高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt教學(xué)文稿

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.1（函數(shù)單調(diào)性的判定法）（函數(shù)單調(diào)性的判定法）設(shè)設(shè)y=f(x)在在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則（1)如果在如果在(a,b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)在在a,b上單上單調(diào)增加；調(diào)增加；（2)如果在如果在(a,b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 由函數(shù)圖像可知函數(shù)在由函數(shù)

2、圖像可知函數(shù)在(- ,+ )上是單調(diào)遞增的上是單調(diào)遞增的當(dāng)當(dāng)x=0時，時， y =0 當(dāng)當(dāng)f(x)在某區(qū)間內(nèi)僅在個別點處的導(dǎo)數(shù)為在某區(qū)間內(nèi)僅在個別點處的導(dǎo)數(shù)為0或不存在，或不存在，而在其余各點處導(dǎo)數(shù)均為正（或負）時，而在其余各點處導(dǎo)數(shù)均為正（或負）時，f(x)在該區(qū)在該區(qū)間仍是單增（或單減）的。間仍是單增（或單減）的。 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例2 討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)=ex-x-1的單調(diào)性的單調(diào)性.函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為(- ,+ )；當(dāng)當(dāng)x0時，時， y 0 ,函數(shù)在函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加當(dāng)當(dāng)x0時，時， y

3、0時，時， y 0 ,函數(shù)在函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加當(dāng)當(dāng)x0時，時， y 0時，時，ex1+x f (x)= ex-1所以所以 x 0,+ ),有有f(x)f(0)=0，即，即ex-1-x0 令令f(x)=ex-1-x ，則，則f(x)在在0,+ )上連續(xù)、可導(dǎo)上連續(xù)、可導(dǎo),且且當(dāng)當(dāng)x0時，時， y 0 ,函數(shù)在函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加所以所以當(dāng)當(dāng)x0時，時， ex1+x 利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 又因為：又因為： f(0)=0，所以：當(dāng)所以：當(dāng)x0時，時， y 0 ,函數(shù)在

4、函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加上單調(diào)增加所以所以 x 0,+ ),有有f(x)f(0)，即不等式成立，即不等式成立.例例7 證明：證明：).0(1)1ln(122 xxxxx22( )1ln(1)1f xxxxx令令則則2( )ln(1)fxxx 0 )0( x證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) oxyy= (x)Mm12ab設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = (x)在在(a b)內(nèi)圖形如下圖內(nèi)圖形如下圖: 在在 1處的函數(shù)值處的函數(shù)值f( 1) 比它附近各點的函數(shù)值都要小比它附近各點的函數(shù)值都要小;而在而在 2處的函數(shù)值處的函數(shù)值f( 2)比它附近各點的函數(shù)值都要大比

5、它附近各點的函數(shù)值都要大;但它們又不是整個定義區(qū)間上的最小、最大值但它們又不是整個定義區(qū)間上的最小、最大值,為此為此,我我們引入極值與極值點的概念們引入極值與極值點的概念. 二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x0的某領(lǐng)域的某領(lǐng)域N(x0, )內(nèi)有內(nèi)有定義，定義， ，都有，都有（1）f(x)f(x0)成立，則稱成立，則稱f(x0)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的極小值極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值極值，使函數(shù)取，使函數(shù)取得極值的點稱為得極值的點稱為極值點

6、極值點0(, )xN x 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) xyoab1x2x3x4x5x)(xfy f(x)的極小值點的極小值點:f(x)的極大值點的極大值點:1x2x3x4x5x第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.2（極值的必要條件）（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處處可導(dǎo)，且在點可導(dǎo)，且在點 x0處取得極值，那么函數(shù)處取得極值，那么函數(shù) f(x)在點在點x0處的處的導(dǎo)數(shù)為零，即導(dǎo)數(shù)為零，即 f (x0) =0極值的必要條件極值的必要條件第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函

7、數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是它的駐點、可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是它的駐點.從而有幾何意義從而有幾何意義: 可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點處的切線是可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點處的切線是與與 x 軸平行的軸平行的 (羅爾定理羅爾定理) .2、對可導(dǎo)函數(shù)來說、對可導(dǎo)函數(shù)來說, 駐點不一定是極值點駐點不一定是極值點.即曲線上有水平切線的地方即曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定有極值函數(shù)不一定有極值. 如如3( ),f xx ox3yx y(0)0f 2( )3fxx , ,則則x =0 為為 f (x) = x3 的駐點的駐點.如圖：如圖：x =0 不是不是f (x) = x3 的極值點的極值點.說明

8、：說明：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 3、對于函數(shù)、對于函數(shù)y = |x| , 我們已知我們已知 x = 0 是函數(shù)的連續(xù)不是函數(shù)的連續(xù)不可導(dǎo)點可導(dǎo)點. 但但x = 0是函數(shù)的極小值點是函數(shù)的極小值點. 如圖如圖.oxy=|x|實際上實際上, 連續(xù)不可導(dǎo)點也可能是極值點連續(xù)不可導(dǎo)點也可能是極值點. 因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點處取得極值因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點處取得極值.第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.3（極值的第一充分條件）（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0某個空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)

9、（某個空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（ f (x0)可以不存在），可以不存在），x為該為該鄰域內(nèi)任意一點，鄰域內(nèi)任意一點，（1）當(dāng)）當(dāng)x0 ，當(dāng)，當(dāng)xx0時時f (x)0 ，則，則f(x0)為為函數(shù)函數(shù)f(x)的極大值；的極大值；（2）當(dāng)）當(dāng)xx0時時 f (x)x0時時f (x)0 ，則，則f(x0)為為函數(shù)函數(shù)f(x)的極小值；的極小值；（3）當(dāng)）當(dāng)xx0時時f (x)的符號相同，則的符號相同，則f(x0)不是函不是函數(shù)數(shù)f(x)的極值的極值極值的充分條件極值的充分條件第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)xyoxyo0

10、 x0 x (不是極值點情形不是極值點情形)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.4（極值的第二充分條件）（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處二階可導(dǎo)，且處二階可導(dǎo)，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，則則（1）當(dāng)）當(dāng)f (x0) 0時，函時，函 f(x)在點在點x0 處取得極小值處取得極小值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （1）確定函數(shù)）確定函數(shù)f(x)的考察范圍，（除指定范圍外，考的考察范圍，（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；察范圍一般是指函數(shù)定義域）；（2）求出函

11、數(shù)）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x)；求出函數(shù)求出函數(shù) f(x)的所有的所有駐點及不可導(dǎo)點，即求出駐點及不可導(dǎo)點，即求出f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的不存在的點；點； （3）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判定上述駐點或不可導(dǎo)點是否為函數(shù)的極值點，并求出定上述駐點或不可導(dǎo)點是否為函數(shù)的極值點，并求出相應(yīng)的極值相應(yīng)的極值 求極值的方法：求極值的方法：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例8 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值23( )(2)(1)f xxx（3）列表）列表（1）函數(shù)的定義域為）函數(shù)

12、的定義域為(- ,+ )；x( )fx ( )f x(- ,-2) 0(-2,-4/5) -4/5(1,+ )+極大值極大值 0-0+所以所以f(x)在在x=0處取得極大值為處取得極大值為0，在，在x=-4/5 處取得極小處取得極小值為值為-8.4（2） ,無不可導(dǎo)點無不可導(dǎo)點2( )(2)(1) (54)fxxxx 令令f (x)=0 ，得，得12342,15xxx 0極小值極小值 -8.4(-4/5，1)+10無極值無極值解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例9 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值32( )26187f xxxx令令f (x)=0 ，得，得（

13、1）函數(shù)的定義域為）函數(shù)的定義域為(- ,+ )； 所以所以f(x)在在x=-1處取得極大值為處取得極大值為17，在，在x=3 處取得處取得極小值為極小值為-47（2） ,無不可導(dǎo)點無不可導(dǎo)點( )6(3)(1)fxxx 121,3xx （3）22( )6(1)(51)fxxx 因為因為( 1)240f (3)240f 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義，上有定義，x1,x2 I ， （1）若）若 x I ，都有，都有f(x) f(x1) 成立，則稱成立，則稱f(x1)為函數(shù)為函數(shù) f(x)的

14、的最大值最大值， x1為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的最大值點最大值點；（2）若）若 x I ，都有，都有f(x) f(x2)成立，則稱成立，則稱f(x2)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的最小值最小值，x2為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的最小值點最小值點 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值最值，使函，使函數(shù)取得最值的點稱為數(shù)取得最值的點稱為最值點最值點三、函數(shù)的最值三、函數(shù)的最值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) oxyoxybaoxyabab第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 1. 最值是一個整體概念，在某一范圍內(nèi)

15、，最值若存在，最值是一個整體概念，在某一范圍內(nèi)，最值若存在，只能是唯一的；只能是唯一的；2. 最值點可以是最值點可以是 I 內(nèi)部的點，也可以是端點；內(nèi)部的點，也可以是端點；3. 如果最值點不是如果最值點不是I 的端點，那么它必定是極值點；極的端點，那么它必定是極值點；極值點不一定是最值點值點不一定是最值點4. 當(dāng)函數(shù)存在當(dāng)函數(shù)存在唯一唯一的極值點時，函數(shù)的極大（?。┲档臉O值點時，函數(shù)的極大（?。┲稻褪呛瘮?shù)的最大（小）值就是函數(shù)的最大（?。┲? .說明：說明：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （2）求出函數(shù)）求出函數(shù) f (x)在內(nèi)的所有可能極值點：駐點及不在

16、內(nèi)的所有可能極值點：駐點及不可導(dǎo)點，即求出可導(dǎo)點，即求出 f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的點；不存在的點； （3）計算函數(shù)）計算函數(shù)f (x)在駐點、不可導(dǎo)點處及端點在駐點、不可導(dǎo)點處及端點a，b處處的函數(shù)值；的函數(shù)值； （4）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最大值，最小者的即為函數(shù)的最小值大值，最小者的即為函數(shù)的最小值 （1）確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)的考察范圍（除指定范圍外，考察范的考察范圍（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；圍一般是指函數(shù)定義域）；求最值的方法（一）：求最值的方法（一）：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

17、用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例10 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0,4 上的最值上的最值.32231225yxxx （3）計算得）計算得f(-1)=32,f(2)=5,又又f(0)=25,f(4)=57（1）考察區(qū)間為）考察區(qū)間為0,4 ； 所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間 0,4上的最大值是上的最大值是f(4)=57 ,最小值最小值是是 f(2)=5 （2） ,無不可導(dǎo)點無不可導(dǎo)點2( )6612fxxx 令令f (x)=0 ，得，得121,2xx 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （1）當(dāng)）當(dāng)f (x0) 是極大值時，是極大值時， f (x0)

18、 就是區(qū)間就是區(qū)間I上的最大值上的最大值； （2）當(dāng)）當(dāng)f (x0) 是極小值時，是極小值時， f (x0) 就是區(qū)間就是區(qū)間I上的最小值上的最小值. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點x0，又又x0是是f(x)的極值點，則的極值點，則xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy 求最值的方法（二）：求最值的方法（二）：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) x R,有有2( )4(21)(1)fxxxx 令令 f (x)=0有唯一駐點有唯一駐點1,2x 假設(shè)假設(shè)441( )(1)8

19、f xxx 例例11 證明：證明： x R,有有441(1)8xx 22( )1212(1) ,fxxx 1( )60,2f 又又1( )02f 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在在x=1/2 處取得極小值，即最小值處取得極小值，即最小值441(1)8xx 因而因而 x R,有有f(x)0即即證明證明第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 在在實際問題實際問題中中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x) 必存在最大值必存在最大值(或最小值或最小值),而且一定在定義區(qū)而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到間內(nèi)部取到.這時這時,如果如果f(x)在

20、定義區(qū)間在定義區(qū)間內(nèi)部內(nèi)部只有只有唯一唯一駐駐點點x0,那么那么,可以斷定可以斷定f(x0)就是最大值就是最大值(或最小值或最小值). (不必討不必討論論f(x0)是否為極值是否為極值).求最值的方法（三）：求最值的方法（三）：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例例12 要做一個容積為要做一個容積為V的有蓋圓柱形水桶，問半的有蓋圓柱形水桶，問半徑徑r與桶高與桶高h如何確定，可使所用材料最省？如何確定，可使所用材料最省？假設(shè)水桶表面積為假設(shè)水桶表面積為S，則，則容積容積要使所用材料最省，就要使水桶表面積最小要使所用材料最省，就要使水桶表面積最小222 (0)S

21、rr hr 2Vr h 2Vhr 222VSrr 224VSrr 解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 令令S (r)=0,得唯一的駐點得唯一的駐點302Vr 此時此時h=2r0 ，所以當(dāng)半徑，所以當(dāng)半徑r為為 ，桶高，桶高h為為 時，可使所用材料最省時，可使所用材料最省322V 32V 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) (1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實際問題確定函數(shù)的定義域；根據(jù)實際問題確定函數(shù)的定義域；(3) 求出駐點；若定義域為開區(qū)間且駐點只有一個，則求出駐點；若定義域為開

22、區(qū)間且駐點只有一個，則該駐點所對應(yīng)函數(shù)值就是所求該駐點所對應(yīng)函數(shù)值就是所求. 如果駐點有多個，且函數(shù)既存在最大值也存在最小如果駐點有多個，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，則需比較這幾個駐點處的函數(shù)值，其中最大值即值，則需比較這幾個駐點處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.實際問題求最值實際問題求最值第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個更深入的概念曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個更深入的概念. .例如：例如：2.yxyx , ,yxo2xy21xy 四、曲線的凹凸性四

23、、曲線的凹凸性第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) xy)2(21xxf)(2xf)(1xf1x221xx 2xoxy)(1xf)(2xf1x221xx )2(21xxf2xo曲線曲線(1)(1)上任意兩點上任意兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2)之間的弦上的點之間的弦上的點位于曲線相應(yīng)點的下面，即位于曲線相應(yīng)點的下面，即曲線在弦之上曲線在弦之上；曲線；曲線(2)則則相反，相反，曲線在弦之下曲線在弦之下.幾何解釋幾何解釋第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.3 設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù) 如果

24、對如果對(a,b)內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點x1 x2 恒有恒有 那么稱那么稱f(x)在在a,b上的圖形是上的圖形是凹凹的（記為的（記為“ ”）；如）；如果恒有果恒有那么稱那么稱f(x)在在a,b上的圖形是上的圖形是凸凸的（記為的（記為“ ”）；）；1212()()()22xxf xf xf 1212()()()22xxf xf xf 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) (1)(1)觀察切線與曲線的位置關(guān)系觀察切線與曲線的位置關(guān)系. .xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA(1) 凹凹曲線位于其任一點切線的上方；凸曲線位于其任一點切線的上方；凸曲線曲線

25、位于其任一點切線的下方位于其任一點切線的下方(2)(2)觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系. .(2) 凹凹切線斜率單調(diào)遞增切線斜率單調(diào)遞增；凸；凸切線斜率單調(diào)遞切線斜率單調(diào)遞減減觀察與思考觀察與思考第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.4 曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點如果如果(x0, f(x0)是拐點且是拐點且f (x0)存在存在, 問問f (x0)=？如何找可能的拐點？如何找可能的拐點？如何確定曲線如何確定曲線y f(x)的拐點？的拐點？oxyy= (x)aABbcC討

26、論討論第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) (1)在拐點在拐點(x0, f(x0)處處f (x0)=0或或f (x0)不存在不存在. (2)只有只有f (x0)等于零或不存在等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點才可能是拐點.(3) 如果在如果在x0的左右兩側(cè)的左右兩側(cè)f (x)異號異號, 則則(x0, f(x0)是拐點是拐點. (2)拐點是曲線上的點拐點是曲線上的點, 從而拐點的坐標需用從而拐點的坐標需用橫坐標與橫坐標與縱坐標同時表示縱坐標同時表示, 不能僅用橫坐標表示不能僅用橫坐標表示. 這與駐點及極這與駐點及極值點的表示方法不一樣值點的表示方法

27、不一樣.(1)拐點一定是拐點一定是f (x)=0或不存在的點，但是或不存在的點，但是f (x)=0或或不存在的點不一定都是拐點不存在的點不一定都是拐點.結(jié)論結(jié)論注意注意第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理3.2.5 設(shè)設(shè)f(x)在在a b上連續(xù)上連續(xù) 在在(a b)內(nèi)具有二內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). 若在若在(a b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 則則f(x)在在a b上的圖形是凹的上的圖形是凹的 若在若在(a b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 則則f(x)在在a b上的圖形是凸的上的圖形是凸的 曲線凹凸性判定定理曲線凹凸性判定定理第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié)

28、函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 若曲線若曲線y=f(x)在點在點x0連續(xù)，連續(xù)， f (x0)=0或不存在，或不存在， f (x)在在x0兩側(cè)異號，則點兩側(cè)異號，則點(x0, f(x0)是曲線的一個拐點是曲線的一個拐點(1)確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域；(2)在定義域內(nèi)求在定義域內(nèi)求 f (x)=0的點和的點和f (x)不存在的點；不存在的點；(3)用上述點劃分定義域，并用上述點劃分定義域，并列表列表判別函數(shù)的凹凸性判別函數(shù)的凹凸性拐點的判定：拐點的判定：求曲線凹向區(qū)間和拐點的步驟：求曲線凹向區(qū)間和拐點的步驟：第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) f (x) 沒有為

29、沒有為0的點，但是的點，但是x=4時，時， f (x)不存在，不存在，253312(4),(4)39yxyx 例例13 討論曲線討論曲線 的凹向區(qū)間與拐的凹向區(qū)間與拐點點132(4)yx xf (x)f (x)(- ,4)4(4 ,+ )+-不存在不存在 拐點拐點(4,2)（1）函數(shù)的定義域為）函數(shù)的定義域為(- ,+ )；解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 定義定義3.2.5 若曲線若曲線L上的動點上的動點P沿著曲線無限地遠沿著曲線無限地遠離原點時離原點時,點點P與一條定直線與一條定直線C的距離趨于零的距離趨于零,則稱直線則稱直線 C為曲線為曲線L的的漸

30、近線漸近線當(dāng)當(dāng)C垂直于垂直于x軸時軸時,稱稱C為曲線為曲線L的的垂直漸近線垂直漸近線; 當(dāng)當(dāng)C垂直于垂直于y軸時軸時,稱稱C為曲線為曲線L的的水平漸近水平漸近線線五、曲線的漸近線五、曲線的漸近線第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 11 xy例如，對于曲線例如，對于曲線 來說，來說，, 011lim xx所以直線所以直線 y = 0 是曲線是曲線11 xy的水平漸近線的水平漸近線lim( ),xf xb lim( ),xf xb 若若 或或 則稱直線則稱直線 y = b 為曲線為曲線 y = f (x) 的水平漸近線的水平漸近線 .yxO11 xyy = 0（1

31、）水平漸近線）水平漸近線第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以直線所以直線2 2 yy與與都是該曲線的水平漸近線都是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線又如，曲線，2arctanlim xx,2arctanlim xx2 yxO2 y = arctan xarctanyx 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 例如，對于曲線例如，對于曲線y = ln x來說，來說，0lim lnxx ，所以直線所以直線 x = 0 是曲線是曲線y = ln x的垂直漸近線的垂直漸近線0lim( )xxf x 0lim( )xxf x ，若若 ,或

32、或 或或 則稱直線則稱直線 x = x0 為曲線為曲線 y = f (x) 的垂直漸近線的垂直漸近線.0lim( ),xxf x yxOy = ln x（2）垂直漸近線）垂直漸近線第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以直線所以直線x=1是該曲線的水平漸近線是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線又如，曲線11lim,1xx 11yx 1yxO11 xy第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以，所以，y=2為水平漸近線為水平漸近線;1lim(2)21xx 例例14 求曲線求曲線 的漸近線的漸近線.121yx 11lim(2),1xx 所以，所以，x=1為垂直漸近線為垂直漸近線.21解解第三章第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 所以，所以，x=0為垂直漸近線為垂直漸近線; 204(1)lim2xx,x - -例例15 求曲線求曲線 的