《小學(xué)數(shù)學(xué)專題研究》自考資料

1、-小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究自考復(fù)習(xí)資料教材小學(xué)數(shù)學(xué)專題研究李星云著第一章小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)及內(nèi)容一、數(shù)學(xué)是一種研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)本質(zhì)：數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的科學(xué)恩格斯。二、數(shù)學(xué)的作用 ：一種科學(xué)只有在成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完美的地步。數(shù) 學(xué)是 一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言已廣泛滲入自然和社會(huì)科學(xué)中，數(shù)學(xué)作為一種文化，已成人們的共識(shí)。三、我國(guó)數(shù)學(xué)課程及演變過(guò)程：（ 1）萌芽時(shí)期（公元前 600 年前）（ 2）初等數(shù)學(xué)時(shí)期 (公元前 600 年 171-世紀(jì)中葉 )（ 3）變量數(shù)學(xué)時(shí)期（ 17 世紀(jì)中葉 19 世紀(jì) 20 年代）（ 4）近代數(shù)學(xué)時(shí)期

2、（ 19 世紀(jì) 20 年代第二次世界大戰(zhàn)）（ 5）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（第二次世界大戰(zhàn)以來(lái)）作為一門學(xué)科，在我國(guó)卻遲到隋唐時(shí)期，才在國(guó)子監(jiān)設(shè)算學(xué)館。置博士、助教，選定和注釋從漢朝以來(lái)的十部算經(jīng)，以算經(jīng)十書(shū)著。算經(jīng)十書(shū) 是我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展和成就的代表文獻(xiàn)，構(gòu)成了我國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。周髀算經(jīng)勾股定理；九章算術(shù)方程章中第13 題是著名“五家共井”最早的不定方程問(wèn)題；孫子算經(jīng)“知客幾何”“雞兔同籠”2-尤其是“物不知數(shù)”是后來(lái)馳名于世的“大衍求一術(shù)”的起源，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)最具獨(dú)創(chuàng)精神的成就之一。張丘建算經(jīng)提出了有趣的不定方程和解法“百雞問(wèn)題”；緝古算經(jīng)三次方程的代數(shù)解法；數(shù)學(xué)記遺“九宮圖”。三國(guó)時(shí)期劉徽用割

3、圓術(shù)求出了圓周率值為3.14 ，之后法國(guó)數(shù)學(xué)家偉達(dá)用 解析方法求出 值。世界上第一本討論排列組合 的書(shū)是 周易算學(xué)作為小學(xué)課程則從近代光緒二十八年（1902 年）才正式開(kāi)始。1892 年編筆算數(shù)學(xué)，則是我國(guó)學(xué)校里的第一部算學(xué)教科書(shū) 。3-1903年春編制 最新教科書(shū)我國(guó)自己編寫(xiě)的第一本正式的小學(xué)算學(xué)課本問(wèn)世。1978 年 2 月全日制十年制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）明確將小學(xué)算術(shù)改為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)。1992年三個(gè)面向“面向現(xiàn)代化”、“面向世界、”“面向未來(lái)。”四、國(guó)外數(shù)學(xué)課程變革的簡(jiǎn)況及趨勢(shì)。20 世紀(jì)初，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)起并領(lǐng)導(dǎo)了數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)發(fā)展是不平衡的，分三種類型：

4、1.革新型 如英美； 2. 進(jìn)化型如蘇聯(lián)；3.中間型如日本。相似之處：1. 精簡(jiǎn)傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容：4-2. 增減或滲透集合、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容；3. 用結(jié)構(gòu)思想處理傳統(tǒng)內(nèi)容?！盎貧w基礎(chǔ)”改為“走向基礎(chǔ)。”大眾數(shù)學(xué) :目標(biāo)讓全體學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)而且是需要的數(shù)學(xué)。五、小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)與分析（參考課標(biāo)）小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是小學(xué)教育方向和性質(zhì)的表征，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教育活動(dòng)，包括組織教學(xué)內(nèi)容、確定教學(xué)要求、選擇教學(xué)方法、進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估、決定考試命題等進(jìn)行的依據(jù)。1、 小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)制定的依據(jù)2、小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)3、 小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容5-六、學(xué)科數(shù)學(xué)與科學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的載體是教材教科書(shū)。學(xué)科數(shù)

5、學(xué)的內(nèi)容是依賴于科學(xué)數(shù)學(xué)二建立和發(fā)展的。1. 作為科學(xué)的數(shù)學(xué) ，它不考慮人們是否能夠理解和接受，只要能完備而又精確地闡明某種數(shù)學(xué)理論，更深刻地反應(yīng)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系就行。而作為學(xué)科的數(shù)學(xué)必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)，往往日常生活、生產(chǎn)中的具體事例出發(fā)，對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行描述，然而轉(zhuǎn)向定義、定律、性質(zhì)等的揭露。2. 作為科學(xué)數(shù)學(xué)，對(duì)所有的定理、法則等都必須進(jìn)行嚴(yán)格的論證和推導(dǎo)，而作為學(xué)科的數(shù)學(xué)限于學(xué)生的接收水平，往往通過(guò)列6-舉一些事例用不完全歸納法得出結(jié)論。3. 作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，完全按照數(shù)學(xué)倫理的邏輯系統(tǒng)進(jìn)行安排，可以難易起伏不均；作為學(xué)科數(shù)學(xué)在不影響科學(xué)性的前提下，兼顧小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。對(duì)

6、某些內(nèi)容可以適當(dāng)調(diào)整。由此可見(jiàn)，科學(xué)數(shù)學(xué)是作為人類認(rèn)識(shí)的結(jié)果而呈現(xiàn)的，已完全揭示數(shù)量關(guān)系和空間形式為目的；而學(xué)科數(shù)學(xué)可看作為認(rèn)識(shí)對(duì)象而存在。對(duì)作為小學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)而言，除了正確反映科學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)外，還必須充分遵循小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于使他們學(xué)懂、學(xué)好、學(xué)活。有利于發(fā)展他們的智能，有利于進(jìn)行思想品德教育。七、小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容編排原則：7-1. 以數(shù)與計(jì)算為主線，以數(shù)與形式為重點(diǎn)，把各部分內(nèi)容按其彼此的內(nèi)在聯(lián)系結(jié)合起來(lái)。2. 由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)，螺旋上升。3. 突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)。4. 把數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用結(jié)合起來(lái)。5. 注重趣味性。數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn) ：1. 高度的抽象性2. 嚴(yán)密的邏輯性

7、 3. 應(yīng)用的廣泛性。第二章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論依據(jù)一、數(shù)學(xué)問(wèn)題及其組成1、1、數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然名稱不同，敘述內(nèi)容不同，但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即是在一定的知識(shí)背景中提出的。知識(shí)背景主要包括已有8-的概念、理論和方法。因此，我們認(rèn)為依照數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答與知識(shí)背景的關(guān)系，可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題大致分為兩類：常規(guī)問(wèn)題和非常規(guī)問(wèn)題。2、依照數(shù)學(xué)問(wèn)題提法的意義是否明確，數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件是否充分，我們還可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為： 可能問(wèn)題和不可能問(wèn)題。3、數(shù)學(xué)問(wèn)題的 組成成分 是條件、目標(biāo)和運(yùn)算。（三大組成部分也叫構(gòu)成要素）二、智力結(jié)構(gòu)與活動(dòng)方式1 、智力兩個(gè)方面：一是天賦的潛力、特性和發(fā)展的容量；即健全的神經(jīng)代謝的總和

8、。二是發(fā)展得以進(jìn)行下去的大腦功能，即能夠決定操作和理解的功能。皮亞杰關(guān)于 智力階段的劃分9-感知運(yùn)動(dòng)階段（0 2 歲）前運(yùn)算階段（2 7 歲）具體運(yùn)算階段（7 11 歲）形式運(yùn)算階段（11 歲以上）同化和順應(yīng)是相對(duì)立的兩種力量。同化是一個(gè)人按照過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)、圖示來(lái)活動(dòng)； 順應(yīng)則是根據(jù)面臨的新信息所作的改變和思考。2、智力活動(dòng)方式：（ 1）根據(jù)基本的心理過(guò)程，分為知覺(jué)方式、記憶方式和思維方式。（ 2）根據(jù)完成的主要功能，分為定向方式、執(zhí)行和控制方式。（ 3）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范化程度，分為計(jì)算性方式、算法指令性方式、啟發(fā)性方式。10-（4） 根據(jù)動(dòng)作的共同性，分為一般方式和具體方式。另外，根據(jù)智力活動(dòng)在

9、人類不同認(rèn)知領(lǐng)域里的運(yùn)用程度， 又可以分為一般方式 （如分析、綜合、抽象、概括、比較等）和限于某一認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的特殊方式。二、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及其發(fā)展水平1 、1、思維： 人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)特征、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的、間接的反映，是人們對(duì)外接輸入的信息的感知的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等智力活動(dòng)方式，對(duì)其加工、 推理和獲得理性認(rèn)識(shí)的心理過(guò)程。2、思維的 本質(zhì)：思維是間接認(rèn)識(shí)事物，是通過(guò)感知與被直接認(rèn)識(shí)的事物有著合11-乎規(guī)律的聯(lián)系的另一個(gè)對(duì)象而實(shí)現(xiàn)的。3、思維的 類型： 1. 邏輯性思維 2. 非邏輯性思維。形式邏輯思維 ：是以概念、判斷、推理等思維方式，同一律，矛盾律、排中律

10、等思維規(guī)律，歸納、演繹、類比、科學(xué)假設(shè)等思維方法為其研究對(duì)象。辯證邏輯思維 ：研究的是思維形式如何正確反映客觀事物的運(yùn)動(dòng)變化、事物的內(nèi)部矛盾、事物的有機(jī)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等問(wèn)題，其主要特點(diǎn)是用有限量來(lái)描述和刻畫(huà)。4、數(shù)學(xué)思維 ：又叫數(shù)學(xué)型思維，就是以數(shù)和形為思維的對(duì)象。以數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)為思維的載體，以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)12-學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學(xué)思維品質(zhì) ：靈活性、積極性、目的性、記憶性、廣闊性、深刻性、批判性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)捷性、獨(dú)創(chuàng)性和證明性。數(shù)學(xué)思維水平的評(píng)定：第一級(jí)水平第五級(jí)水平前兩級(jí)水平是小學(xué)年級(jí)的學(xué)生所特有的，第三級(jí)水平是初中年級(jí)學(xué)生所特有的；第四級(jí)水平是高中年級(jí)學(xué)生所特有的，至于第五級(jí)水平

11、無(wú)論是幾何方面還是代數(shù)方面的，均屬于數(shù)學(xué)思維的現(xiàn)代水平。一般的中學(xué)階段的學(xué)生是難以達(dá)到的。四、影響小學(xué)數(shù)學(xué)解題的心理因素：（兩大）13-（一）問(wèn)題解決的特征：1. 問(wèn)題情境因素2. 解題者的個(gè)體特征（解題者知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和個(gè)性品質(zhì)）3.解題中的認(rèn)知策略（解題者用來(lái)調(diào)節(jié)注意、回憶和思維的技能）（二）遷移與思維定勢(shì)：遷移 是指一種知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用對(duì)另一種知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用所施加的影響。思維定勢(shì) ：指的是一種思維的定向預(yù)備狀態(tài)，在思維不受到新干擾的情況下，人們按照既定的方向或者方法去思考。第三章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過(guò)程一、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及認(rèn)知學(xué)習(xí) ：從廣義上理解，學(xué)習(xí)是有機(jī)體憑借經(jīng)驗(yàn)的獲得而產(chǎn)

12、生的比較持久的14-行為（思維、想象記憶、感知等內(nèi)部心理活動(dòng)和語(yǔ)言、表情、動(dòng)作等外部活動(dòng)）變化。從狹義上理解，學(xué)習(xí)是指學(xué)生在老師指導(dǎo)下，有目的、有計(jì)劃、有組織、有步驟地進(jìn)行的獲得知識(shí)、形成技能、培養(yǎng)能力、發(fā)展個(gè)性的過(guò)程。桑代克刺激反應(yīng)理論，學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)的聯(lián)結(jié)?？晾胀晷卫碚摚瑢W(xué)習(xí)是零碎和知覺(jué)信息的再組織過(guò)程。托爾曼認(rèn)知理論，學(xué)習(xí)是對(duì)環(huán)境中的刺激，依其關(guān)系形成一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，是意義的獲得和實(shí)現(xiàn)期望的過(guò)程等等。15-小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)： 是在教師指導(dǎo)下獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)能力，發(fā)展個(gè)性數(shù)學(xué)品質(zhì)的過(guò)程。 由于數(shù)學(xué)自身具有邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、高度的抽象性及應(yīng)用的廣泛性，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)

13、容和最終母的是解決小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)解題： 作為小學(xué)生的一種特殊心理活動(dòng)，綜合起來(lái)說(shuō)，它屬于一種認(rèn)知學(xué)習(xí)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題是一種逐漸深入的，具體某種程度創(chuàng)新性和思維對(duì)策的心理活動(dòng)（認(rèn)知）過(guò)程。不求甚解、生搬硬套、機(jī)械呆板等等，都不是小學(xué)數(shù)學(xué)解題的真實(shí)含義。二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)： 是指?jìng)€(gè)體在感知及理解客觀現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，在頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)。 簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是在個(gè)體頭腦16-里的知識(shí)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和方式，其意義也就在于不斷積極主動(dòng)地建立、擴(kuò)大和重新組織數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并伴隨著同化和順應(yīng)等特征。小學(xué)數(shù)學(xué)解題并不是數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而是以原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對(duì)新知識(shí)

14、進(jìn)行加工。三、技能：是順利完成某種任務(wù)的一種心智或動(dòng)作的活動(dòng)方式，她需要通過(guò)練習(xí)才能形成。動(dòng)作：泛指在完成一項(xiàng)具體任務(wù)中所涉及的一系列操作，以完善、合理方式組織起來(lái)并順利進(jìn)行時(shí)，就成為動(dòng)作技能。心智系指借助于內(nèi)部語(yǔ)言在頭腦中進(jìn)行的認(rèn)識(shí)活17-動(dòng)。它包括感知、記憶、想象和思維，但以抽象思維為它的主要成分。技能和能力 ：是不同的概念，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。技能是指完成一定任務(wù)的活動(dòng)方式，能力則是順利完成任務(wù)的個(gè)性心理特征。技能的形成以一定的能力為前提，反過(guò)來(lái)又對(duì)能力的發(fā)展起重要的促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)動(dòng)作技能 ：指運(yùn)用工具繪圖的技能，測(cè)量技能、使用計(jì)算工具的技能等。數(shù)學(xué)心智技能 ：指數(shù)的計(jì)算技能、式的恒

15、等變形技能、解方程、解不等式的技能，推理論證技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的技能等。這兩種數(shù)學(xué)技能既有聯(lián)系又有區(qū)別 。一方面數(shù)學(xué)心智技能的形成，與數(shù)學(xué)動(dòng)作技能有關(guān)；另一方面，數(shù)學(xué)動(dòng)作技能又受數(shù)學(xué)心18-智技能控制。數(shù)學(xué)認(rèn)知技能 ：的形成，也有一個(gè)過(guò)程，就小學(xué)數(shù)學(xué)解題而言，可以概括成認(rèn)知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動(dòng)階段。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)認(rèn)知技能盡管有上述的幾個(gè)階段，但最終得以形成，都要經(jīng)歷一個(gè)從“會(huì)”到“熟”的過(guò)程其，間必須不斷通過(guò)有計(jì)劃、有目的的練習(xí)，才能完成這一轉(zhuǎn)變。發(fā)展：作為一般意義上的理解是指人的各種特性在結(jié)構(gòu)上和機(jī)能上的變化。發(fā)展有生理發(fā)展和心理發(fā)展之分。四、認(rèn)知發(fā)展：是指與大腦生長(zhǎng)和知識(shí)技能有關(guān)

16、的發(fā)展方面。涉及人在知覺(jué)、記憶、思維、語(yǔ)言、智力等方面種種功能的發(fā)展變19-化。小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展可以理解為小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知技能的發(fā)展，是通過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程來(lái)體現(xiàn)的。認(rèn)知發(fā)展一般包含這幾個(gè)階段：1. 輸入階段 2.同化和順應(yīng)階段3.應(yīng)用階段。 以上三個(gè)階段是密切聯(lián)系的。第四章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)和結(jié)構(gòu)一、小學(xué)數(shù)學(xué)解題的含義小學(xué)數(shù)學(xué)解題 即小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題解決，不但要關(guān)心問(wèn)題的結(jié)果，而且要關(guān)心求得結(jié)果的過(guò)程，也就是問(wèn)題解決的整個(gè)思考活動(dòng)。所以小學(xué)數(shù)學(xué)解題指的是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行的一個(gè)思維過(guò)程，一步一步地靠近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。其含義就是20-思考的活動(dòng)及探索的過(guò)程。19 世紀(jì)中

17、葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼才成功地建立了一個(gè)算術(shù)基本公理體系， 解決和統(tǒng)一禮物在此之前人們一直混淆的上述問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)解題也就意味著找出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)的一般原理（定義、公理、法則、定律、公式）的序列，當(dāng)應(yīng)用他們到問(wèn)題的條件或者條件的推論（解法的中間結(jié)果）時(shí)，就能得到問(wèn)題所要求的答案。二、 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的結(jié)構(gòu)奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式：1. 呈現(xiàn)問(wèn)題的情境 2. 明確問(wèn)題的目標(biāo)與已知條件3. 填補(bǔ)空隙的過(guò)程4. 解答后的檢驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題的幾個(gè)階段：1.分析題意21-2.尋找解法 3.實(shí)行解法 4. 回顧解法三、 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的趨向教育心理學(xué)認(rèn)為根據(jù)解題者尋求解答的趨向可以把解題分為兩種主要方式 ，一種是嘗

18、試錯(cuò)誤式，另一種是頓悟式。嘗試錯(cuò)誤式是由進(jìn)行無(wú)定向的嘗試，重復(fù)無(wú)效動(dòng)作，糾正暫時(shí)性嘗試錯(cuò)誤。直至出現(xiàn)解決問(wèn)題得以成功的一系列反應(yīng)所組成的行動(dòng)。頓悟式 解決問(wèn)題嘗試錯(cuò)誤式不同，它具有一定的“心向”，努力發(fā)現(xiàn)手段與目標(biāo)之間的有意義的聯(lián)系，而這種聯(lián)系正是問(wèn)題賴以解決的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，嘗試錯(cuò)誤式和頓悟式實(shí)際上司不能絕對(duì)化的，嘗試錯(cuò)誤式解決22-可能是隱含在內(nèi)而不表露于外的。所以看不出是嘗試錯(cuò)誤式，未必就是頓悟式。頓悟式解題也不一定是徹底的、完善的和即時(shí)的，盡管看上去解答是突然出現(xiàn)的，事實(shí)上卻往往經(jīng)歷著一定的甚至是相當(dāng)曲折的過(guò)程。四、 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的規(guī)則常規(guī)問(wèn)題解題規(guī)則：1. 公式規(guī)則 2. 恒

19、等式規(guī)則 3. 定理規(guī)則 4. 定義規(guī)則非常規(guī)問(wèn)題就是沒(méi)有一般解題規(guī)則的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它的解題步驟序列，可以利用技巧將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的常規(guī)問(wèn)題，或分解為若干個(gè)小常規(guī)問(wèn)題，或通過(guò)分析、綜合等方法來(lái)尋求。算術(shù)基本公式體系是小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、法則等之間的邏輯關(guān)系。23-小學(xué)數(shù)學(xué)解題是以思考為內(nèi)涵，以問(wèn)題目標(biāo)為定向的心理活動(dòng)過(guò)程。第五章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想方法化歸類比 歸納美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題數(shù)學(xué)與合情推理關(guān)于數(shù)學(xué)解題的核心觀點(diǎn)就是發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造。蘇聯(lián) 婭諾夫斯卡婭 解題意味著什么解題也就意味著把所要解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已經(jīng)解過(guò)的問(wèn)題。法國(guó)笛卡爾我所解決的每一個(gè)問(wèn)題都將成為范例，以用于解決其

20、他問(wèn)題。一、化歸法的一般模式為：化歸法的特點(diǎn)：在于它具有較強(qiáng)的目的性、方向性和概括性。基本原則：是由未知到已知，由難到易、24-由繁到簡(jiǎn)；它的方向就是如何實(shí)現(xiàn)由所要解決的問(wèn)題向已解決的或較容易解決的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，這里蘊(yùn)含著發(fā)現(xiàn)、發(fā)明及創(chuàng)造性的活動(dòng)。從廣義上的理解化歸是一種思想，如果從狹義上來(lái)看， 化歸乃是重要的常用的和具體的解決方法之一，而且又有分割組合、映射反演等分別。分割組合的一般模式：分割組合： 就是把所要求的問(wèn)題，按照可能和需要，分割成若干部分，使他們更容易于求解，再將這些解答有機(jī)地組合起來(lái)，過(guò)渡到問(wèn)題的最終結(jié)論。映射反演 就是映射和反演兩種方法并用。25-映射：就是在兩類數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)

21、數(shù)學(xué)集合的元素之間建立的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。反演：就是從已知運(yùn)算往回推（每一步運(yùn)算都以其逆運(yùn)算來(lái)代替，相對(duì)映射而言，反演就是逆映射。）在數(shù)學(xué)解題中，這種映射反演具體表現(xiàn)為坐標(biāo)法、復(fù)數(shù)定向法、換元法等。萬(wàn)能發(fā)現(xiàn)法：（笛卡爾）這種模式在某些情況下是不適用的。這種方法包含了“數(shù)學(xué)化”、“代數(shù)化、”“計(jì)算化”等合理的化歸思想方法。二、類比法 ：是根據(jù)兩個(gè)或兩類不同的對(duì)象在某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，猜測(cè)著兩個(gè)對(duì)象在其它方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方26-法?；灸Ｊ剑侯惐鹊慕Y(jié)論屬于或然性推論，因?yàn)閺那疤岬浇Y(jié)論并不具備邏輯必然性。也就是說(shuō)，類比也有一定的局限性，其結(jié)論常常是不可靠

22、地的，甚至是完全錯(cuò)誤的。三、歸納法 ：是指通過(guò)對(duì)特殊情形的分析引出普遍的結(jié)論的推理方法。德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯就曾說(shuō)過(guò)，他的許多定理靠的是歸納法發(fā)明的，證明只是一個(gè)補(bǔ)行的手續(xù)。歸納常常是建立在有目的、有計(jì)劃的觀察和試驗(yàn)基礎(chǔ)上的。根據(jù)對(duì)象是否完備，歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。完全歸納法 ：是根據(jù)某類事物中每一個(gè)27-對(duì)象的情況或每一個(gè)子類的情況，而作出該類事物的一般性結(jié)論的推理。上面兩種安全歸納推理，前者根據(jù)每一個(gè)情況而得出一般性結(jié)論，后者根據(jù)每一類特殊（子類）情況而得出一般性結(jié)論。它們子本質(zhì)上是相互聯(lián)系的，前者是后者的特例，后者死前者的推廣。所以，通常也可以把后者作為完全歸納推理的一般

23、形式。完全歸納法實(shí)質(zhì)上也是一種演繹推理。不完全歸納法：是根據(jù)對(duì)某類事物中的一部分對(duì)象的情況，而作出關(guān)于該事物的一般性結(jié)論的推理。不完全歸納法的推理形式：和歸納法不同，數(shù)學(xué)歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測(cè)的方法。但是在歸納法與28-數(shù)學(xué)歸納法之間也存在著相互依賴、相互滲透的辯證關(guān)系。換言之，數(shù)學(xué)歸納法所證明的往往是由歸納法所得出的猜測(cè)，而歸納法所得出的猜測(cè)有些可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。而且，更為重要的是，歸納的過(guò)程往往為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法去證明相應(yīng)的結(jié)論打下了基礎(chǔ)；反之證明的過(guò)程則加深了對(duì)原來(lái)猜測(cè)的理解。四 創(chuàng)造性及其體現(xiàn)創(chuàng)造：一般是指創(chuàng)造者的主觀意識(shí)活動(dòng)，通過(guò)科學(xué)實(shí)踐而對(duì)自然界的某一方面或某些方面的合乎規(guī)律的反映，它是一種現(xiàn)象。創(chuàng)造的三大基本特征：1. 實(shí)踐性 2. 創(chuàng)造者的創(chuàng)造能力充分發(fā)揮3. 創(chuàng)新性，即開(kāi)創(chuàng)性29-和新穎性。創(chuàng)造性作為一個(gè)認(rèn)知范疇的概念，系指一種能力或特性，按教育心理學(xué)的觀點(diǎn)，它和人的智力、智慧品質(zhì)以及人格等有著密切的關(guān)系。創(chuàng)造和創(chuàng)造性不能等同，不可相互替代，但兩者共處一體。因?yàn)槿绻麖?qiáng)調(diào)過(guò)程，著眼于心理機(jī)制的話，那