構造法在初中數(shù)學解題中的應用

1、構造法在初中數(shù)學解題中的應用【摘要】構造法是一種重要的數(shù)學解題方法，在解題中被廣泛應用。構造法是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，特別是有些問題，用構造法更簡捷明了。本文簡單闡述了構造法的概念，重點論述了構造在初中數(shù)學解題中的運用。 【關鍵詞】構造法 數(shù)學解題 應用 波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘?！苯鈹?shù)學問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一。本文將對構造法及

2、其在中學數(shù)學中的應用做簡單探討，通過示例，不斷加深對構造法的理解。一、對“構造法”的概述與基本特征構造法是根據(jù)題設的特點，用已知條件中的元素作為“元件”，用已知的關系式為“支架”，通過觀察、聯(lián)想，采用新的設計，構造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法。在運用構造法時，一要明確構造的目的，即為什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構造.構造法的基本特征如下：1.對所要討論的問題給出了較為直觀的描述；2.不但回答了提出的問題，而且構造出具體的結果。二、構造法在解題中的應用1構造函數(shù)在求解某些數(shù)學問題時，根據(jù)問題的條件，構想組合一種新的函數(shù)關系，使

3、問題在新的觀念下轉化并利用函數(shù)的有關性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標。例1：（八年下課本習題變式）某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。（1）按要求安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設計出來；（2）設生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品獲總利潤為（元），生產(chǎn)種產(chǎn)

4、品件，試寫出與之間的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）設需要生產(chǎn)種產(chǎn)品件，那么需要生產(chǎn)種產(chǎn)品件，由題意得：解得：，是正整數(shù)，或31或32，有三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)種產(chǎn)品30件，生產(chǎn)種產(chǎn)品20件；生產(chǎn)種產(chǎn)品31件，生產(chǎn)種產(chǎn)品19件；生產(chǎn)種產(chǎn)品32件，生產(chǎn)種產(chǎn)品18件；（2）由題意得：，隨的增大而減小，當=30時，有最大值，最大值為：=45000（元），答：與之間的函數(shù)關系式為：，（1）中的方案獲利最大，最大利潤為45000元。例2：求函數(shù) 的最大值.解：由根號下的式子看出且，故可聯(lián)想到三角函數(shù)關系式并構造 ，所以，當即時，.2.構造方程方程，

5、作為中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識密切相關。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解。構造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法.構造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為3個步驟：.將所面臨的問題轉化為方程問題；.解這個方程或討論這個方程的有關性質(zhì)（常用判別式與韋達定理），得出相應結論；.將方程的相應結論再返回為原問題的結論。（1）某些題目根據(jù)條件、仔細觀察其特點，構造一個“一元一次方程”求解，從而獲得問題解決.例3：設且， ，求的范圍.解：由得 （1）

6、將（1）的兩邊平方并將代入得 （2）由（1）（2）可知，是方程的兩個不等的實根于是解得： 即： （2）有些問題，直接求解比較困難，但如果根據(jù)問題的特征，通過轉化，構造“一元二次方程”，再用根與系數(shù)的關系求解，使問題得到解決。此方法簡明、功能獨特，應用比較廣泛，特別在數(shù)學競賽中的應用。例4：已知實數(shù)、滿足求的值。思考與分析：根據(jù)本題的題設可能使我們聯(lián)想到韋達定理，但仍需進行合理的變形，才能構造出方程組去求解。解：由已知可得： 以、為兩實數(shù)根，構造方程方程有實數(shù)根由此得到，且方程有兩個相等的實數(shù)根于是，3.構造幾何圖形（1）對于條件和結論之間聯(lián)系較隱蔽問題，要善于發(fā)掘題設條件中的幾何意義，可以通過

7、構造適當?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來，從而構造出幾何圖形，把代數(shù)問題轉化為幾何問題來解決。增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。例5：已知：，,求證：.分析：在求證條件不等式時，可根據(jù)題設條件作出對應的圖形，然后運用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結論獲證。證明：如圖1:作邊長為1的正方形,在上取點，使=；在上取點，使=，過/交于；作 /交于.設與交于點，連接、.由題設及作圖知、均為直角三角形，因此 且 由于 所以：當且僅當時，等號成立。2、在解幾何題時，借助有關性質(zhì)，巧妙構造，可迅速找到解題途徑，不僅能使問題化難為易，迎忍而解，而且有助于提高學生的數(shù)學思維能力和幾何證題能力。

8、例6：如圖2：Rt中,直角的平分線與斜邊的中垂線線交于,求證：.思考與分析：由已知條件和圖形聯(lián)想到是Rt的外接圓的直徑，只需作，證明點在圓上即可。證明：作Rt的外接圓，則為直徑，為圓心。垂直平分通過弧的中點是的平分線也通過弧的中點、的交點必為弧的中心即點在上，4、構造特例、反例在解題中，我們可以考慮問題中的特殊情形、極端情況、特例、反例，這也是我們解決問題的一種方法，特別對于一些假命題的證明，經(jīng)常通過構造一個符合命題條件但結論不成立的例子來證明即可。例7：，都是實數(shù)，考慮如下命題：（1）若，且，則；（2）若，且，則；（3）若，且，則；試判斷哪些命題正確，哪些命題不正確。對你認為正確的命題給出證

9、明；認為不正確的命題，用反例予以否定。分析：命題（1）不正確，構造反例如下：令，此時且，滿足條件，但結論不成立。命題（2）成立：證明：，因為，所以且，因此.即命題成立。命題（3）不成立：令，此時，且滿足條件，但結論不成立。例8：證明以下命題為假命題：若兩個三角形的三個內(nèi)角和三條邊六個元素中有五個元素分別相等，則這兩個三角形全等。思考與分析：只要構造的一個符合命題的條件，但不滿足命題的結論的例子即可。證明：如圖3，和中，使，. = = =即和滿足五個元素分別相等，但它們不全等。故該命題是假命題。從以上各例不難看出，構造法解題有著你意想不到的功效，問題很快便可解決。構造法解題重在“構造”, 通過仔細地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。因此，在解題時，若能啟發(fā)學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯(lián)想，就會得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法，而且還能加強學生對知識的理解。運用構造法解題能培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題的創(chuàng)新能力，也可從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣。參考文獻1 李明振 .數(shù)學方法與解題研究