從數(shù)學(xué)的美說(shuō)開(kāi)去(董金昌）

1、從數(shù)學(xué)的美說(shuō)開(kāi)去(數(shù)學(xué)創(chuàng)新與科學(xué)）求精中學(xué) 董金昌 數(shù)學(xué)很好玩,數(shù)學(xué)很漂亮。 在數(shù)學(xué)家眼中，數(shù)學(xué)就像一位戀人 在數(shù)學(xué)家大會(huì)上，一位位數(shù)學(xué)大師用洋溢著激情的字眼描繪數(shù)學(xué)。雖然從呀呀學(xué)語(yǔ)之時(shí)就學(xué)著數(shù)：一、二、三、四但數(shù)學(xué)真的那么美嗎？對(duì)于大多數(shù)中國(guó)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們感受不到數(shù)學(xué)的魅力。 現(xiàn)在，中小學(xué)里愛(ài)好數(shù)學(xué)、成績(jī)好、又學(xué)得比較輕松的學(xué)生不太多。多數(shù)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)缺乏興趣，花的力氣不少，但成績(jī)并不好，數(shù)學(xué)成了學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。 著名數(shù)學(xué)家、中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)院院長(zhǎng)楊樂(lè)認(rèn)為，這其中有教材內(nèi)容過(guò)多過(guò)繁的原因；有教師水平不齊整，教得不夠活的原因；更有現(xiàn)行考試模式的影響，因?yàn)閿?shù)學(xué)是主科，總歸要考，考試指揮棒的牽制

2、力是很大的。“我們的數(shù)學(xué)教育必須改革！”北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系一位教授參與制定了新的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，他對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)很有些不滿：“數(shù)學(xué)并不枯燥，是我們把它教枯燥了。不能再讓孩子學(xué)得那么痛苦，要把數(shù)學(xué)的美麗還給他們?！?這幾年，我國(guó)參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，獲得的金牌總數(shù)常常高居榜首，成為當(dāng)之無(wú)愧的數(shù)學(xué)“奧賽”第一大國(guó)。有人認(rèn)為，中國(guó)的數(shù)學(xué)“新苗”正在成長(zhǎng)，意味著中國(guó)的數(shù)學(xué)研究前景大有希望。但也有人擔(dān)心，為競(jìng)賽而刻意進(jìn)行的強(qiáng)化訓(xùn)練，實(shí)際上和讓孩子喜愛(ài)并且研究數(shù)學(xué)背道而馳。“現(xiàn)在這類事情在中小學(xué)搞，無(wú)非是讓學(xué)生做些復(fù)雜的、偏一些的題，這些解題技巧多半又是“填鴨”式地“灌”給學(xué)生，學(xué)生沒(méi)有消化思考

3、的時(shí)間，又忽略了興趣，很難把它真正變成自己的東西，反倒弄成了負(fù)擔(dān)。”數(shù)學(xué)家楊樂(lè)對(duì)此表示擔(dān)憂。 不光多數(shù)中小學(xué)生不愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)，不少大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)也沒(méi)興趣，甚至連理工科大學(xué)生也往往忽略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。只是以后需要用到大量的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，這些學(xué)生才恍然大悟，原來(lái)數(shù)學(xué)如此重要。 前來(lái)參加數(shù)學(xué)大會(huì)的著名數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎(jiǎng)獲得者丘成桐，在哈佛大學(xué)曾碰到一件令他十分驚訝的事情。有一天，幾個(gè)從清華大學(xué)來(lái)這里念工程學(xué)的學(xué)生找到丘成桐，求教幾何方面的問(wèn)題，問(wèn)如何把圖像運(yùn)動(dòng)表示出來(lái)。丘成桐感到很奇怪，這不是微分幾何方面的古典問(wèn)題嗎，原本是在讀本科時(shí)就應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。他說(shuō)：“希望即使是學(xué)工程的學(xué)生也要多花點(diǎn)時(shí)間在純數(shù)學(xué)上，打破

4、門(mén)戶之見(jiàn)。” 對(duì)于丘成桐的這番話，一位電力系統(tǒng)專業(yè)出身的工程師頗有感觸。他最近在編寫(xiě)一個(gè)應(yīng)用軟件時(shí)，就屢屢遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題的障礙，不得已三番五次地找一位數(shù)學(xué)博士請(qǐng)教。他感嘆，真是“數(shù)”到用時(shí)方恨少！ 無(wú)論對(duì)于傳統(tǒng)的工科、理科，還是信息、經(jīng)濟(jì)、管理等新興學(xué)科，甚至于人文學(xué)科的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)方法都是必要的基礎(chǔ)和工具。楊樂(lè)教授說(shuō)，研究生的培養(yǎng)、高層次人才所特別需要的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 北京師范大學(xué)劉兼教授透露，目前我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革正在逐步推進(jìn)。記者了解到，新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)擬定。新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)目前“繁”、“難”的數(shù)學(xué)內(nèi)容適當(dāng)做了刪減，并要求教材編寫(xiě)結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

5、趣。 而大學(xué)的數(shù)學(xué)教育改革也正引起關(guān)注和討論。我國(guó)的大學(xué)數(shù)學(xué)教育，一定程度上存在重理論輕實(shí)踐的傾向，而且數(shù)學(xué)課程的設(shè)置也不靈活。南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)系定光桂認(rèn)為，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)教育，必須以數(shù)學(xué)的應(yīng)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)為主要教學(xué)內(nèi)容。同時(shí)，要開(kāi)設(shè)多門(mén)供不同專業(yè)學(xué)生選修的課程。即使對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也不要將課程規(guī)定得太死，除了必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課外，大量開(kāi)設(shè)一些數(shù)學(xué)選修課，讓學(xué)生們得以獨(dú)立自由地發(fā)展，發(fā)揮他們的創(chuàng)造性。1.數(shù)學(xué)是美的。大數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)

6、學(xué)能給予以上的一切。”美作為現(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的功能。數(shù)學(xué)，始終是美的。審美教育的范圍正日益廣泛地滲透到人類社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域之中。人們不僅通過(guò)音樂(lè)、藝術(shù)，而且也通過(guò)自然美、社會(huì)美、科學(xué)美，得到美的熏陶，美化精神境界。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美具有一定的審美能力，這不僅有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的愛(ài)好，也有助于他們的創(chuàng)造發(fā)明能力?；谏厦鏀?shù)學(xué)美的論述，下面就談?wù)剶?shù)學(xué)美的功能。1.1 數(shù)學(xué)美能夠培養(yǎng)人們創(chuàng)造發(fā)明數(shù)學(xué)的能力。 首先，我們可以看一看如下例子。據(jù)說(shuō)，古希

7、臘數(shù)學(xué)家帕普斯是丟番圖最得意的一個(gè)學(xué)生，他很小的時(shí)候就跟隨丟番圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。有一天他向老師請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：有四個(gè)數(shù)，把其中每3個(gè)相加，其和分別為22、24、27、20，求這四個(gè)數(shù)。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但具體做起來(lái)卻有一定的復(fù)雜性。帕普斯請(qǐng)教丟番圖有沒(méi)有什么巧妙的方法可以解答這個(gè)問(wèn)題。丟番圖提出了一個(gè)巧妙的解法，他不是分別設(shè)四個(gè)未知數(shù)，而是設(shè)四個(gè)數(shù)之和為x，那么四個(gè)數(shù)就分別為x-22,x-24,x-27和x-20,于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)。解之得x=31。從而得到四個(gè)數(shù)分別為9、7、4、11。對(duì)老師漂亮的解法帕普斯非常佩服，從而堅(jiān)定了畢生研究數(shù)學(xué)的意愿，

8、后來(lái)成了一位著名的數(shù)學(xué)家。1.2 而在教學(xué)過(guò)程中具體表現(xiàn)如何呢？眾所周知，圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程之形式是如此簡(jiǎn)潔、優(yōu)美、勻稱，它給人以一種美的享受。就雙曲線而言，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。如圖，取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x,y)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，焦距是2c，與F1,F2兩點(diǎn)距離之差絕對(duì)值等于常數(shù)2a，則得其標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1 ，在數(shù)學(xué)過(guò)程中 ，可以提出為什么要取“2c”與“2a”，而不取“c”與“a”呢？為什么要引進(jìn)b呢？為何叫標(biāo)準(zhǔn)方程呢？1.3 我們說(shuō)，數(shù)學(xué)的發(fā)明和創(chuàng)造，除了

9、反映客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，還來(lái)源于對(duì)美的追求。衡量一個(gè)理論是否成功，不僅有實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)，邏輯標(biāo)準(zhǔn)，還有美的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)一種理論尚未達(dá)到美的境界時(shí)，就必須繼續(xù)改進(jìn)發(fā)展，“按照美的規(guī)律來(lái)制造”。如上一問(wèn)題，按定義可得：p=MMF1-MF2=±2a得方程 =±2a，此可作為雙曲線方程。但它不符合簡(jiǎn)單性原則。故方程可化為(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)即=1。我們說(shuō)，此方程簡(jiǎn)單多了。但是，雙曲線具有對(duì)稱性，它所表示方程也該有對(duì)稱性。于是，由于c2-a2>0，故令c2-a2=b2，即得 =1，此式是如此簡(jiǎn)潔優(yōu)美。至此，我們清楚知道，一開(kāi)始選擇“2c”、“2a”正

10、是為了追求簡(jiǎn)單性，而產(chǎn)生b是人為制造的，但實(shí)踐證明，b正好是雙曲線虛半軸，又具有鮮明幾何意義。為何稱為標(biāo)準(zhǔn)方程呢？應(yīng)該說(shuō)，對(duì)于同一個(gè)雙曲線，建立不同的坐標(biāo)系就可得到不同方程，其中若不規(guī)定一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的，那人們就沒(méi)有共同的語(yǔ)言。如此教學(xué)，通過(guò)深挖教材中數(shù)學(xué)美之因素，既能闡明問(wèn)題的本質(zhì)，又能提高學(xué)生的完美能力，增強(qiáng)創(chuàng)造意識(shí)。1.4 寓美于教，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。我們知道，對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)是比較機(jī)械的、枯燥的。如在本章學(xué)習(xí)之前，先提出一個(gè)問(wèn)題，“一張0.01mm厚的紙折疊十次以后，有多厚”學(xué)生是可以計(jì)算得了。再此，又提出問(wèn)題，若是折了100次呢？有的學(xué)生或許可以算得，估算即為2100層紙厚，為2100=

11、(210)10(103)10=1030即為103×0.01×0.01×0.01km=1022km，這有1022公里長(zhǎng)度。學(xué)生都為之驚嘆。這一數(shù)字，只是估算，學(xué)生有趣、好奇，它的新穎奇特在學(xué)生的心靈中引起了一種愉快的驚異，趣中孕育著“美感”。進(jìn)一步為了解決這一繁而驚人的計(jì)算，因而追求計(jì)算的“簡(jiǎn)單性”數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式之一，導(dǎo)致了對(duì)數(shù)計(jì)算方法的產(chǎn)生。學(xué)生帶著興趣、美感、追求，開(kāi)始學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算。1.5 又如，在學(xué)習(xí)完黃金數(shù)x=W= =0.618，可以引申出，建筑物的窗口，寬與高度的比一般為W；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點(diǎn)，人的肘關(guān)節(jié)是手臂的黃金分割點(diǎn)，肚臍是人身高

12、的黃金分割點(diǎn)；當(dāng)氣溫為23攝氏度時(shí)，人感到最舒服，此時(shí)23:37（體溫）0.618；名畫(huà)的主題，大都畫(huà)在畫(huà)面的0.618處，弦樂(lè)器的聲碼放在琴弦的0.618處，會(huì)使聲音更甜美。建筑設(shè)計(jì)的精巧、人體科學(xué)的奧秘、美術(shù)作品的高雅風(fēng)格，音樂(lè)作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)的對(duì)稱美與和諧美之中。1.6 具有和諧美、對(duì)稱美的例題，能達(dá)到以美啟智，提高學(xué)生探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。解析幾何是用數(shù)研究形的數(shù)學(xué)分科，形數(shù)結(jié)合是研究解析幾何的基本觀點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)變化是解析幾何的主導(dǎo)思想。若能注意點(diǎn)撥這一優(yōu)美、和諧的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將可以增強(qiáng)學(xué)生的“美的意識(shí)力”。1.7 龐卡萊指出：“在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什么呢？是各

13、部分的和諧，是它們的對(duì)稱，是它們的巧妙、平衡”。審美幫助我們進(jìn)行猜測(cè)，為解題指出了方向。事實(shí)上，為了滿足某些條件，滿足某種和諧關(guān)系，事物必須是完美的。這反映了數(shù)學(xué)解題中美與真的統(tǒng)一。追求數(shù)學(xué)美，是數(shù)學(xué)發(fā)展的深層動(dòng)力。中學(xué)數(shù)學(xué)中，在數(shù)學(xué)的和諧美等驅(qū)使下，常常能更快取得成果。2.數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新美 面向全體學(xué)生實(shí)施素質(zhì)教育，培養(yǎng)創(chuàng)新人才，這是每一位教育工作者面臨的一個(gè)全新課題。數(shù)學(xué)教學(xué)要標(biāo)新立異，改變觀念，注重能力培養(yǎng)。把創(chuàng)新教育滲透到課堂教學(xué)中，精心創(chuàng)設(shè)求異情境，把學(xué)生引入一個(gè)多思、多問(wèn)、多變的廣闊的思維空間，開(kāi)發(fā)智能，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)?，F(xiàn)代高科技和人才的激烈競(jìng)爭(zhēng)，歸根結(jié)底就是創(chuàng)造性思維的競(jìng)爭(zhēng)，而創(chuàng)造性

14、思維的實(shí)質(zhì)就是求新、求異、求變。創(chuàng)新是教與學(xué)的靈魂，是實(shí)施素質(zhì)教育的核心；數(shù)學(xué)教學(xué)蘊(yùn)含著豐富的創(chuàng)新教育素材，數(shù)學(xué)教師要根據(jù)數(shù)學(xué)的規(guī)律和特點(diǎn)，認(rèn)真研究，積極探索培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)造性思維的原則、方法。當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的總趨勢(shì)就是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力。要達(dá)到這一要求，教師的教學(xué)就必須從要優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)入手，把創(chuàng)新教育滲透到課堂教學(xué)中，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。2.1 探索問(wèn)題的非常規(guī)解法，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造精神是實(shí)施創(chuàng)新教育中最為重要的一步。教師要啟迪學(xué)生創(chuàng)造性地“學(xué)”，標(biāo)新立異，打破常規(guī)，克服思維定勢(shì)的干擾，善于找出新規(guī)律，運(yùn)用新方法。激發(fā)學(xué)生大膽探討問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生思

15、維的靈活性、開(kāi)拓性和創(chuàng)造性。教學(xué)中的切入點(diǎn)很多：例1已知p+q+10,求證:1位于方程x2 + px + q=0 的兩根之間.此題若按常規(guī)思路,先用求根公式求出方程的兩根x1 , x2 ,再求證結(jié)論,則將陷入困境,因此另覓新路.證明:設(shè)y=x2 + px + q,顯然拋物線的開(kāi)口向上.令x = 1,則y = p + q + 1, 由已知p + q + 10,即點(diǎn)(1, p+q+1)在x軸下方(如圖).故原方程有兩根x1 , x2 ,且1位于這兩根之間.這種解法通常稱為“圖象法”。 例2解方程： 本題若用常規(guī)解法很繁瑣，教學(xué)時(shí)我由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)基本等式 的正用和逆用入手，點(diǎn)撥學(xué)生采用“通

16、分法”與“拆項(xiàng)法”來(lái)解。上述基本等式的逆用，訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維，又展現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)方法: 拆項(xiàng)法。 當(dāng)用常規(guī)方法不能解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)教授學(xué)生及時(shí)改變思路，另選突破口，切忌在原方法上徘徊。否則難以使思維發(fā)生質(zhì)的飛躍，也不利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。例3解方程（x - 1）（x + 2）= 70 該題的一般解法是把方程化為標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程求解。除此之外應(yīng)激發(fā)學(xué)生去思考有無(wú)更巧更妙的解法？誘導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)x+2與x-1的關(guān)系：它們的差是3，且x+2x-1，故可把70分解成差為3的兩個(gè)因數(shù)，從而求解。解：原方程化為（x-1）（x+2）=7×10 =-10×（-7） x+2 x1 x+

17、2 =10 或 x+2 =-7 x1 =8，x2 =-9。題目的新穎解法來(lái)源于觀察分析題目的特點(diǎn)，以及對(duì)隱含條件的挖掘。因此，教師應(yīng)從開(kāi)發(fā)智能、培養(yǎng)能力這一目標(biāo)著眼，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、拓展，平時(shí)教學(xué)中注意總結(jié)解題規(guī)律，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。 2.2 開(kāi)拓思路,誘發(fā)思維的發(fā)散性徐利治教授曾指出:創(chuàng)造能力 = 知識(shí)量×發(fā)散思維能力。思維的發(fā)散性，表現(xiàn)在思維過(guò)程中，不受一定解題模式的束縛，從問(wèn)題個(gè)性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去猜想、延伸、開(kāi)拓，是一種不定勢(shì)的思維形式。發(fā)散思維具有多變性、開(kāi)放性的特點(diǎn)，是創(chuàng)造性思維的核心。在教學(xué)中，教師的“導(dǎo)”：需精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，組織學(xué)生進(jìn)

18、行生動(dòng)有趣的“活動(dòng)”，留給學(xué)生想象和思維的“空間”，充分揭示獲取知識(shí)的思維過(guò)程，使學(xué)生在過(guò)程中“學(xué)會(huì)”并“會(huì)學(xué)”，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，從而得到主體的智力發(fā)展。教學(xué)中不僅要求學(xué)生的思維活躍，教師的思維更應(yīng)開(kāi)放，教師只要細(xì)心大膽挖掘，這樣的結(jié)合點(diǎn)隨處可見(jiàn)： 例1 寫(xiě)出以 的解的方程（組）題中未明確是何種類型的方程(組)?解題方法無(wú)模式好循,誘導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)想象,多方位探尋,得出以下結(jié)果:.(x-1)2+(y-2)2=0 .（可寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)方程（組）思路拓展：把 看做坐標(biāo)系中的一點(diǎn)（1，2），過(guò)此點(diǎn)的任意兩條直線的解析式構(gòu)成的方程組都可以。 例2在ABC中，ACB = 90°，CDAB，如圖。由

19、上述條件你能推出哪些結(jié)論？此題求解的范圍、想象的空間是廣闊的，思維是開(kāi)放的。讓學(xué)生在求解過(guò)程中求新、求速度、求最佳，通過(guò)不斷思考，互相啟發(fā)，多數(shù)學(xué)生能找出710個(gè)結(jié)論，然后教師誘導(dǎo)學(xué)生從邊、角、相似及三角函數(shù)關(guān)系等方面歸納出至少 15種結(jié)論：BCD=A，ACD=B，ADC=BDC=ACB.AC2+BC2=AB2，AD2+CD2=AC2，BD2+CD2=BC2. AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·DB.（射影定理）AC·BC=AB·CD ，.ABCACDCBD.SinA = cosB, tgA = ctgB, sin2A +

20、cos2A = 1, tgA·ctgA = 1.又如淄博市2000年中考試題：四邊形ABCD中，如果 ，那么對(duì)角線AC和BD互相垂直。這類題具有很強(qiáng)的嚴(yán)密性和發(fā)散性，通過(guò)訓(xùn)練把學(xué)生的思維引到一個(gè)廣闊的空間，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣度和深度。這類題的題設(shè)與結(jié)論不匹配，需要周密思考，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去發(fā)揮、探索、推斷，從而得到多個(gè)結(jié)果。此類題往往稱為“開(kāi)放型”試題。開(kāi)放型問(wèn)題設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種形式，一種教學(xué)觀，又是一種創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的意識(shí)和做法，具有很好的導(dǎo)向性，是今后出題的一種趨勢(shì)。2.3 創(chuàng)新多變，探索思維的求異性求異思維是指在同一問(wèn)題中，敢于質(zhì)疑，產(chǎn)生各種不同于一般的思維形式，它是一種創(chuàng)

21、造性的思維活動(dòng)。在教學(xué)中要誘發(fā)學(xué)生借助于求異思維，從不同的方位探索問(wèn)題的多種思路。學(xué)起于思，思源于疑，疑則誘發(fā)創(chuàng)新。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)求異的情境，鼓勵(lì)學(xué)生多思、多問(wèn)、多變，訓(xùn)練學(xué)生勇于質(zhì)疑，在探索和求異中有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。本人教授“§2.7平行線的性質(zhì)”一節(jié)時(shí)深有感觸，一道例題最初是這樣設(shè)計(jì)的：例.如圖已知a / b , c / d , 1 = 115， 求2與3的度數(shù) ， 從計(jì)算你能得到1與2是什么關(guān)系？學(xué)生很快得出答案，并得到1=2。我正要向下講解，這時(shí)一位同學(xué)舉手發(fā)言：“老師，不用知道1=115°也能得出1=2?！蔽耶?dāng)時(shí)非常高興，因?yàn)樗卮鹆宋艺v而未講的問(wèn)題，我讓他講述了推

22、理的過(guò)程，同學(xué)們報(bào)以熱烈的掌聲。我又借題發(fā)揮，隨之改為：已知：a/b , c/d 求證： 1=2讓學(xué)生寫(xiě)出證明，并回答各自不同的證法。變化如下：變式1：已知a/b , 1=2 , 求證：c/d。變式2：已知c/d ，1=2 , 求證：a/b。變式3：已知a/b, 問(wèn)1=2嗎？（展開(kāi)討論）這樣，通過(guò)一題多證和一題多變，拓展了思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。對(duì)初學(xué)幾何者來(lái)說(shuō)，有利于培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)幾何的濃厚興趣和創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力是能力培養(yǎng)的核心，而逆向思維、發(fā)散思維和求異思維是創(chuàng)新學(xué)習(xí)所必備的思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生逐步樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí)，獨(dú)立思考，這應(yīng)成為我們以后教與學(xué)的著力點(diǎn)。

23、 3.數(shù)學(xué)中的猜想美 沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)。如何在數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)，是擺在每位數(shù)學(xué)教育工作者面前的重大課題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重演繹推理，教師進(jìn)行“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的講解，學(xué)生進(jìn)行“程序輸入”式的解題訓(xùn)練，教材也毫不吝嗇地砍去了活生生的知識(shí)發(fā)生過(guò)程，這些極大地妨礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，尤其妨礙學(xué)生可持續(xù)發(fā)展?jié)摿Φ耐诰?。反思傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者提倡教猜想、學(xué)猜想，通過(guò)猜想能力、猜想意識(shí)和猜想習(xí)慣的培養(yǎng)，使創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)落到實(shí)處。猜想思維無(wú)疑是創(chuàng)造性思維，而猜想意識(shí)和猜想習(xí)慣是學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的重要品質(zhì)。本文擬對(duì)猜想粗抒已見(jiàn)，以求教于大方。3.

24、1 猜想：數(shù)學(xué)思辨活動(dòng)的關(guān)鍵一步猜想是對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識(shí)作出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法。人們認(rèn)識(shí)事物是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，往往需要經(jīng)歷若干階段才逐漸從現(xiàn)象認(rèn)識(shí)到事物的本質(zhì)。開(kāi)始只能根據(jù)已有的部分事實(shí)及結(jié)果，運(yùn)用某種判斷推理的思維方法，對(duì)某類事實(shí)和規(guī)律提出一種推測(cè)性的看法。這種推測(cè)性的看法就是猜想。因此，數(shù)學(xué)猜想就是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系所作出的一種似真推斷?，F(xiàn)代認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是主體主動(dòng)的意義建構(gòu)活動(dòng)，是主體在頭腦里建立和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)活動(dòng)及其經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的過(guò)程。因此，猜想是在建

25、構(gòu)活動(dòng)中，主體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)當(dāng)前面臨的新知識(shí)、新問(wèn)題進(jìn)行的預(yù)測(cè)性的重組、整合的過(guò)程，它使外部知識(shí)與內(nèi)部創(chuàng)造的不平衡達(dá)到暫時(shí)的平衡。鑒于此，筆者進(jìn)一步認(rèn)為：猜想是對(duì)抽象化的、形式化的數(shù)學(xué)材料進(jìn)行思辨的建構(gòu)活動(dòng)。思辨中缺少了猜想（有些猜想人們無(wú)法意識(shí)到，或者說(shuō)達(dá)到了自動(dòng)化），數(shù)學(xué)材料就不能形成主體的心理意義，從而造成意義建構(gòu)失敗。所以，猜想是構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)，主體思辨活動(dòng)的關(guān)鍵一步。從另一側(cè)面，猜想能促進(jìn)知識(shí)的同化和順應(yīng)的進(jìn)行，加速知識(shí)的發(fā)生和遷移。同時(shí)，猜想既有一定的科學(xué)性，又有一定的假定性，這一層面上又反映出猜想思維的敏捷性、靈活性以及批判性。值得指出的是，數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)演繹并不是對(duì)立的。

26、在數(shù)學(xué)演繹中蘊(yùn)含著猜想，而猜想又應(yīng)以演繹為前提和后行的。猜想是一種合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成，是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。它既是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，也是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的一種重要手段。3.2 猜想：生動(dòng)活潑，妙想天開(kāi)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。數(shù)學(xué)猜想不但促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，而且也促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法論的研究。我們知道，一個(gè)學(xué)科只有大量的問(wèn)題提出，才能使它永葆青春。正因?yàn)闅v史上有諸如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬猜想等猜想的提出，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展為今天壯觀的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)地思維就意味著猜想的產(chǎn)生，如證實(shí)后，你會(huì)直覺(jué)性猜想到和。猜想的誕生就預(yù)示著數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，如非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。倘若要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)聯(lián)系起來(lái)的話，那

27、么就必須給學(xué)生提供一些解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓他們對(duì)一些適合自己水平的數(shù)學(xué)事實(shí)先進(jìn)行猜想，然后再補(bǔ)行證明。以下例子，一方面以小見(jiàn)大，闡明猜想是充滿生機(jī)的心智活動(dòng).3.3 圓的面積公式分析：課本中是用定理的形式把“直塞”給學(xué)生。同時(shí)用內(nèi)接正多邊形面積“逼近”的思想權(quán)作直觀解釋。這種解釋能讓學(xué)生動(dòng)手嗎？既然已用了“逼近”思想，依據(jù)化生為熟的原則，何不引導(dǎo)學(xué)生猜想化圓為“方”呢？（如下圖） 是一個(gè)近似平行四邊形。能拼成近似三角形嗎？近似梯形呢？（對(duì)再細(xì)分）這些近似圖形的面積是多少？（注意，圓的周長(zhǎng)公式已知）從直觀圖形的演變，推導(dǎo)面積公式，讓學(xué)生感受到猜想的妙趣，又學(xué)會(huì)了一種化歸思想。（在推導(dǎo)球的體積公式時(shí)

28、，近似小錐體也是這樣的“兔子”）2. m×n(行×列)的矩形棋盤(pán)街的走法數(shù)（棋盤(pán)街規(guī)定只能向右或向下走）分析：經(jīng)歷“試驗(yàn)分析猜想驗(yàn)證”的思維過(guò)程。如下所示試驗(yàn)性猜想 數(shù)字特征發(fā)現(xiàn)楊輝三角（聯(lián)想） 構(gòu)造性猜想（旋轉(zhuǎn)、拓展、驗(yàn)證） 已知如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，BCAC，BCAB，求證：ABC等腰三角形分析：此題的難點(diǎn)是確定 ABC的底邊，這必須靠猜想。猜想：BC為底邊，理由是BC同時(shí)與AC和AB垂直；猜想：若加上條件ACAB，則 ABC為正三角形；猜想：有ACAB時(shí)，此三棱柱可“旋轉(zhuǎn)”，理由是直三棱柱，且AB、BC、CA具有垂直的輪換性，直覺(jué)此三棱柱沿上、下底面的（假

29、設(shè)的）中心連線旋轉(zhuǎn)120°時(shí)“垂直”重合。通過(guò)猜想肯定，從而肯定。由分析可知，猜想為難點(diǎn)找到了突破口，而且得到猜想以及證明的途徑。只有自由的思想才會(huì)這樣輕松猜想。激活學(xué)生思維的火花時(shí)，讓學(xué)生猜想吧！給學(xué)生“說(shuō)”和“做”的機(jī)會(huì)。另外，我們清醒地注意到數(shù)學(xué)高考對(duì)猜想能力的考查日趨加深，如1998年數(shù)學(xué)高考試題（理）25題、1999年的（理）23題等，而且內(nèi)容上已跳出了數(shù)列范圍，考查的形式也是多樣的。這從另一側(cè)面反映出猜想能力的重要性，以及培養(yǎng)的必要性。 3.3 猜想：分類和實(shí)現(xiàn)途徑上海師大胡炯濤先生把猜想分為如下五種基本形式：探索性猜想；歸納性猜想；類比性猜想；試驗(yàn)性猜想;構(gòu)造性猜想。浙

30、江師大任樟輝先生把猜想分為如下五種形式：類比性猜想；歸納性猜想；探索性猜想；仿造性猜想；審美性猜想。從猜想的命名可知，他們的分類依據(jù)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想的途徑和方法。由于實(shí)現(xiàn)猜想的途徑和方法具有多樣性和不定性，這就造成了以上分類的局限性和狹隘性。另外，猜想作為人類賴于生存的思維方法，它的分類就應(yīng)反映猜想的思維特性。基于以上考慮，筆者把猜想分為如下兩類：(1)線性猜想：即直線性猜想，是指猜想的結(jié)論或解題途徑唯一，是依靠形象材料（如式的特征、圖形的性質(zhì)）的意識(shí)得到對(duì)材料的猜想，思維清晰。單向性是其明顯的特征。這種猜想往往具有直接感悟的成分。如例的直覺(jué)構(gòu)造性猜想，例的類比、歸納性猜想。(2)非線性猜想：即

31、猜想是點(diǎn)狀發(fā)散的，點(diǎn)是猜想的依據(jù)，發(fā)散是多端的，聯(lián)想異常豐富。當(dāng)然并非所有的端點(diǎn)都是可行的、合理的，它需要主體的合理選擇，因而充滿試驗(yàn)性、探索性，具有演繹的痕跡。上述例子表面上看來(lái)都是線性猜想，其實(shí)不然，如例中也可猜想為近似三角形、梯形等，只是限于篇幅，筆者有心割愛(ài)。事實(shí)上，猜想的發(fā)生過(guò)程是開(kāi)放的，當(dāng)主體的知識(shí)越豐富，分析越全面，猜想就越是多端的（即非線性猜想），突出地表現(xiàn)在一題多解之中。進(jìn)一步，當(dāng)主體的數(shù)學(xué)知識(shí)組塊、數(shù)學(xué)形象直感、塊狀思維達(dá)到一定水平時(shí)，猜想就能以高度省略、簡(jiǎn)約、濃縮的方式洞察到問(wèn)題實(shí)質(zhì)，此時(shí)的猜想就很難轉(zhuǎn)換成“慢鏡頭”。從另一側(cè)面看，線性猜想具有盲目性、無(wú)選擇性，而非線性猜

32、想即是具有較成熟的、選擇性強(qiáng)的猜想。非線性猜想要求的知識(shí)面無(wú)疑較廣。一般學(xué)生的猜想都是較極端的線性猜想，因而我們應(yīng)致力于培養(yǎng)學(xué)生的非線性猜想，提高其分析能力，提高猜想的合理性、有效性。至于猜想的實(shí)現(xiàn)途徑，以上分析中已提到，它們可能是探索試驗(yàn)、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為支柱。實(shí)施猜想前，請(qǐng)記住“在證明一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之前,你先得猜想這個(gè)問(wèn)題的內(nèi)容；在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得猜想證明的思路”。3.4 猜想：走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂筆者在此談?wù)摬孪?，并不是要取消“邏輯證明、演繹推理”，而是針對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂中“重

33、形式淡過(guò)程、重知識(shí)淡能力、重證明淡猜想”的教學(xué)弊端，竭力要讓猜想占有適當(dāng)?shù)奈恢?，使猜想走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂。那么，我們?cè)撟鳇c(diǎn)什么呢？(1).建立一支會(huì)猜想的科研型教師隊(duì)伍。很難想象，一位既不懂猜想也不會(huì)猜想的教師能培養(yǎng)出具有高水平猜想能力的學(xué)生。教猜想必須懂猜想、會(huì)猜想?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，我們的數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備較高的猜想能力，懂得現(xiàn)代教育心理理論，大膽地猜想和教猜想，同時(shí)密切關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展?fàn)顩r，摸索猜想規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，并在理論上加以探索、論證。(2).探索培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，但真正能做到展示知識(shí)的生動(dòng)發(fā)生過(guò)程的，惟有讓學(xué)生參與猜想。要真正體現(xiàn)學(xué)生的主體性，就

34、必須使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程，教學(xué)中必須滲透“猜想證明”的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的科學(xué)思維。數(shù)學(xué)教師必須發(fā)揮自己的聰明才智，總結(jié)當(dāng)前好的教學(xué)模式，探索出符合培養(yǎng)猜想能力的教學(xué)模式。如張思明先生探索的“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式，就體現(xiàn)出猜想的勃勃生機(jī)。(3).加強(qiáng)方法論意義上的以猜想為內(nèi)核的學(xué)法指導(dǎo)。拉卡托斯指出：樸素的猜想構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯實(shí)際出發(fā)點(diǎn)。從某種意義上可以斷言，沒(méi)有猜想和證明就沒(méi)有數(shù)學(xué)。因此，應(yīng)教會(huì)學(xué)生怎樣猜想，如引導(dǎo)他們?cè)鯓诱喜牧?、提出疑?wèn)，又如何猜想結(jié)果或問(wèn)題解決的途徑；介紹各種實(shí)現(xiàn)猜想的途徑、步驟、規(guī)律、方法；共同研究猜想途徑的合理性和有效性等。(4).營(yíng)造寬松

35、的、良好的猜想氛圍。教師不必去限制學(xué)生思維的疆域，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，不迷信已有結(jié)論，不滿足現(xiàn)成解答，大膽猜想，不斷開(kāi)拓。教師應(yīng)隨時(shí)點(diǎn)燃學(xué)生猜想的導(dǎo)火線，甚至教師本身直接成為學(xué)生猜想的導(dǎo)火線。猜想合理的進(jìn)行鼓勵(lì)，猜想偏向的進(jìn)行引導(dǎo)，不猜想的進(jìn)行鞭策，讓猜想“訪問(wèn)”每一位學(xué)生，使學(xué)生的被動(dòng)的猜想行為轉(zhuǎn)變成自覺(jué)的猜想行為，師生共同構(gòu)建數(shù)學(xué)猜想共同體。請(qǐng)?jiān)试S筆者再一次呼吁：讓我們教猜想、學(xué)猜想吧！4.培養(yǎng) 提高數(shù)學(xué)能力 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,若注重對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行變式訓(xùn)練,不但可以抓好雙基,而且還可以提高數(shù)學(xué)能力. 下面是一道課本總復(fù)習(xí)參考題的變式教學(xué)設(shè)計(jì). 4.1 條件一般化,提高應(yīng)變能力將課本習(xí)題條件一般化

36、,是設(shè)計(jì)變式題首先考慮的一種方法.變題1 在曲線上求一點(diǎn)M,使此點(diǎn)到的距離最短,并求最短距離.解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則若,則當(dāng)時(shí),這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0);若,則當(dāng)時(shí),這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.4.2 改變背景,提高創(chuàng)新能力在教學(xué)過(guò)程中,善于引導(dǎo)學(xué)生變換習(xí)題的形式,可激發(fā)學(xué)生的探求欲望,提高創(chuàng)新能力.變題2 拋物線與動(dòng)圓沒(méi)有公共點(diǎn),求的取值范圍.解 拋物線與圓沒(méi)有公共點(diǎn),方程組無(wú)解,在內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根.令則或.由(1)得,由(2)得.的取值范圍為.變題3 已知拋物線,圓心在軸上的動(dòng)圓在拋物線的內(nèi)部相切于拋物線的頂點(diǎn).求動(dòng)圓半徑的取值范圍.解 動(dòng)圓的圓心在軸上,且在拋物線的內(nèi)部相切于拋物線的頂點(diǎn)(2,0),設(shè)

37、動(dòng)圓的方程為由得要使(*)式有且只有一根,只需即動(dòng)圓半徑的取值范圍為4.3 聯(lián)系實(shí)際,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)變題4 一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分,它的函數(shù)解析式是,在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球,要使球觸及酒杯底部,求玻璃球的半徑的取值范圍解 由拋物線的對(duì)稱性可知,圓的圓心在上,又因?yàn)榍蛴|及酒杯底部,所以圓與拋物線相切于頂點(diǎn),設(shè)圓的方程為由得要使(*)式有且只有一根,只需，即玻璃球的半徑的取值范圍4.4 變換條件結(jié)論,提高探索能力將常規(guī)題改為探索題，是設(shè)計(jì)變式題的又一途徑。變題5 是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線：(1)準(zhǔn)線是；(2)頂點(diǎn)在軸上；(3)點(diǎn)到此拋物線上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為。若存在，有幾條？并求出方

38、程；若不存在，說(shuō)明理由。解 假設(shè)存在這樣的拋物線。，拋物線的開(kāi)口向左。設(shè)拋物線方程是準(zhǔn)線方程為，拋物線方程是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則若，則當(dāng)時(shí)，拋物線方程是。若，則當(dāng)時(shí)，拋物線方程是。滿足條件的拋物線存在三條，分別是。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，搞好習(xí)題教學(xué)，特別是搞好課本習(xí)題的變式教學(xué)，不僅能加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，更重要的是在開(kāi)發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)和提高學(xué)生能力等方面，能發(fā)揮其獨(dú)特的功效。5.數(shù)學(xué)教學(xué)要作眼于學(xué)生能力的培養(yǎng)5.1 做學(xué)問(wèn)，還是學(xué)答我國(guó)古代有“讀書(shū)破萬(wàn)卷，下筆如有神”的名句，強(qiáng)調(diào)多讀多練，現(xiàn)在上課時(shí)老師會(huì)問(wèn)學(xué)生“聽(tīng)懂了嗎”、“作業(yè)做完沒(méi)有”，放假回家時(shí)家長(zhǎng)會(huì)問(wèn)“考了多少分”，而從不過(guò)問(wèn)學(xué)生“提了幾個(gè)問(wèn)題”。社會(huì)上也有這樣一種傾向，衡量學(xué)校辦學(xué)是否成功，主要看你的及格率、升學(xué)率，高考名牌、重點(diǎn)上線的人數(shù)，而不在于是否培養(yǎng)了高素質(zhì)的|、具有創(chuàng)新能力的人才。我曾做過(guò)