貴州省銅仁市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題(理)Word版含解析

1、銅仁一中20192020學(xué)年度第一學(xué)期高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（理科）第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題 5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的）1 .已知集合P x| y JX_7，集合Q x | y JT7 ,則P與Q的關(guān)系是（）A. P QB. P QC. P QD.PI Q【答案】B【解析】【分析】求出每個(gè)集合中表示元素的范圍，根據(jù)表示元素的范圍判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】因?yàn)閤 1 0,所以x 1 ,故P x|x 1；又因?yàn)閤 1 0,所以x 1,故Q x|x 1； 則P Q .故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的關(guān)系，難度較易.求解集合中元

2、素的范圍時(shí)，一定要注意集合的表示元素是哪一個(gè).2 .在等差數(shù)列an中，若a2 4,a4 2,則S6的值是（）A. 10B. 0C. 15D. 12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，將S6改寫成首項(xiàng)與公差的形式即可計(jì)算5，又 56 60115d 15,a2 a d 4a【詳解】因?yàn)?，所以a4 a13d 2d故選：C.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an a1 (n 1)d ；(ai an)nn(n 1).等差數(shù)列求和公式：S-a1n - d2123 .已知直線的傾斜角為 45。，在y軸上的截距為2,則此直線方程為()A. y x 2.B. y x 2C. y x 2

3、d.y x 2【答案】A【解析】試題分析：.直線的傾斜角為45。，.k=tan45。=1,又y軸上的截距為2,代入斜截式得直線方程y x 2 ,故選a考點(diǎn)：本題考查了直線方程的求法點(diǎn)評(píng)：熟練掌握五種類型的直線方程特點(diǎn)即可解決此類問題4. ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c 也,b 的，B 60,則C等于()A. 30°B. 60C. 150D. 30° 或150【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出sin C的值，根據(jù)邊的大小關(guān)系對(duì) C進(jìn)行取舍.c b1【詳解】由正弦定理 可得：sinC 一,又c b,所以C B,則C 30(150sin C sin

4、 B2舍)，故選：A.【點(diǎn)睛】利用正弦定理求解邊或者角的時(shí)候，如果出現(xiàn)多解的情況，一定要去判斷多個(gè)解是否都合適，這里常用的判斷依據(jù)“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”5.如圖，在正方體 ABCD AB1c1D1中，M N分別為棱CQi,CCi的中點(diǎn)，以下四個(gè)結(jié)論:直線DMW CCi是相交直線；直線 AMW NB是平行直線；直線 BN MBi是異面直線;直線AM與DDi是異面直線.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析】根據(jù)正方體的幾何特征，可通過判斷每個(gè)選項(xiàng)中的兩條直線字母表示的點(diǎn)是否共面；如果共面，則可能是相交或者平行；若不共面，則是異面 【詳解】：CCi與DM是共

5、面的，且不平行，所以必定相交，故正確;：若AM、BN平面ADM多行且AM AD A, BN BC B，所以平面 BNC P：BNMB：AM、故選：C.【點(diǎn)睛】異面直線線異面；反之則為6.已知數(shù)列anA. 0面直線，故正確;DD1異面直線，故正確;是平行也可能是相交a6 2a4,則 a3a5條直線上兩點(diǎn)與另外一條直線上兩點(diǎn)不共面，那么兩條直C. 4D. 0 或 4【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義計(jì)算 a4的值，再利用等比中項(xiàng)的定義和a4的值求出結(jié)果.22一【詳解】由等比中項(xiàng)th乂可知：a2a6a ,則a42 ；又因?yàn)閍3a5a ,所以a3a54.故選：C.2【點(diǎn)睛】等比數(shù)列性質(zhì)：當(dāng) m n p q 2

6、c（m,n,p,q,c N ）時(shí)，有aman apaq a- 等比中項(xiàng)定義：當(dāng)a、b、c成等比數(shù)列時(shí)，b叫做a、c的等比中項(xiàng)且有b2 ac.7 .已知圓（x 2）2 y2 2上的一動(dòng)點(diǎn)到直線 x J3y 4 0的最短距離為b,則b值為（）A. 1B. 3C. 3 ,2D. 32【答案】C【解析】【分析】最短距離：即為圓心到直線的距離減去半徑.廠一 ,|2 0 4|【詳解】圓心到直線的距離d 1 3,圓的半徑r J2,則b d r 3 22.13【點(diǎn)睛】圓上點(diǎn)到直線的最小距離和最大距離：記圓心到直線的距離為 d ,圓的半徑為r,則最小距離為：d r ,最大距離為：d r.8 .已知正數(shù)a, b滿

7、足ab 10,則a 2b的最小值是 （）A. 2.10B. 3.5C. 3,70D. 4.5【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解（積定和最?。驹斀狻恳?yàn)閍 2b 2J2ab 4J5,取等號(hào)時(shí)a 2b 2/5,故a 2b最小彳1為4V/5.2 a b a2 b2【點(diǎn)睛】基本不等式：1 I abb 2 V2(取等號(hào)時(shí)a b, a 0, b 0). a b利用基本不等式求解最值的時(shí)候一定要注意取等號(hào)的條件9 .已知A(m, 3),B(2m, m 4) , C(m 1,4), D(1,0)且向量器與向量CDu垂直，則m的值為()A. -2B. 0C. 2D. 1,一 uur uuu-將向重a

8、b、CD用坐標(biāo)表不出來，再利用向重垂直的坐標(biāo)表不求斛出m的值.【詳解】據(jù)題意有uuuUJUuuuAb (m,m+1), CD ( m, 4),因?yàn)?abuuuCD，m( m) ( 4)(m 1) 0 ,所以(m 2)2 0即 m 2.【點(diǎn)睛】向量垂直的坐標(biāo)表不：rr , 、廿 ra (oyjb 他")，右 arb ,則有 X1X2y1y20rr4 r r -_向重干仃的坐標(biāo)表示：a (x1,y1),b (x2,y2)，右a/ b，則有xy? x?y1 0 .10.已知m,n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A. a/ 0m燙a,n則 m/ nB. m/ , m/

9、n ,則 n/C. ,m/n,m,則 n/D. m ,m /n ,則 n【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】?jī)善叫衅矫鎯?nèi)的直線的位置關(guān)系為：平行或異面，可知 A錯(cuò)誤;m/且mn,此時(shí)n/或n ,可知B錯(cuò)誤;,m/ n , m ,此時(shí)n 或n ,可知C錯(cuò)誤；兩平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條必垂直于該平面，D正確.本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查學(xué)生對(duì)于定理的掌 握程度，屬于基礎(chǔ)題.11.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休. ”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何

10、問題加以解決，如:可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M x, y與點(diǎn)N a,b的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得 f xx2 10x 26x2 6x 18最小值為A. 2.2B. 2,5C. 2.10根據(jù)題設(shè)觀點(diǎn)將f(x)變形為點(diǎn)與點(diǎn)距離之和，然后再求解最小值據(jù)題意有：f(x) ,(x 5)2+(0+1)2+ (x 3)2 (0 3)2，點(diǎn)(5,.要注意到平面且1C.31D.21)、( 3,3)的距離之和，則 minJ( 3) ( 5)2 (3 ( 1)本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，難度一般小的點(diǎn)必定位于兩定點(diǎn)連線的線段上12.已知點(diǎn)yo3xoA 11 A.9【答案】Axo,yo到直線x 3y 2則她的最大值是(

11、XoB. 1的距【分析】根據(jù)題意可得到M%,y。滿足的方程，再根據(jù) yo 3xo 1可得到M Xo,yo在平面直角坐標(biāo)系上所圍成的形狀,yo一表不M xo,yo與（0,0）連線的斜率，根據(jù)圖示即可求解最大值 Xo【詳解】由題意可得| X03 y 02 12=3/j2 32則Xo1-5yo0 或 Xoyo 0 ,241八% yo 025所以Xo yo 0 ,作出目標(biāo)區(qū)域如下圖:4yo 3xo 1911監(jiān)色線條即為滿足的 M Xo, y0所表布的氾圍，且 A（,）,1616又k0A 11 1則血的最大值為11.9Xo9故選：A.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的類型：（1）斜率型：z L_a表示點(diǎn)

12、（X,y）與點(diǎn)（a,b）連線的斜率； x b（2） z J（X_ap（yb）2表示點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（a,b）的距離；（3） z |Ax By C|表示點(diǎn)到（x,y）直線Ax By C 0距離的JA2 B2倍.第II卷(非選擇題)二、填空題(本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13.已知 ABC的頂點(diǎn)為A 1,2 ,B 3,1 ,C 3,4 ,則AB邊的中線所在直線的斜率為5【答案】-2【解析】【分析】先求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用 C的坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)求斜率.3【詳解】因?yàn)?A 1,2 ,B 3,1 ,所以AB中點(diǎn)坐標(biāo)D(2,-),又C(3,4),所以AB4 3 c

13、率為：25k 2 -.3 2 2【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率的計(jì)算公式，難度容易中線斜14.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為.【解析】綜合三視圖可知，立體圖是一個(gè)半徑 r=1的半個(gè)球體。其表面積 =！-4仃，+處：=至二15.不等式ax2 ax 2 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】0,8 【解析】【分析】a 0因?yàn)槎雾?xiàng)含有參數(shù) a,所以對(duì)a進(jìn)行分類討論，對(duì)每種情況進(jìn)行求解.a 0時(shí)，注a 0意使用去分析.【詳解】當(dāng)a 0時(shí)，有2 0,恒成立；, a 0當(dāng)a 0時(shí)，只需 2，所以0 a 8.a2 8a 0綜上：a 0,8).【點(diǎn)睛】恒成立的情況下求參數(shù)范圍有兩種思

14、路：(1)分類討論，比較適用于參數(shù)出現(xiàn)在最高次項(xiàng)；(2)參變分離，比較適用于參數(shù)出現(xiàn)在某一次項(xiàng)，通過參變分離構(gòu)成新函數(shù)，然后利用函數(shù)最值分析.16.如圖所示，在矩形 ABCD中，AB 2,AD 1,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE (端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)將DAF沿AF折起，使得平面 ABD 平面ABC設(shè)直線FD與平面ABCF所成角為 ，則tan的最大值為 .在矩形ABCD中，過點(diǎn)D作AF的垂線交AF于。點(diǎn)，交AB于M 點(diǎn)，設(shè)1 I 1CF x(0 x 1), AM y,由相似可得：y ，且一y 1 ,在翻折后的幾何體2 x 2中，能推導(dǎo)出 DM 平面ABC,則 MFD為所成線面角 ，求出 max

15、即可求出tan最大值.【詳解】如圖，在矩形 ABCD中，過點(diǎn)D作AF的垂線交AF于。點(diǎn)，交AB于M點(diǎn)，設(shè)CF x(0 x 1), AM y由AF DM以及四邊形ABCD是矩形可知：DAM_ _ 2所以 y AM 他一- ( y 1)；DF 2 x 2FDA ,所以DAFDAMDA又在翻折后的幾何體中，AF OD,AF OM ,所以af 平面ODM ；所以平面ODM 平面ABC;又因?yàn)槠矫?ABD 平面ABC ,所以DM 平面ABC,連接MF ,則 MFD是直線FD與平面ABCF所成角，所以 MFD因?yàn)镈M.AD2 AM 21 y2，DFsinDMDFy4 y J(y2 成 7 又1 y2 1,

16、故當(dāng) y2 5sin有最大值30° ,即tan有最大值一 一 1.有最大值一，此時(shí)2【點(diǎn)睛】本題難度較難，主要考查平面中位置關(guān)系變換為空間中的位置關(guān)系以及線面角最值 的求解.處理類似問題的時(shí)候，一定要在平面圖形中將涉及到的各部分的長(zhǎng)度表示出來，這樣 在后面計(jì)算時(shí)也能更加方便；同時(shí)對(duì)于如何找到線面角：通過直線在平面外的一個(gè)點(diǎn)向平面 作垂線，垂足與直線在平面內(nèi)點(diǎn)的連線與該直線的夾角即為線面角三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列 an是公差不為零的等差數(shù)列，a1 = i,且a1，a3,a9成等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn 2

17、 an ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和&.【答案】(1) an= 1+(n1) x 1= n. (2) S1= 2n+1-2.【解析】【詳解】試題分析：(1)由題設(shè)知公差dW0,1 2d1 8d由a1=1, a1, a3, a9成等比數(shù)列得 d = H , 11 2d解得 d= 1, d= 0(舍去)，故an的通項(xiàng) an= 1 + ( n1) x 1= n.6 分(2)由(1)知2an=2n,由等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式得S1= 2 + 22 + 23+-+ 2n= 2 1 2 =2n+1-2. 12 分1 2考點(diǎn)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及前N項(xiàng)和點(diǎn)評(píng)：掌握等差、等比數(shù)列的概念及前N項(xiàng)和公式是此

18、類問題的關(guān)鍵。1_18.已知直線 11： ax 2y 1 0,與直線：x a 1 y - 0 . 2(1)若1i l2,求a的值；(2)若卜/小，求a的值.2【答案】(1) ； (2) 1.3【解析】【分析】a (注意是否重合)(1)根據(jù)垂直時(shí)直線的一般式方程中系數(shù)間的關(guān)系求解參數(shù)a ；(2)根據(jù)平行時(shí)直線的一般式方程中系數(shù)間的關(guān)系求解參數(shù)2【詳斛】(1) l1 l2a 2 a 1 0 a 3(2)l1/l2a a 12 a 2或a 1a 2時(shí)，l1/2重合，舍去，所以a 1.【點(diǎn)睛】已知直線11: AxBy C1 0 , l2:A2x B2y C20(AB 0,A3 0)：(1)若兩直線垂直

19、，則有:A1A2B1B20；(2)若兩直線平行，則有:A1B2A2B10 且 AC2A2C10.ADC90o, A45o, AB 2, BD19.在四邊形 ABCD中，5求 cos ADB ;(2)若 DC 2 金，求 BC .【答案】(1)二3； (2) 5.(1)在 ADB中通過正弦定理求解出 sinADB的值，再利用“平方和為1”以及角的范圍求解出cos ADB的值;(2)根據(jù)角度間關(guān)系得到 cos BDC與sinADB的關(guān)系，然后利用余弦定理求解 BC長(zhǎng)度.【詳解】(1)在abd,由正弦定理，得sin 45 sin AOB '.sin / ADB=,. /AD比90 , .co

20、s/ ADB= J1 sin2 ADB(2) / AD曰/ BDC= ,，cos/ BDC= cos( -Z ADB = sin / ADBcos/ BDC= cos(DC2 BD2 BC2/ADB=sin / ADB cos/ BDC= _2 BD DC,、,2 _ 8 25 BC22 5 2< 2【點(diǎn)睛】解三角形問題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)角度和為以及隱含條件內(nèi)角和為，將這些條件通2過三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式都可以得到另一種表示形式,要靈活使用:(1)若 A B ,則 sin( A) cos B 22(2)因?yàn)?ABC ，則 sin A sin(BC) sin(B C).20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A 1

21、,0與點(diǎn)B 2,0距離之比為2,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線 C.(1)求曲線C的方程;(2)過點(diǎn)P5, 4作曲線C的切線，求切線方程.【答案】(1)22x 3 y 4；(2)x 5 0 或 3x(1)根據(jù)距離比列出方程，然后化簡(jiǎn)方程;(2)先考慮斜率不存在的切線方程，再考慮斜率存在時(shí)的7s的距離等于半徑去求解.【詳解】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x,y ,則MA22_x 1y2, MBy2，所以,J 12 y24y 1 0 .圓心;斜率存在時(shí)2因此，動(dòng)點(diǎn) M的軌跡萬程為 x 34;(2)當(dāng)過點(diǎn)P的直線無斜率時(shí)，直線方程為 x 5 0,圓心C 3,0到直線x 5 0的距離等于2 ,此時(shí)直線x 50與曲線C

22、相切;當(dāng)切線有斜率時(shí)，不妨設(shè)斜率為k ,則切線方程為 y 4 k x 5,即kx y 5k 4 0 ,由圓心到直線的距離等于半徑可知,3k 5k 4所以，切線方程為3x 4y 1 0.綜上所述，切線方程為 x 5 0或3x 4y 1 0.【點(diǎn)睛】(1)軌跡方程問題，如果能使用定義法則用定義法求解，不能使用定義法就直接通 過列出題設(shè)中等量關(guān)系并化簡(jiǎn)求解；(2)求解圓的切線方程一定要注意直線斜率不存在的情況，斜率不存在可通過圓心與半徑去 判斷；如果開始沒發(fā)現(xiàn)斜率不存在的情況，那么最后求解時(shí)只會(huì)得到一個(gè)結(jié)果，這時(shí)候就需 要注意，肯定是存在斜率不存在的情況，需繼續(xù)分析 21.如圖，已知在直四棱柱 AB

23、CD AB1clD1中，AD DC, AB/DC,DC DD1 2AD 2AB = 2.(1)求證：DB 平面 B1BCC1 ；(2)求二面角A BD C1的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系得到 BD BC,再由直四棱柱得到 BD BB1，根據(jù)判定定理可得線面垂直;(2)通過DR DG的中點(diǎn)，作出二面角 Ai BD Ci的平面角，然后利用余弦定理求解出二面角的余弦值，最后再求正弦值 .【詳解】(1)設(shè)E是DC的中點(diǎn)，連結(jié)BE,則四邊形DABE為正方形，BE CD .故 BD 72，BC 22 CD 2, DBC 90o,即 BD BC .又 BD BB1, B1B BC B

24、. BD 平面 BCC1B1 ,(2)由(I)知 DB 平面 BCC1B1 ,又 BCi 平面 BCCiBi, BD BCi,取DB的中點(diǎn)F,連ZAF,又AD AB,則AF BD.FM BD .取DCi的中點(diǎn)M ,連結(jié)fm ,則FM PBCi,BD 平面 A1FMAFM為二面角A1 BD Ci的平面解 連結(jié) AM,在 VAFM 中，af 342.2FM -BC11 . BC2 CC2-62221, AM 33.9 3c一 一 3_2_2 二c 3 . 2 . 632 22取D£i的中點(diǎn)H ,連結(jié)A1H , HM , 在 RtVA1HM 中，QAH V2, HMAF2 FM 2 AM 2 cos AFM -2AF FM3 26sin AFM J ().33二面角A BD C1的正弦值為. 3直線與平面內(nèi)的兩條相交直線互