高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (2)

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、復(fù)數(shù)1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若0，則在上遞增;若0，則在上遞減. 注意：為正（負(fù)）是函數(shù)遞增（減）充分不必要條件。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)且不是常函數(shù)，上述結(jié)論可以改進(jìn)為：f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增0在（a,b）上恒成立；f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞減0在（a,b）上恒成立舉例1已知函數(shù)若在是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍。解析：0在上恒成立在上恒成立而在上的最小值為16，故。舉例2已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f/(x)在R上也可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)f/(x)/0，則y=f(x)的圖象可能是下圖中的 （ C ）OxyOxyA B C DOxy

2、Oxy解析：由f/(x)/0知f/(x)在R上遞減，即函數(shù)y=f(x)的圖象上從左到右各點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率遞減，不難看出圖象滿(mǎn)足這一要求。舉例3 f(x)是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf/(x)+f(x)0,對(duì)任意正數(shù)a、b,若ab，則必有 （ ） （07陜西理11）A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)解析：xf/(x)+f(x)0xf(x)/ 0函數(shù)F(x)= xf(x) 在（0，+）上為常函數(shù)或遞減，又0g/(x),若ab，則 （ ）Af(a)g(b) Bg(a)f(b)Cf(a) -f(b) g(a)- g(b

3、)2“極值點(diǎn)”不是“點(diǎn)”，而是方程的根。是函數(shù)極值點(diǎn)則；但是，未必是極值點(diǎn)（還要求函數(shù)在左右兩側(cè)的單調(diào)性相反）；若 （或）恒成立，則函數(shù)無(wú)極值。舉例1 已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根所以；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由，得（）在題設(shè)下，等價(jià)于即化簡(jiǎn)得此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線(xiàn)：所圍成的的內(nèi)部，由“線(xiàn)性規(guī)劃”的知識(shí)容易求得：的取值范圍為舉例2 已知函數(shù)在處有極值10,則 解析： ，= 由得：或當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值，舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處左減右增，有極小值；此時(shí)18 。注

4、：在解決“已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參變量”的問(wèn)題時(shí)，為避免“增根”，需將求出的參變量的值代入檢驗(yàn)其是否為完全平方式，若是則函數(shù)無(wú)極值（單調(diào)），否則有極值；也可以對(duì)再次求導(dǎo)，看的值，為0則無(wú)極值，為正則有極小值，為負(fù)則有極大值。鞏固1已知在區(qū)間0,1上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又()求的解析式; ()若在區(qū)間(m0)上恒有x成立,求m的取值范圍.舉例2設(shè)函數(shù)，其中證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值（07高考山東文21）3.求在閉區(qū)間內(nèi)的最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)（2）求導(dǎo)數(shù)方程=0的根（3）檢查在根的左右值的符號(hào)，列表求得極值；也可通過(guò)解不等式0及0確定函數(shù)在給定區(qū)間

5、內(nèi)的單調(diào)情況，再確定函數(shù)的極值；最后將極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較以確定最值。舉例1 設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（）求a、b的值；（）若對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍解析：（），由，解得，（）在0，3上恒成立即，由（）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在0，1上遞增，1，2上遞減，2，3上遞增；當(dāng)時(shí)，取得極大值，又故當(dāng)時(shí)，的最大值為于是有：，解得或，因此的取值范圍為。舉例2 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線(xiàn)，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)相同用表示，并求的最大值；解析：設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，在的最大值為

6、鞏固1 設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間的最大值和最小值鞏固2 已知函數(shù)，其圖象為曲線(xiàn)C（1） 直線(xiàn)l:y=x+1與曲線(xiàn)C相切于x軸上一點(diǎn)，求的a、b的值（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b，使f(x)在-1、2上取得最大值為3，最小值為-29。若存在，求出a、b的值，并指出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。4復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)是虛部為0的復(fù)數(shù)；-1的“平方根”為，= -1，=1，；復(fù)數(shù)運(yùn)算遵循有理式的運(yùn)算法則；復(fù)數(shù)的商一般將分母“實(shí)數(shù)化”（分子分母同乘分母的共扼復(fù)數(shù)）；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小；兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部相等，虛部也相等；復(fù)數(shù)（R，R）在復(fù)平面內(nèi)唯一對(duì)應(yīng)點(diǎn)（，）。舉例1 設(shè)是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則（ ）ABCD解析：=R，則1舉例2 已知，且（是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程 的兩個(gè)根，那么的值分別是（）A 解析：分別將代入方程得： 對(duì)整理得：；解得：。本題也可以用“韋達(dá)定理”求解： ， 對(duì)整理得：。鞏固1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限鞏固2 設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）ABCD 答案1、鞏固1，鞏固2