離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望教案

1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望教案教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生理解和掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義，2會(huì)掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。教學(xué)工具：多媒體。一復(fù)習(xí)1.一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1，x2，xi，X取每一個(gè)值xi(i1，2，的概率P(Xxipi，則稱下表一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1，x2，xi，X取每一個(gè)值xi(i1，2，的概率P(Xxipi，則稱下表Xx1x2xiPp1p2pi為隨機(jī)變量X的概率分布，由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：(1pi0，i1，2，；(2p1p212、什么叫n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)互相獨(dú)立完成，

2、每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(Ap0。稱這樣的試驗(yàn)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱伯努利試驗(yàn)。3、什么叫二項(xiàng)分布？ 若XB (n，p Cnkpkqn-k 二引例，新課1.全年級(jí)同學(xué)的平均身高是產(chǎn)u= （+.+ ）P=p(X=,i=1,2.n把全年級(jí)的平均身高u定義成X的均值，記作E(XE(X= (+.+ /nEX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn2.數(shù)學(xué)期望的定義若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱： E(X=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。3，舉例 在籃球比賽中

3、，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球一次得分設(shè)為X，X的均值是多少？X01p0.30.7解：該隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布:P(X=1=0.7、P(X=0=0.3所以：EX=1P(X=1+0P(X=0=0.7三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得到結(jié)論（1）10pp1-p如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么 EX= p （2）探究 ：若XB(n，p，則E(X= ？X 0 1 k nP Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0證明：P(X=k= Cnkpkqn-k ( k Cnk =n Cn-1k-1E( X =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 +

4、+ kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1-(k-1 + Cn-1n-1pn-1q0=np(p+qn-1=np若XB (n，p，則 EX= n p（3）超幾何分布舉例例、某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量x 表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則x的數(shù)學(xué)期望是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 變式：一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的期望。四，例題應(yīng)用例1 甲擊中目標(biāo)的概率為1/2,如果擊中，贏10分，否則輸11分，用X表示他的得分，

5、計(jì)算X的概率分布和數(shù)學(xué)期望。解：X=10的充分必要條件是擊中目標(biāo)，所以p(X=10=1/2=0.5X=-11是X=10的對(duì)立事件，所以p(X=-11=1- 0.5=0.5X只取10和-11，所以E(X=10 p(X=10+(-11 p(X=-11=10 0.5-11 0.5=-0.5例2.在只需回答“是”“不是”的知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，每個(gè)選手回答兩個(gè)不同的問題，都回答失敗，輸1分，否則贏0.3分，用X表示甲的得分，如果甲隨機(jī)猜測(cè)“是”“不是”，計(jì)算X的概率的分布和數(shù)學(xué)期望。解： X=-1的充分必要條件是兩次猜錯(cuò)，所以p(X=-1=1/4=0.25X=0.3是X=-1的對(duì)立事件，所以p(X=0.3=3/

6、4=0.75X只取-1和0.3，于是E(X=-1 p(X=-1+(0.3 p(X=0.3=-1 0.25+0.3 0.75=-0.025例3.甲乙比賽時(shí)，甲每局贏的概率是P=0.51，乙每局贏的概率是q=0.49，甲乙一共進(jìn)行了10次比賽，當(dāng)各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，計(jì)算甲平均贏多少局，乙平均贏多少局。解:用X表示10局中甲贏的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B（10，0.51）. E（X）=10 0.51=5.1 所以 甲平均贏5.1局用Y表示10局中乙贏的次數(shù)，則Y服從二項(xiàng)分布B（10，0.49）. E（Y）=10 0.49=4.9 所以乙平均贏4.9局例4，袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，從中無放回地

7、任取5個(gè)，取到幾個(gè)紅球就得幾分，問平均得幾分。解：用X表示得分?jǐn)?shù)，則X也是取到的紅球數(shù)，X服從超幾何分布H（10，3，5），于是EX=nM/N=53/10=1.5所以平均得到了1.5分。五數(shù)學(xué)期望小結(jié)EX表示X所表示的隨機(jī)變量的均值；EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。兩點(diǎn)分布：EX= p二項(xiàng)分布：EX= n p 超幾何分布求數(shù)學(xué)期望時(shí)：1. 已知是兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布或超幾何分布時(shí)，直接代用公式；2. 其它分布的隨機(jī)變量，先畫出分布列，在對(duì)應(yīng)求值。課堂練習(xí)1、在籃球比賽中，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球一次得分設(shè)為X，X的均值是多少？2、隨機(jī)變量的分布列是135P0.50.30.2則E= 3、隨機(jī)變量的分布列是47910P0.3ab0.2E=7.5,則a= b= .4,