孫霆18世紀(jì)的數(shù)學(xué)

1、18世紀(jì)數(shù)學(xué)和微積分的進(jìn)一步探索微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”。在18世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展。這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起，刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)史上，18世紀(jì)可以說是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代化數(shù)學(xué)過渡的重要時(shí)期。 在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來的數(shù)學(xué)析，以歐洲大陸為中心。物理學(xué)的主流是力學(xué)，天文學(xué)的主流是天體力學(xué)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。 從數(shù)學(xué)家的角度而言，18世紀(jì)被稱為“英雄時(shí)代”，各路豪杰盡顯威名。在此我們來介紹1

2、8世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們。 在數(shù)學(xué)和科學(xué)的歷史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家 族，從十七世紀(jì)未葉以來，它產(chǎn)生過不少有本領(lǐng)的數(shù)學(xué)家和科學(xué) 家。這個(gè)家族的記錄開始于雅科布·伯努利和約翰·伯努利兄弟，這兩個(gè)人放棄了 早年的本行，成了數(shù)學(xué)家，他們屬于最早認(rèn)識(shí)到微積分的驚人力量并把此 工具應(yīng)用于各種各樣問題的一批數(shù)學(xué)家。雅科布從1687年到去世 一直擔(dān)任瑞士巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)講座教授。約翰在1697年成為荷 蘭格羅尼根大學(xué)的教授.1705年雅科布死后，約翰繼承了巴塞爾大學(xué)的講座教授，并在這里度過了自己的余生。這兄弟二人，在 學(xué)術(shù)上常是勁敵；他們與萊布尼茨和他們兄弟之間都經(jīng)常交換思 想。1.雅

3、科布·貝努利（Jacob Bernoulli）1654-1705他于1671年和1676年在巴塞爾大學(xué)取得藝術(shù)碩士和神學(xué)碩士，當(dāng)他讀了笛卡爾、沃利斯的著作后，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了強(qiáng)烈的興趣，毅然違背了其父要他現(xiàn)身神學(xué)的意愿。轉(zhuǎn)而投身數(shù)學(xué)，成為17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨之后最先發(fā)展微積分的人。對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)：.繼Newton和Leibniz后最早發(fā)展微積分的人 1694年,微分學(xué)方法，論反切線法Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus.創(chuàng)建極坐標(biāo) polar coordinate；. 在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中平面曲線曲率半

4、徑公式的推導(dǎo)：.其他高次平面曲線的研究； .所謂等時(shí)線 Isochrone 的發(fā)現(xiàn):一種曲線，物體沿著它以均勻垂直速度下降.彈簧棒形狀的確定；.滿風(fēng)矩形帆的形狀的確定.提出并討論“等周問題”Isoperimetric problem周長固定且包括最大面積的給定種類平面閉曲線；.變分法的重要奠基者；1696，最速降線 Brachistochrone1697，等周問題 Isoperimetric problem.數(shù)學(xué)概率的早期研究者之一猜測(cè)術(shù)1713, Art Conjectandi 概率論的數(shù)學(xué)基11). 以Jacob Bernoulli命名的數(shù)學(xué)成果：.概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的貝努利分布和貝努利定理Ber

5、noulli概型.微分方程中的貝努利方程.使用微積分求一階常微分方程分析解的先驅(qū)之一 .數(shù)論中很有影響的貝努利數(shù)出自猜度術(shù)1713, Art Conjectandi Bernoulli Number的應(yīng)用：正則素?cái)?shù)與非正則素?cái)?shù)；費(fèi)馬大定理的證明；大數(shù)定理Jacob Bernoulli首次提出.數(shù)論中著名的貝努利多項(xiàng)式Bernoulli polynomial.微積分中著名的貝努利雙紐線Bernoulli lemniscate.引入術(shù)語“積分”Integral等時(shí)線的研究即擺線 Isochrone:求一條曲線，使得一個(gè)擺沿著它們作一次完全的振動(dòng)時(shí)都取得相等的時(shí)間，不管擺線所經(jīng)歷的弧長的大小.2.約

6、翰·伯努利Johann Bernoulli1667-1748約翰·伯努利比起他哥哥雅科布來，是一位在數(shù)學(xué)上更為多產(chǎn)的貢獻(xiàn)者。雖然他是一個(gè)愛妒忌的、脾氣不好的人，但是他是他那個(gè)時(shí)代最成功的教師之一。他大大地豐富了微積分學(xué)并且是使這門學(xué)科的作用在歐洲大陸得到正確評(píng)價(jià)的最有影響的人。在1694年獲得醫(yī)學(xué)博士，其論文是關(guān)于肌肉收縮的問題，但不久便迷上了微積分學(xué)，并很快掌握了它，數(shù)學(xué)工作涉及解析幾何、微分方程、變分法，1700年左右發(fā)展了積分法，18世紀(jì)初分析學(xué)的重要奠基者之一，他也是歐拉的老師。(1).約翰·貝努利首先使用“變量”variate這個(gè)詞，并且使函數(shù)概念公式化

7、. 1698年，函數(shù)定義：由變量x和常數(shù)所構(gòu)成的式子中做x的函數(shù)，記作X或或(x). 引進(jìn)了超越函數(shù) Transcendental function (2).對(duì)積分法的發(fā)展 1699年，用變量替換來求某些函數(shù)的積分將有理函數(shù)化為部分分式的積分方法(3) .1742年,積分學(xué)教程微積分研究成果的總結(jié)，使微積分更系統(tǒng)化(4).求0/0型不定式的洛比達(dá)法則 LHospital(5).著作廣泛光學(xué)，曲線的正交軌跡，曲線長，區(qū)域面積，解析三角學(xué)，指數(shù)演算等.(6).“最速降線”奠定了變分法的基礎(chǔ).(7).擺線cycloid也是等時(shí)曲線isochrone的解鐘擺的制作. (8).微分方程的開拓者Diffe

8、rential equation (9) .懸鏈線 catenary3.丹尼爾貝努利著名的伯努利家族中的最杰出的一位，是約翰·伯努利第2個(gè)兒子， 16歲，獲得自由藝術(shù)碩士；21歲，獲得醫(yī)學(xué)博士，論文題目“呼吸的作用”八年的圣彼得堡科學(xué)院生涯(1725-1733)生命學(xué)院士和數(shù)學(xué)院士，歐拉的同事。巴塞爾大學(xué)教授(1733-1777)解剖學(xué)、植物學(xué)、生理學(xué)、物理學(xué)、哲學(xué)教授。 主要成就：1).將微積分、微分方程理論應(yīng)用到物理學(xué)上，研究流體問題、物體振動(dòng)問題和擺動(dòng)問題，是數(shù)學(xué)物理方法的奠基人.(2).利用級(jí)數(shù)求得代數(shù)方程數(shù)值解的近似值；(3).提出了循環(huán)級(jí)數(shù)recurring series

9、；(4).正弦和余弦級(jí)數(shù)(5).里卡蒂方程的解：(6).概率論中有影響著作關(guān)于度量的分類(7).開創(chuàng)了新學(xué)科流體力學(xué)；1738年，流體動(dòng)力學(xué)(8).偏微分方程的先驅(qū)；(9).第一個(gè)把Newton和Leibniz的微積分思想聯(lián)系起來的人.棣莫弗爾和概率論1667-1754在十八世紀(jì)中，費(fèi)馬、帕斯卡和惠更斯在概率論方面的先驅(qū)思想得到相當(dāng)詳盡的闡述；而概率論之所以能快速發(fā)展，其中還有雅科布·伯努利的功勞，他在猜測(cè)術(shù)一書中對(duì)概率論作了進(jìn)一步論述。棣莫弗爾在概率論方面的貢獻(xiàn)更大；他是法國的加爾文派教徒。1685年廢除南特法令后，他遷居到政治氣氛較好的倫敦。他在倫敦以當(dāng)家庭教師為生，并且成為牛頓

10、的親密朋友。棣莫弗爾以其著作人壽保險(xiǎn)引入注目，這在實(shí)用數(shù)學(xué)上占重要位置。他的機(jī)會(huì)論包括概率論方面的許多新材料。他的分析雜論對(duì)循環(huán)小數(shù)、概率論和解析三角都有貢獻(xiàn)。棣莫弗爾被譽(yù)為論述概率積分和正態(tài)頻率曲線的第一人。關(guān)于棣莫弗爾的死有一個(gè)頗具數(shù)學(xué)色彩的神奇?zhèn)髡f：在臨終前若干天，棣莫弗發(fā)現(xiàn)他每天需要比前一天多睡1/4小時(shí)，那么各天睡眠時(shí)間將構(gòu)成一個(gè)算術(shù)數(shù)列，當(dāng)此算術(shù)數(shù)列達(dá)到24小時(shí)時(shí)，棣莫弗就長眠不醒了。泰勒1685-1731泰勒1709年，法學(xué)學(xué)士；1714年，法學(xué)博士.以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世。主要貢獻(xiàn)：.提出 “騎士游歷問題”；.微積分發(fā)展史上的重要著作:正和反的增量法,直

11、線的透視1715年；.微積分學(xué)中的Taylor定理；.有限差分的奠基人正和反的增量法，1715年麥克勞林Colin Maclaurin1698-17461719年，當(dāng)選英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，18世紀(jì)英國最具有影響力的數(shù)學(xué)家之一。他是一位數(shù)學(xué)奇才，他11歲就考上了格拉斯大學(xué)，15歲就取得碩士學(xué)位，并且為自己關(guān)于重力的功的論文作了杰出的的公開的答辯。19歲就主持阿伯丁的馬里沙學(xué)院數(shù)學(xué)系，并于21歲發(fā)表其第一本重要著作構(gòu)造幾何。他27歲成為愛丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授的代理或助理。.麥克勞林展式 Maclaurins expansion formula.幾何學(xué)中高次曲線的研究；.并在克萊姆發(fā)表其克萊姆法則之前就已

12、經(jīng)知道了這一法則, 1748年發(fā)表的論文-解聯(lián)立方程組的方法；.流數(shù)論Treatise of fluxion, 1742年.歐拉Leonhard Euler1707-178318世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身，“數(shù)學(xué)家之英雄”，公認(rèn)為人類歷史上成就最為斐然的數(shù)學(xué)家之一，而且把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域，此外還涉及建筑學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)等領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，他的工作使得數(shù)學(xué)更接近于現(xiàn)在的形態(tài)。Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家生前的論文及著作有560余種；未發(fā)表的論文足夠圣彼得堡科學(xué)院用20年；每年以800頁的速率發(fā)表高質(zhì)量論文；Euler全集將有8

13、4卷，大四開本.1).初等幾何中的歐拉線 Euler line三角形的外心、重心、垂心、九點(diǎn)圓心共線.(2).空間解析幾何的歐拉變換公式.(3).歐拉定理：.凸面體的歐拉定理：對(duì)任何凸面體必有：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，V-E+F=2 .設(shè)直線上四點(diǎn)順次為A,B,C,D，則矩形AC×BD=矩形AB×CD+矩形BC×AD.三角形外心R與內(nèi)心r之間距離d的關(guān)系(4) . 四次方程的Euler解法；5) .數(shù)論中的歐拉函數(shù)以及歐拉定理： (6) .微分方程的Euler方程：(7) .級(jí)數(shù)論的Euler級(jí)數(shù)及Euler級(jí)數(shù)判別法：(8).變分學(xué)Euler方程(9) .Eul

14、er乘積 (10).數(shù)學(xué)分析中的Euler積分：(11) .復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式初等的Euler公式為(12) .關(guān)于Fermat大定理當(dāng)n=3,4時(shí)的證明 (13).“素?cái)?shù)有無窮個(gè)”的Euler證明(14).解析幾何中的Euler角(Eulers Angles)(15).極限中的Euler常數(shù)(16).常微分中的Euler變換17).1732年推翻了費(fèi)馬關(guān)于一切“Fermat數(shù)”都是素?cái)?shù)的猜想，證明了(18).用類比法為Jacobi計(jì)算(20).下列記號(hào)的正規(guī)化，應(yīng)歸功于Euler：f (x)函數(shù) e 自然對(duì)數(shù)的底，Euler把數(shù)列的極限記為e，又用e為底，建立了自然對(duì)數(shù)；a,b,c三角形的

15、三個(gè)邊；s 三角形的半周；r 三角形內(nèi)切圓的半徑；R 三角形外接圓的半徑； 求和符號(hào)； i 虛數(shù)單位.21).數(shù)論方面：.1736年，證明費(fèi)馬小定理. .1783年，提出了著名的二次互反定律22).單復(fù)變函數(shù)中的23).微積分：.導(dǎo)出了函數(shù)恰當(dāng)微分的必要條件：(25).代數(shù)方面： 1742年，第一次提出了所有實(shí)系數(shù)的n次多項(xiàng)式都可以分解為實(shí)一次或?qū)嵍我蚴降亩ɡ?即具有n個(gè)形如a+bi的根.與代數(shù)基本定理等價(jià).代數(shù)學(xué)入門代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)總結(jié)；(26).熟練的教材作者 無窮小分析引論Introduction in analysin infinitorum, 1748 微分學(xué)原理Instiitutio

16、nes calculi differentialis, 1755積分學(xué)原理Instiitutiones calculi integralis, 1768-1770在樣式、范圍、記號(hào)等方面均夠得上是典范(27).興趣十分廣泛 音樂 、天文學(xué)、醫(yī)學(xué)、植物學(xué)、化學(xué)、神學(xué)、東方語言、歷史等等.拉格朗日J(rèn)oseph Louis Lagrange1736.1.25-1813.4.11.分析嚴(yán)密化的第一人;.三本巨著:解析函數(shù)論- 分析嚴(yán)密化,實(shí)變函數(shù)論.論高次數(shù)值方程的解法- 連分?jǐn)?shù)求解.分析力學(xué)- 動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)一般方程.從偏微分方程到變分法; .費(fèi)馬猜想的證明,1772年;每一個(gè)正整數(shù)可被表成不超過四個(gè)

17、平方數(shù)的和.群論中的Lagrange 定理:若為H一個(gè)有限階的群，G是H的一個(gè)子群，則G的階可整除的H階. .數(shù)論中的兩個(gè)重要定理:. Lagrange恒等式：1).第一個(gè)“現(xiàn)代”分析家.A.數(shù)學(xué)分析的開拓者;B.變分法的開創(chuàng)者;C.常微分方程的奇解、特解和通解;D.一階偏微分方程理論的建立者;E.多元函數(shù)相對(duì)極大極小及解微分方程的任意乘子法;F. 群論的先驅(qū); G.天體力學(xué)H.二次型理論I.函數(shù)論J.分析嚴(yán)密化的先驅(qū)K.無窮級(jí)數(shù)關(guān)于任意函數(shù)是否可表為三角函數(shù)的爭(zhēng)論. L.分析力學(xué)的創(chuàng)立者M(jìn).天體力學(xué)的奠基者 Euler, Clairaut, DAlembert, Lagrange, Laplace2). 數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué).最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)的不同方面起了決定性的作用，使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具.(3).十四卷的拉格朗日全集，此書從1867年開始出版第一卷，到1965年才出完第十四卷，目前還計(jì)劃出版第十五卷.(4).拿破侖的評(píng)價(jià)：“Lagrange是數(shù)學(xué)科學(xué)方面的高聳的金字塔.”9.拉普拉斯勢(shì)論的拉普拉斯方程系偏微分方程式，說的是：所