二階等差數(shù)列及其通項公式

1、二階等差數(shù)列及其通項公式1,2,4,7,11,16,22,1,3,6,10,15,21,28,1,3,7,13,21,31,43,通過觀察分析，也能發(fā)現(xiàn)上面三個數(shù)列有其內(nèi)在規(guī)律與特點，但若想輕易寫出通項公式卻有難處。本文旨在由等差數(shù)列推導(dǎo)出如、這樣的一類數(shù)列的通項公式，并給出一個相關(guān)定義。二、預(yù)備知識：1、等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列d,a?,，斗，從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)d,即a2-a1=a3-a2=an-an,1=d,則稱此數(shù)列為等差數(shù)列，常數(shù)d叫等差數(shù)列的公差。2、等差數(shù)列的通項公式：a=a1+（n-1）d,公差：d=a2-a.三、二階等差數(shù)列的定義及其通項公式

2、：a）定義：如果一個數(shù)列q,%,a3,，不，（）從第二項起，每一項與它的前一項的差按照前后次序排成新的數(shù)歹！J,即a?-an%-a2,包-a3,，4-an-3成為一個等差數(shù)歹U,則稱數(shù)列（）為二階等差數(shù)列。相應(yīng)地，d=（a3-戔）-（戔-a1）=a3+a1-2a2稱為二階等差數(shù)列的二階公差。顯然，依此定義可以判斷，、均是二階等差數(shù)列。其二階公差分別為1、1、2.說明：、為區(qū)別于二階等差數(shù)列，可把通常定義的等差數(shù)列稱為一階等差數(shù)列.、二階與一階等差數(shù)列的相互關(guān)系：二階等差數(shù)列不一定是一階等差數(shù)列， 但一階等差數(shù)列肯定是二階等差數(shù)列。b）二階等差數(shù)列的通項公式：設(shè)數(shù)列國，a3,，斗，是一個二階等差

3、數(shù)列，為了書寫的方便，我們記數(shù)列a2-alal，a a3-a-a4- -a3a3，a an- -a an-1，為bi,b2,b3，bn-i，（）即記bn=an+1-an,（nni,nZ）則數(shù)列（）是一個一階等差數(shù)列。顯然，對于數(shù)列（）,d=b2-b1=a1+a3-2a根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，則有bn=an+1-斗=b+（n-1）d,（n1,nZ）由此得，a+1=an+b1+（n-1）d依此規(guī)律，則有a2=a1+b1,%=a2+b/d,a4=a3+b1+2d,q=an-1+3+(n-2)d,由上面各式左右分別相加，可得,(n-1)(n-2)八an=ai+(n-1)口+-d,()2此即為二階等差數(shù)列的通項公式，其中，b1=a2-a1,注:bn=an+1-an,(n1,nZ)c)例證：對于數(shù)列，知a1=1,b1=1,d=1,則由公式()可得，q=1+同理可求知、的通項公式:n2n、2=2、an=n2-n+1由此通項