教材背景函數(shù)是中學數(shù)學教材體系的重點組成總分

1、探究式教學案例 2.4反函數(shù) 洞頭縣第二中學陳展（325701）【案例背景】：研究性學習是教材改革的一個重大舉措，是新教材教學的一大亮點，目的在于培養(yǎng)學生尋找問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，走出純知識純邏輯的傳統(tǒng)數(shù)學學習方法，進入合作學習、動手實踐、感受數(shù)學、應用數(shù)學的領域中去，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。于是，能將這一教學思想滲透到日常教學中去的探究式教學模式在各校之間轟轟烈烈的展開，日前，本縣三所高中聯(lián)合舉辦了主題為“探究、創(chuàng)新”的高中數(shù)學教學交流會，本堂課正是探究式教學模式的一次嘗試。【教材背景】：函數(shù)是中學數(shù)學教材體系的重點組成總分，也是高考的重點考察內容，反函數(shù)是在函數(shù)的概念、

2、性質的基礎上的深化，最近幾年全國高考和各地的會考，都出現(xiàn)了單獨考察反函數(shù)的題型，往往以小題出現(xiàn)，難度不大，涉及到反函數(shù)的解析式、定義域、值域、函數(shù)值、圖象和性質等?！局R目標】：深入理解原函數(shù)與其反函數(shù)的定義域與值域的關系；掌握函數(shù)yf（x）、f（x1）、f 1(x)與f 1(x)之間的定義域、值域、圖像間的關系。 【能力目標】：進一步培養(yǎng)學生對數(shù)學的理解、辨別、判斷能力及探究、發(fā)現(xiàn)提出問題、分析解決問題的能力。【情感目標】：體驗挫折和成功，感受數(shù)學思維魅力，培養(yǎng)積極思考、敢于質疑、勇于探索的創(chuàng)新精神。【思想方法】：類比法、換元法、圖像法、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、化歸思想【教學設計】：

3、一、創(chuàng)設懸念，引發(fā)求知探索欲望T：我近幾天睡不好飯不香，知道是什么原因嗎（一頓）？是解反函數(shù)題中遇到的幾個棘手的問題。S：我們可以解嗎？T：當然，是我們現(xiàn)在剛剛學的知識的范疇，請同學們幫忙一起解決學生大都露出微笑專注的神情，由設懸念吸引注意力，激發(fā)探索求知欲望二、反思例題，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力例：已知f (x)2x3（x1），求f (3)，f (x1)，f 1(x)，f 1(x1)。2分鐘后，學生紛紛舉手，由4個學生口答思路T：這些是近幾節(jié)課的基礎知識，我們都已經深知，掌握的不錯，這當然不是我的困惑，我的困惑是在我做這幾道題時產生的，知道我的困惑在哪嗎？S：不知道。學生的回答過于隨意，可能與平時

4、課堂氣氛過于寬松有關吧T：既然我的困惑產生于解題過程，那么大家也應從剛才的解題過程去找啊，重溫剛才的解題過程，看有什么想法沒？找出一些問題來，自己嘗試去解答。引導學生由看似簡單的題目中去發(fā)現(xiàn)問題，養(yǎng)成一個思考探索的學習習慣，一陣沉默之后，學生紛紛舉手S：f (3)是什么意思啊？（許多學生笑了）f (x1)與f 1(x1)是否互為反函數(shù)？f (x1)是函數(shù)還是函數(shù)值？f (x)與f (x1)究竟有何關系？f (x)與f (x1)的值域相同不？T：好極了，這些也正是我的困惑，同學們真是歷害的緊，居然能知我所想！學生因感到能猜對老師的心事而都覺得很興奮。其實學生的思考很豐富的，有些想法甚至是離題太遠

5、，由于課堂需要，不敢放得太開， 匆匆打斷了學生的進一步的思考，自己進行了問題分類。T：對剛才同學們的問題進行了整理，主要分為五個方面（分為五塊進行板書）1、f (3)的意義、（3，f (3)）的代數(shù)意義與幾何意義；2、yf (x)與yf (x1)的關系；3、yf (x)與yf 1(x)的關系；4、yf 1(x)與yf 1(x1)的關系；5、yf (x1)與yf 1(x1)的關系。三、展開討論，培養(yǎng)分析解答能力T：f (3)的意義、（3，f (3)）意義是什么呢？學生舉手踴躍S：f (3)的意義為yf (x)當x3時的函數(shù)值，（3，f (3)）的代數(shù)意義表示方程y2x3的解，幾何意義為函數(shù)y2x

6、3圖象上的點；T：很好，對函數(shù)值的概念意義理解很到位。那yf (x)與yf (x1)有什么關系呢？學生反應較為迷惑，一時不知從何答起T：函數(shù)之間的關系，應從函數(shù)的根本上去討論，用什么去刻劃函數(shù)的？S：三要素：定義域、值域和對應法則，T：既然如此，那么這個問題可以從哪幾個方面去回答？S：我明白了，分三方面去分析：這二個函數(shù)的定義域有什么關系？對應法則有什么關系？值域又有什么關系？T：為了更直觀反應函數(shù)性質，還可以從哪方面去考察？S：圖象通過點撥，引導學生繼續(xù)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并能分解問題，從而達到簡化問題的目的。前面匆匆的結束對發(fā)現(xiàn)問題的探索，在此給予彌補。T：現(xiàn)在要回答的問題已經非常明確了，

7、yf (x)與yf (x1)的定義域之間有什么關系？S：不一樣，yf (x)的定義域與yf (x1)中的(x1)的范圍是一樣的，即由yf (x)的定義域可以求出yf (x1)的定義域，反過來也成立。T：答得很好。能舉例嗎？S：f (x)x1，f (x)x2等T：好象不很明顯，能否舉出解析式本身自帶條件限制的函數(shù)呢？S：f (x)，f (x)T：很好，請以f (x)為例，詳細說明。S：f (x)，則f (x1)，則第一個函數(shù)定義域為x0；第二個函數(shù)定義域由x10求得。師生配合剛好，教師需要的例子由學生積極想出。可見平時配合還是不錯的。T：答得真好。那yf (x)與yf (x1)的對應法則之間有什

8、么關系？迷惑著，一會兒后分成二泒，認為不一樣的居多S：一樣：因為同樣的f啊S：反駁 不一樣，明顯的2x3與2x1是二種不同的對應S：再反駁 要是不一樣，f (x1)的表達式從何而來？不正是一樣，才可以代入的嗎？二方都陷入了沉思，承認對方有理，可是自己的道理亦很充分T：雙方都答得很有道理，雙方不妨都順著對方的思路想想，能不能找出對方的漏洞或者弱點。S：（恍然）對了，剛才求f (x1)時確實是用x1代入f (x)，其實這時是把x1設為t，則f (x)與f (t)分別對x和t來說，對應法則當然一樣，可是現(xiàn)在是yf (x1)是對自變量x來說的，對應法則當然不一樣！T：答得好極了，既然對x來說，對應法則

9、不一樣，那么yf (x1)可以改寫為？S：yf (x1)g (x)真理真是愈辨愈明，在教師的循循善誘下，學生思維很是活躍，思考很深入，回答很精彩T：趁熱打鐵那么yf (x)與yf (x1)的值域又有什么關系呢？S：定義域、對應法則都不一樣，那么值域也不一樣。S：不，不能因為這二者都不一樣，就認定值域也不一樣，如f (x)與f (x)x2。S：我知道了，由剛才的解答，馬上可以解答這個問題：設x1t，則f (x)與f (t)的定義域一樣，對應法則也一樣，那么值域當然也一樣！T：太好了！為了加深對這二者關系的理解，我們換種方式進行，直觀些的？S：圖象T：OK！畫出yf (x)2x3（x1）與yf (

10、x1)2x1（x0）的圖象，有什么體會？S：值域一樣，都是y1，圖象是平行的S：圖象間可以進行平移，上下平移二個單位或者左右平移一個單位。S：不能上下平移，要是直線是可以的，現(xiàn)在是二條射線，上下平移時有一部分會丟失的。T：答得好，仔細觀察圖象，確實可以發(fā)現(xiàn)只能進行左右平移，由向平移單位得到學生充分回答后，引導回顧初中二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律，舉例f (x)x2與f (x)2 x，可見yf (x)與yf (x)的圖象可以通過平移得到，左平移一個單位，平移規(guī)律與初中相仿S：左上為正，右下為負T：引伸：yf (x)可以通過怎樣的平移變?yōu)閥f (xh)呢？S：h0時左移h個單位，h0時右移h個單位高潮迭

11、起，一波又一波，學生在思考過程中充分感受著數(shù)學魅力，體驗著提問、析問、解問的手段、方法及成就感四、休閑時光，低強度訓練放松心情練習1：若函數(shù)yf (x) 的圖像經過點（1，3），則函數(shù)yf (x2) 的圖像一定經過點（，）； T：問題三：yf (x)與yf 1(x)有何關系？S：yf (x)的定義域和值域正好是yf 1(x)的值域和定義域，對應法則恰好是互逆關系S：它們的圖象關于直線yx對稱，且在各自的定義域范圍內具有相同的單調性。T：如何畫yf 1(x)的圖象？S：描點法或者由yf (x)對稱而得。T：二個函數(shù)互為反函數(shù)的條件是？S：同上：定義域與值域剛好是反著的即一個函數(shù)的定義域是另一個函

12、數(shù)的值域，同時這個函數(shù)的值域是另一個函數(shù)的定義域。T：這是這二個函數(shù)互為反函數(shù)的條件？S：必要條件！還要補上對應法則就成充要條件了。T：那么利用這個結論，可以判斷二個函數(shù)是否互為反函數(shù)。練習、函數(shù)y= （1x0）的反函數(shù)為（）、y= （1x0）、y= （1x0）、y= （0x1）、y= （0x1）在輕松的氣氛下，解決了第三問和鞏固練習五、高潮再起，培養(yǎng)數(shù)學建模意識T：由前面的分析，再來分析yf 1(x)與yf 1(x1)的關系這個問題是對前面的分析作一次回顧，檢查學生的理解程度和效果，看學生能否正確建立模型并應用，并且能加深對對應法則f 1的理解。S：同yf (x)與yf (x1)之間的關系一

13、樣，yf 1(x)的定義域與yf 1(x1)中的x1的范圍一樣；對應法則不一樣，而值域卻也是一樣的。看到有部分學生仍是一臉迷茫的樣子，教師繼續(xù)提問T：怎樣理解與yf (x)與yf (x1)之間的關系一樣中的“一樣”這個詞？S：f 也好，f 1也好，都只表示一種對應，只需把f 1改寫成g即可，于是yf 1(x)與yf 1(x1)就變成了yg (x)與yg (x1)間的關系，當然與yf (x)與yf (x1)之間的關系一樣的啦。T：精彩！答得實在很好！那部分感到迷惑的學生亦露出會心的笑容，可見剛才的解答的精彩。T：那yf (x1)與yf 1(x1)究竟是不是互為反函數(shù)呢？本來在此的設計是先分析yf

14、 1(x)與yf 1(x1)的圖象的，由于學生回答沒有答到這點上去，就順水推舟，把下一個問題先給出，把學生的思維再次推向一個高潮。學生的反應又是非常的激烈，在是與不是的選擇中，迷茫、懊惱、興奮浮現(xiàn)在眾多的學生的臉上。S：一樣的，x1一樣，而且f與f 1正是具有反函數(shù)關系的基本表示。S：不一樣，總覺得對x而言是不一樣的T：能不能直觀去判斷一下呢？學生紛紛動手畫圖象yf (x1)與yf 1(x1)之間的圖象，發(fā)現(xiàn)并沒有關于直線yx對稱。T：你是如何作yf 1(x1)的圖象的？S：yf 1(x1)的圖象可以由yf 1(x)的圖象向左平移一個單位而得。T：很好！那么yf (x1)與yf 1(x1)之間

15、如果不是互為反函數(shù)，那么它們的圖象有沒有什么關系呢？大家繼續(xù)認真觀察圖象，終于S：這二者之間有對稱關系，也關于一條直線對稱。S：對，關于直線yx1對稱。S：不，是關于直線yx1對稱。對稱軸過點（0，1），而且從平移的角度來看，yf (x1)與yf 1(x1)的圖象是分別由yf (x)與yf 1(x)的圖象左移一個單位得到，既如此，那么yf (x1)與yf 1(x1)的圖象間的對稱關系不變，而對稱軸也向左平移了一個單位即yx向左平移了一個單位，變成了直線yx1。T：答得太好了。確實如此！事實上，剛才有的同學回答是反函數(shù)，是因為S：仍是把x1看作一個新變量t，則對t來說，確實他們是互為反函數(shù)，則y

16、f (t)與yf 1(t)之間的圖象關于直線yx對稱。T：而現(xiàn)在的函數(shù)的自變量當然S：是x，對x而言，當然不具有反函數(shù)關系。教師問，學生齊答，一時之間，課堂氣氛極好，高潮再次涌起，學生的思維再次得到充分的激發(fā)T：那么yf (xh)與yf 1 (xh)的圖象又是什么關系呢？課外請思考。六、完美結局，培養(yǎng)總結歸納能力T：看大家這么高興，收獲一定不小吧？有誰愿意來給本課作一個小結？S：yf (x) 與yf (xh)定義域（都是對自變量x而言）不一定一樣，但在f下的范圍是一樣的，即x與txh的范圍一樣；S：yf (x)可以通過平移變?yōu)閥f (xh)呢？當h0時左移h個單位；當h0時右移h個單位；S：二

17、個函數(shù)互為反函數(shù)的必要條件是：一個函數(shù)的定義域是另一個函數(shù)的值域，同時這個函數(shù)的值域是另一個函數(shù)的定義域；S：yf (x1)與yf 1(x1)不是互為反函數(shù)，但它們的圖象也對稱，關于直線yx1對稱。七、留有余地，繼續(xù)展開思維的翅膀T：本堂課我們通過一個很簡單的題目，深入挖掘，發(fā)現(xiàn)了很多的問題，并通過我們的積極思考，同學間的配合，成功的解決了我們自己遇到的問題，這正是數(shù)學學習的魅力所在，希望大家在今后的學習過程中多多思考，尋找并提出問題，分析并解決問題。作業(yè)：已知f (x) x21（x1），求yf 1(x)，看自己能給自己提出并解決多少個問題，明天比比誰的思考最有深度。【教學反思】：通過本堂的備

18、課和教學，對探究式模式有了進一步的理解。新一輪國家基礎教育課程改革的一個重要而具體的目標，就是要改變至今仍普遍存在的以“知識本位、老師本位”，學生被動接受、大運動量反復操練的學習方式，倡導學生主動參與的探究式學習。這就要求在教學過程中，辯證地處理學生自主與教師指導的關系，不僅強調學生要傾聽教師，更要強調教師要傾聽學生，珍視探究中學生的個人觀念、獨特感受和體驗，并引導學生積極反思。探究式教學就是教師如何把新課標對大綱對教材的再創(chuàng)造的思維過程，轉化為學生的再發(fā)現(xiàn)過程?！爸灰獢?shù)學的學習過程稍能反應數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程，那么就應當讓猜想、合情推理占有重要地位?！北咎谜n的亮點在于：1、對教材有所挖掘，或許其中的有些知識點是部分教師沒深思過的； 2、課堂的設計體現(xiàn)了師生平等的原則，把課堂交給學生，以學生為主體，教師為主導。點撥很到位，具有一定的藝術性。3、在學生再發(fā)現(xiàn)的過程下了很大的努力，使得整堂課探究氣氛濃厚：問題的提出上，由懸念引入，以看似簡單的課堂練習為載體，引導學生反思解題過程，從而去尋找、發(fā)現(xiàn)、提出問題；問題的分析上，采取了概念問題追根溯源分解、同類問題比較分析等思維方式；問題的解決上，采取分解、類比聯(lián)想、觀察、辯論、自省等方法；4、教學設計過程中根據(jù)注意力分配規(guī)律，對梯度把握的很好，使得整堂課節(jié)奏緊湊，高潮迭起。本堂課的不足在于：1、引課方面還可以進行更好處理，使得與本課題更