淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用J13207 王鵬程摘要構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造出一些新的滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)形式，并借助它來認(rèn)識與解決原數(shù)學(xué)問題的一種思想方法.構(gòu)造法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)產(chǎn)生時就存在,歷史上有不少數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學(xué)上的很多難題.另外,構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的地位，特別是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地運(yùn)用構(gòu)造法可以更快捷、更簡單的解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，提高解題效率,同時也能夠提高學(xué)生的思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.可見構(gòu)造法對于數(shù)學(xué)理論的研究,發(fā)展和數(shù)學(xué)問題的解決都具有重要的意義，尤其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造法的研究和學(xué)

2、習(xí)顯得非常重要。本文主要分成兩個部分：第一部分主要是對構(gòu)造法的概念、歷史 、特征 、常用到的思想方法和類型、優(yōu)點(diǎn)、注意事項(xiàng)作出簡單的介紹；第二部分是從構(gòu)造向量、函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何模型、復(fù)數(shù)、等價(jià)命題這些在高中數(shù)學(xué)中常見的構(gòu)造出發(fā)，通過舉例分析來探討分析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 解題 構(gòu)造法 應(yīng)用 高中數(shù)學(xué) 淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)思想方法，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位，利用構(gòu)造法可以更快捷、更簡單的解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，在解題中被廣泛運(yùn)用.鑒于此，本文主要對構(gòu)造法作了簡單的介紹，并從構(gòu)造向量、函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何模型、復(fù)數(shù)、等價(jià)命題這些

3、常見的構(gòu)造出發(fā)，通過舉例探討分析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 解題 構(gòu)造法 應(yīng)用 高中數(shù)學(xué) 1 引言 波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘.”解數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手.在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑.構(gòu)造法就是這樣的手段之一，它是一種新穎獨(dú)特、快捷靈活的解題方法.本文將對構(gòu)造法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做簡單探討，通過示例，不斷加深對構(gòu)造法的理解.2 構(gòu)造法概述 2.1 構(gòu)造法構(gòu)造法就是綜合運(yùn)用已有

4、的知識和方法，根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造出一些新的滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)形式，并借助它來認(rèn)識與解決原數(shù)學(xué)問題的一種思想方法.其解題模式如下：對題設(shè)條件或所求結(jié)論進(jìn)行充分細(xì)致的分析，然后通過創(chuàng)造性的思維構(gòu)造出函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列等相應(yīng)的模型，最后進(jìn)行推演，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化得出結(jié)論.2.2 構(gòu)造法的歷史 構(gòu)造法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)產(chǎn)生時就存在，它的研究主要經(jīng)歷了三個階段：直覺數(shù)學(xué)階段、算法數(shù)學(xué)階段、現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學(xué)上的很多難題，如歐幾里得在幾何原本中證明“素?cái)?shù)的個數(shù)是無限的”就是一個典型的范例.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)科學(xué)及現(xiàn)代數(shù)學(xué)

5、將對數(shù)學(xué)的構(gòu)造性提出新的要求，使構(gòu)造性數(shù)學(xué)具有突出的重要地位.如現(xiàn)在的組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都應(yīng)用了構(gòu)造的思想，尤其是圖論，更是應(yīng)用了構(gòu)造的思想，此外，在拓?fù)鋵W(xué)、維數(shù)理論等的研究中，許多數(shù)學(xué)家應(yīng)用構(gòu)造法來發(fā)展他們的理論.12.3 構(gòu)造法的特征構(gòu)造思想方法作為一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，具有其自身獨(dú)特的顯著特征，主要表現(xiàn)在：構(gòu)造性、直觀性、可行性、靈活性以及思維的多樣性. 構(gòu)造性體現(xiàn)在構(gòu)造法是通過構(gòu)造一個輔助問題而使原問題得到轉(zhuǎn)化； 直觀性體現(xiàn)在構(gòu)造法解決問題的步驟比較直觀； 可行性體現(xiàn)在構(gòu)造法不僅能判定某種數(shù)學(xué)對象的存在，而且在有限步驟內(nèi)能具體找到它； 靈活性體現(xiàn)在用構(gòu)造法解題，針對

6、某一具體問題，怎樣去進(jìn)行構(gòu)造，這與學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功和解題經(jīng)驗(yàn)都密切相關(guān)； 思維的多樣性體現(xiàn)在構(gòu)造法不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導(dǎo)出結(jié)論，它屬于非常規(guī)思維，解題常要用到分析、綜合、觀察、比較、聯(lián)想、想象等多種思維形式.2.4 構(gòu)造法中常用到的思想方法 構(gòu)造法中常用到一些數(shù)學(xué)思想方法，例如： 類比構(gòu)造：由于問題中研究對象有著形式上、本質(zhì)上的相同或相似，通過構(gòu)造類似的數(shù)學(xué)形式，運(yùn)用新數(shù)學(xué)形式的豐富內(nèi)涵達(dá)到解決問題的目的； 歸納構(gòu)造：對于與有關(guān)的問題，直接不容易構(gòu)造出，而以具體的特殊的如進(jìn)而推進(jìn)到等； 逆向構(gòu)造：是指按逆向思維方式，向原有數(shù)學(xué)形式的相反方向去探求，通過構(gòu)造(形式上

7、，關(guān)系上或程度上)對立的數(shù)學(xué)形式來解決問題； 聯(lián)想構(gòu)造：聯(lián)想是由一事物想另一事物的思維方式和過程，這種聯(lián)想通常是事物的形式、結(jié)構(gòu)、范圍、關(guān)系等因素作用的結(jié)果.2.5 構(gòu)造法中常用到的類型 下面介紹一些常用的構(gòu)造方法： 構(gòu)造數(shù)學(xué)命題法：如果遇到的數(shù)學(xué)問題直接證明有困難時，可構(gòu)造其等價(jià)命題，并通過證明其等價(jià)命題成立從而使所論命題獲證； 構(gòu)造數(shù)學(xué)關(guān)系法：由題設(shè)條件及所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造一種新的函數(shù)、方程、多項(xiàng)式等具體數(shù)學(xué)關(guān)系，使問題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決的方法稱為構(gòu)造數(shù)學(xué)關(guān)系法； 構(gòu)造幾何圖形法：在解題時若以數(shù)形結(jié)合的思想作指導(dǎo)，對于某些較復(fù)雜的問題，通過構(gòu)造圖形啟發(fā)思維，借助于圖形的直觀

8、來解題往往使解題方法簡捷，幾何證題中的輔助線，代數(shù)方程應(yīng)用題中的示意圖都屬于這一類； 構(gòu)造結(jié)論法：就是按照命題的條件和要求構(gòu)造出符合結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而斷定命題正確性的證題方法。有些數(shù)學(xué)命題是斷言存在著某種具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象，或者是斷言某種數(shù)學(xué)對象具有某種特定的性質(zhì)，對于這類型的數(shù)學(xué)命題，證明的關(guān)鍵往往是構(gòu)造出符合要求的數(shù)學(xué)對象，用構(gòu)造結(jié)論的辦法對數(shù)學(xué)命題作出證明，稱為“構(gòu)造性證明”； 構(gòu)造矛盾法：就是首先否定原命題，再利用否定后的命題構(gòu)造出一個能夠明顯顯露其錯誤的對象，從而導(dǎo)出矛盾，使原命題得證； 構(gòu)造復(fù)數(shù)法:由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)、幾何、三角等多種表示形式以及它的特征性質(zhì)和運(yùn)算法則，我們可以

9、構(gòu)造復(fù)數(shù)求解許多代數(shù)、幾何、三角方面的問題，它不但可以提高縱橫運(yùn)用知識解題的技巧，而且可激發(fā)發(fā)散思維，有效地培養(yǎng)學(xué)生的能力，發(fā)展智力； 構(gòu)造反例法：為了說明一個命題不真，常常選擇一個符合題設(shè)條件但命題不成立的反例，這個過程叫構(gòu)造反例.選擇特殊值,常常是構(gòu)造反例的關(guān)鍵.2.6 構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)在于它使已知與未知、條件與結(jié)論很恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合聯(lián)系起來，起到化簡、轉(zhuǎn)化和“橋梁”的作用.另外，如果我們能掌握構(gòu)造法并能運(yùn)用于其解決數(shù)學(xué)問題,那么不但可以提高我們的解題能力,而且可以從敏銳的觀察力、創(chuàng)造性的想象、獨(dú)特的知識結(jié)構(gòu)及解題靈感這些方面訓(xùn)練學(xué)生的思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌?，從而培養(yǎng)學(xué)生

10、的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造性意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.2.7 構(gòu)造法的注意事項(xiàng) 運(yùn)用構(gòu)造法時要注意以下兩點(diǎn)： 如何恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合；  在運(yùn)用構(gòu)造法時，構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型要保證能反映出原命題的本質(zhì)特征，且構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型所獲得的結(jié)果，一定是原命題的解題目標(biāo)，并經(jīng)過檢驗(yàn)，對于不符合原命題解題目標(biāo)的結(jié)果應(yīng)予以舍棄.3 構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用 3.1 構(gòu)造向量 向量問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的內(nèi)容，它不僅反映數(shù)量關(guān)系，而且體現(xiàn)位置關(guān)系，這種特點(diǎn)使得向量具有廣泛的應(yīng)用，利用向量模型可以解決代數(shù)、幾何以及三角

11、等數(shù)學(xué)問題.而許多學(xué)生只是單純地把向量當(dāng)做一個知識點(diǎn)來記憶而忽視了它與其它知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，所以高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該向?qū)W生強(qiáng)化向量的概念并引導(dǎo)學(xué)生利用向量來解決相應(yīng)的問題. 例1 已知為正數(shù)，求函數(shù)的最小值. 解 構(gòu)造向量,，則原函數(shù)就可化為,所以 . 例2 設(shè)是平面上的單位向量，且，則的最小值為 解 設(shè)，則=，所以當(dāng)時，取得最小值，為.3.2 構(gòu)造函數(shù) 函數(shù)在我們整個中學(xué)數(shù)學(xué)是占有相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，學(xué)生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇熟悉的內(nèi)容來解決不熟悉的題目，同時也達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維的靈活性、創(chuàng)新性. 例3 已知函數(shù)，當(dāng)有實(shí)數(shù)根時,的范圍為 解 令 ,則與的函數(shù)圖像有交點(diǎn)時，函數(shù)有

12、實(shí)根. 因?yàn)?，所以?dāng)時，此時，則在點(diǎn)的切線方程為. 所以當(dāng)時，與的圖像相切，當(dāng)時，與的圖像有交點(diǎn).因此. 例4 求函數(shù)的最大值.解 由根號下的式子看出且,故可聯(lián)想到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造 .所以 .當(dāng)即時，.3.3 構(gòu)造數(shù)列近幾年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題尤其是不等式證明題，解這類問題時，一般根據(jù)題目的特征，通過替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個與求證問題相聯(lián)系的數(shù)列，并對該數(shù)列的特征進(jìn)行分析，常可獲得解題的途徑.如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來解.例5 求證：(其中) 解 欲證含有與自然數(shù)有關(guān)的和的不等式,可以構(gòu)造數(shù)列模型,只需證明

13、數(shù)列是單調(diào)遞增，且構(gòu)造數(shù)列 ,則有 ,所以數(shù)列為遞增數(shù)列 又因，故 (其中)，即原不等式得證 例6 求自然數(shù)的最大值，使不等式對一切自然數(shù)恒成立.解 令，對任意， ，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列（），則的最小值為，其中. 故對一切自然數(shù)使得>成立的條件是>，即. 因此所求自然數(shù)的最大值是3.3.4 構(gòu)造方程方程，作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與代數(shù)式、函數(shù)、不等式等知識密切相關(guān)。一般根據(jù)已知條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個新的方程，然后利用方程中的知識解決問題，使解答簡潔、合理.通過構(gòu)造方程解題的步驟如下：首先將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；然后解這個方程或討論這個方程的有關(guān)性質(zhì)（常用判

14、別式與韋達(dá)定理），得出相應(yīng)結(jié)論；最后將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問題的結(jié)論. 例7 求的值域. 分析 求函數(shù)的值域的方法很多,判別式法是常用的一種,它的理論依據(jù)是將化為關(guān)于的二次方程,那么方程有實(shí)數(shù)解時,判別式0,由此可求得函數(shù)的值 解 將變形為關(guān)于的方程,當(dāng)時,解得；當(dāng)時,. 所以，則的值域是 例8 若，求證:成等差數(shù)列. 解 本題證明方法很多，可以用構(gòu)造法證明.注意到條件中的等式右邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，容易聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，為此可構(gòu)造以為判別式的一元二次方程.由題可知, , 所以方程有兩個相等實(shí)根. 又因?yàn)榘汛?，可?所以為方程的一個根，從而. 由韋達(dá)定理得:,從而，命題得證.3

15、.5 構(gòu)造幾何模型華羅庚曾說過“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微”，可見數(shù)形結(jié)合的思想是研究數(shù)學(xué)的基本思想之一，數(shù)與形是密不可分的.對于本身不具備圖形的一些數(shù)學(xué)問題，如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接以圖形的形式表示，然后借助幾何圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論. 例9 求函數(shù)的值域.解 ，其幾何意義是平面內(nèi)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和（如圖1）. 為求其值域只要求其最值即可， 易知當(dāng)三點(diǎn)共線（即在線段上）時，取得最小值， ，無最大值，故得函數(shù)的值域?yàn)?. 例10 若 求證：.解 注意到觀

16、察題目特點(diǎn)，從聯(lián)想到余弦定理，可以構(gòu)造三角形，同理，另外兩個根式也可構(gòu)造三角形，利用幾何圖形進(jìn)行證明. 表示以x，y為邊,夾角為的三角形的第三邊，同理，也有類似的幾何意義.這樣，我們構(gòu)作頂點(diǎn)為的四面體（如圖2），使得 ， 則有 ,. 由于在中，所以 . 圖1 圖23.6 構(gòu)造復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的知識點(diǎn)，它是實(shí)數(shù)的延伸,一些難以解決的實(shí)數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會變復(fù)雜,但常使問題簡明化. 例11 求證：。 分析 若注意到根號里各式子的特點(diǎn):都是兩個數(shù)的平方和,可以聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模,構(gòu)造復(fù)數(shù),再運(yùn)用三角不等式便迅速得解.證明 設(shè)，則=,所以有：成立.例12 求函數(shù)的最小值.分析 可以看作的模，可以看作的模，然后利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解.解 設(shè)，則 .因?yàn)?，所以=.當(dāng)，同向時，即時，有時，的最小值為.3.7 構(gòu)造等價(jià)命題 如果某些命題的表達(dá)比較抽象復(fù)雜、直接求解比較困難時，可以構(gòu)造一個表達(dá)方式較為通俗易懂且和原命題等價(jià)的新命題，比如構(gòu)造原命題的逆否命題、構(gòu)造矛盾命題等.例13 方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ） A.24 B.72 C.144 D.165分析 原命題等價(jià)于把12個相同的小球分成4堆.解 先把12個小球排成一行，在形成的11個空中插入3塊隔板，共