但用計算機進展仿真實驗, 就可以經(jīng)過統(tǒng)計的方法求出概率的近似值, 這叫做

15、蒙特卡洛實驗.在word上編程實驗擲硬幣Word字處置器帶有一個virsal basic編譯器, word的宏都是用它來編寫的. 在進入word之后, 選擇工具|宏|宏菜單, 在宏名上鍵入他想要的宏的名字, 這里我們鍵入test, 然后單擊創(chuàng)建按鈕, 這就進入virsal basic編譯器.Basic言語中有一個函數(shù)叫rnd(), 每調(diào)用一次它就會前往一個在區(qū)間0,1)內(nèi)的隨機數(shù), 因此可以在調(diào)用此函數(shù)后斷定前往值能否小于0.5, 假設(shè)小于就是反面, 否那么就是正面, 這樣可以保證正面和反面的時機都是0.5.因此鍵入這樣的語句If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.typetext text:=正面End if那么每調(diào)用一次這個宏就相當于用計算機模擬作了一次擲硬幣實驗假設(shè)要連做10次實驗, 那么語句改成這樣For i=1 to 10If rnd()0.5 thenselection.typetext text:=反面Else selection.ty