高考數(shù)學(理科)等差數(shù)列和等比數(shù)列講解學習

1、高考數(shù)學(理科)等差數(shù)列和等比數(shù)列1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力綜合能力考情解讀主干知識梳理1an與與Sn的關系的關系Sna1a2an，an2.等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列定定義義anan-1常數(shù)常數(shù)(n2) 常數(shù)常數(shù)(n2)通通項項公公式式ana1(n1)d ana1qn1(q0)判判

2、定定方方法法(1)(1)定義法定義法(2)中項公式法：中項公式法：2an1 an an2(n1)an為等差為等差數(shù)列數(shù)列(3)通項公式法：通項公式法：anp n q ( p 、 q 為 常為 常數(shù)數(shù))an為等差數(shù)列為等差數(shù)列(4)前前n項和公式法：項和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù)為常數(shù))an為等差為等差數(shù)列數(shù)列(1)定義法定義法( 2 ) 中 項 公 式 法 ：中 項 公 式 法 ：anan2(n1)(an0)an為為等比數(shù)列等比數(shù)列(3)通項公式法：通項公式法：ancqn(c、q均是不均是不為為0的常數(shù)，的常數(shù)，nN*)an為等比數(shù)為等比數(shù)列列判判定定方方法法(2)(5)an為等比數(shù)

3、列，為等比數(shù)列，an0logaan為等為等差數(shù)列差數(shù)列(4)an為等差數(shù)列為等差數(shù)列為等比數(shù)列為等比數(shù)列(a0且且a1)性性質(zhì)質(zhì)( 1 ) 若若 m 、 n 、 p 、qN*，且，且mnpq，則，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列( 1 ) 若若 m 、 n 、 p 、qN*，且，且mnpq，則，則amanapaq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每等比數(shù)列依次每n項和項和(Sn0)仍成等仍成等比數(shù)列比數(shù)列naa前前n項項和和(2)q1，Snna1 熱點一 等差數(shù)列 熱點二 等比數(shù)列 熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應

4、用熱點 分類突破例1(1)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，若，若a2a4a612，則，則S7的值是的值是()A.21 B.24 C.28 D.7熱點一 等差數(shù)列思維啟迪 利用利用a1a72a4建立建立S7和已知條件的聯(lián)系；和已知條件的聯(lián)系；解析由題意可知，由題意可知，a2a62a4，則則3a412，a44，C(2)設等差數(shù)列設等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，若，若1a31,0a63，則則S9的取值范圍是的取值范圍是_思維啟迪將將a3，a6的范圍整體代入的范圍整體代入解析S99a136d3(a12d)6(a15d)又又1a31,0a63，33(a12d)3,06(a15d

5、)18，故故3S921.(3,21)(1)等差數(shù)列問題的基本思想是求解等差數(shù)列問題的基本思想是求解a1和和d，可利，可利用方程思想；用方程思想；(2)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)若若m，n，p，qN*，且，且mnpq，則，則amanapaq；Sm，S2mSm,S3mS2m，仍成等差數(shù)列；，仍成等差數(shù)列；思維升華aman(mn)dd (m，nN*)； (A2n1，B2n1分別為分別為an，bn的前的前2n1項的和項的和)(3)等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和的問題可以利用函數(shù)的性質(zhì)項和的問題可以利用函數(shù)的性質(zhì)或者轉化為等差數(shù)列的項，利用性質(zhì)解決或者轉化為等差數(shù)列的項，利用性質(zhì)解決思維升華變式訓練1(1

6、)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a7a916，S11 ，則，則a12的值是的值是()A15 B30C31 D64解析因為因為a8是是a7，a9的等差中項，的等差中項，所以所以2a8a7a916a88，再由等差數(shù)列前再由等差數(shù)列前n項和的計算公式可得項和的計算公式可得所以所以a12a84d15，故選，故選A.答案A(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a50且且a6|a5|，Sn是是數(shù)列的前數(shù)列的前n項的和，則下列說法正確的是項的和，則下列說法正確的是()AS1，S2，S3均小于均小于0，S4，S5，S6均大于均大于0BS1，S2，S5均小于均小于0，S6，S7，均大于均大于0CS1，S2

7、，S9均小于均小于0，S10，S11均大于均大于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13均大于均大于0解析由題意可知由題意可知a6a50，答案C例2(1)(2014安徽安徽)數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構成公比為構成公比為q的等比數(shù)列，則的等比數(shù)列，則q_.熱點二 等比數(shù)列思維啟迪 列 方 程列 方 程求 出求 出 d ，代 入代 入 q 即即可；可；解析設等差數(shù)列的公差為設等差數(shù)列的公差為d,則則a3a12d,a5a14d,(a12d3)2(a11)(a14d5),解得解得d1，1思維啟迪 求出求出a1，q，代入化簡代入化簡答案D(1)an為等比

8、數(shù)列，其性質(zhì)如下：為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：若若m、n、r、sN*，且，且mnrs，則，則amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列成等比數(shù)列(q1)思維升華(2)等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和公式項和公式Sn能能“知三求二知三求二”；注意討論公比注意討論公比q是否為是否為1；a10.思維升華變式訓練2 (1)已知各項不為已知各項不為0的等差數(shù)列的等差數(shù)列an滿足滿足a42a3a80，數(shù)列數(shù)列bn是等比數(shù)列，且是等比數(shù)列，且b7a7，則，則b2b8b11等于等于()A1 B2 C4 D8D(2)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，a1an34，a2an164，且前且前n項

9、和項和Sn62，則項數(shù)，則項數(shù)n等于等于()A4 B5 C6 D7解析設等比數(shù)列設等比數(shù)列an的公比為的公比為q，由由a2an1a1an64，又又a1an34，解得，解得a12，an32或或a132，an2.又又ana1qn1，所以，所以22n12n32，解得，解得n5.綜上，項數(shù)綜上，項數(shù)n等于等于5，故選，故選B.答案B例3已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的公差為的公差為1，且，且a2a7a126.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式an與前與前n項和項和Sn；熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用思維啟迪 利用方程思想求出利用方程思想求出a1，代入公式求出，代入公式求出an和和Sn；解由

10、由a2a7a126得得a72，a14，(2)將數(shù)列將數(shù)列an的前的前4項抽去其中一項后，剩下三項項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前的前3項，記項，記bn的前的前n項和為項和為Tn，若存在，若存在mN*，使對任意，使對任意nN*，總有，總有SnTm恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍的取值范圍思維啟迪 將恒成立問題通過分離法轉化為最值將恒成立問題通過分離法轉化為最值解由題意知由題意知b14，b22，b31，設等比數(shù)列設等比數(shù)列bn的公比為的公比為q，Tm為遞增數(shù)列，得為遞增數(shù)列，得4Tm8.故故(Sn)maxS4S510，若存在若存在mN*，使對任意

11、，使對任意nN*總有總有SnTm，則則106.即實數(shù)即實數(shù)的取值范圍為的取值范圍為(6，)等差等差(比比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基基本量法本量法”求解，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使求解，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便運算簡便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題，求解時用等差等的交匯問題，求解時用等差(比比)數(shù)列的相關知數(shù)列的相關知識，將問題轉化為相應的函數(shù)、方程、不等式識，將問題轉化為相應的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可

12、等問題求解即可思維升華變式訓練3已知數(shù)列已知數(shù)列an前前n項和為項和為Sn，首項為，首項為a1，且，且 ，an，Sn成等差數(shù)列成等差數(shù)列(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；證明bn(log2a2n1)(log2a2n3)log222n12log222n32(2n1)(2n1)，1.在等差在等差(比比)數(shù)列中，數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個量中知道其五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般是轉化為首項是轉化為首項a1和公差和公差d(公比公比q)這兩個基本量的有關運算這兩個基本量的有關運算2.等差、等比數(shù)列

13、的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有識地去應用但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當變形時需要進行適當變形本講規(guī)律總結3等差、等比數(shù)列的單調(diào)性等差、等比數(shù)列的單調(diào)性(1)等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列的單調(diào)性d0an為遞增數(shù)列，為遞增數(shù)列，Sn有最小值有最小值d0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，則，則a2 0130，則，則a2 0140，則，則a2 0130 D.若

14、若a40，則，則a2 0140解析因為因為a3a1q2，a2 013a1q2 012，而，而q2與與q2 012均均為正數(shù)，為正數(shù)，若若a30，則，則a10，所以，所以a2 0130，故選，故選C.C押題精練2.已知數(shù)列已知數(shù)列an是首項為是首項為a，公差為，公差為1的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，bn .若對任意的若對任意的nN*，都有，都有bnb8成立，則成立，則實數(shù)實數(shù)a的取值范圍為的取值范圍為_.解析ana(n1)1na1，押題精練因為對任意的因為對任意的nN*，都有，都有bnb8成立，成立，答案(8，7)押題精練3.設各項均為正數(shù)的數(shù)列設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，滿足，滿足4Sn4n1，nN*，且，且a2，a5，a14恰好是等恰好是等比數(shù)列比數(shù)列bn的前三項的前三項.(1)求數(shù)列求數(shù)列an，bn的通項公式；的通項公式；押題精練an0，an1an2.當當n2時，時，an是公差是公差d2的等差數(shù)列的等差數(shù)列.a2，a5，a14構成等比數(shù)列，構成等比數(shù)列，a2a1312，an是首項是首項a11，公差，公差d2的等差數(shù)列的等差數(shù)列.押題精練等差數(shù)列等差數(shù)