專題圓錐曲線測試解答題歷年全國卷理科原題

1、內(nèi)裝訂線內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線絕密啟用前2017-2018學年度圓錐曲線測試題理科考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1已知拋物線的焦點，直線與交于兩點，且，則直線的斜率可能為（ ）A. B. C. 1 D. 2已知橢圓的左右焦點分別為，過右焦點作軸的垂線，交橢圓于兩點.若等邊的周長為，則橢圓的方程為（ ）A. B. C. D. 3設雙曲線的離心率為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程是（ ）A. B. C.

2、 D. 4若中心在原點，焦點在軸上的雙曲線離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 5設點分別是雙曲線的左、右焦點，過點且與軸垂直的直線l與雙曲線C交于A，B兩點若的面積為，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D. 6若點到點的距離比它到直線的距離小于1，則點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 7一個橢圓中心在原點，焦點在軸上， 是橢圓上一點，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為（ ）A. B. C. D. 8設是橢圓的兩個焦點， 是橢圓上的一點，且到兩焦點的距離之差為2，則是（ ）A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 斜三角形 D. 鈍角三角形9雙曲線的焦點到其漸

3、近線的距離為（ ）A. B. C. D. 10如果橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題11過點的直線與橢圓交于兩點，且點平分弦，則直線的方程為_12已知圓及點， 為圓周上一點， 的垂直平分線交直線于點，則動點的軌跡方程為_13若橢圓兩焦點為， ，點在橢圓上，且的面積的最大值為12，則此橢圓的方程是_三、解答題14已知拋物線的標準方程是.（1）求它的焦點坐標和準線方程；（2）直線過已知拋物線的焦點且傾斜角為45°，且與拋物線的交點為，求的長度.15已知橢圓的一個焦點為，離心率為. 點為圓上任意

4、一點， 為坐標原點.（）求橢圓的標準方程； （）設直線經(jīng)過點且與橢圓相切， 與圓相交于另一點，點關于原點的對稱點為，證明：直線與橢圓相切.16設為拋物線的焦點， 是拋物線上的兩個動點.（）若直線經(jīng)過焦點，且斜率為2，求； （）若直線，求點到直線的距離的最小值.17（本小題滿分14分）已知橢圓過點，且離心率為（）求橢圓的方程；（）設直線與橢圓交于兩點若直線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，求的值18已知橢圓的左右焦點分別為， 若橢圓上一點滿足，且橢圓過點，過點的直線與橢圓交于兩點（1）求橢圓的方程；（2）若點是點在軸上的垂足，延長交橢圓于，求證： 三點共線19如圖， 是橢圓長軸的兩個端點， 是橢

5、圓上都不與重合的兩點，記直線的斜率分別是.（1）求證： ；（2）若，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標.20設F1、F2分別是雙曲線x2y29=1的左、右焦點.若點P在雙曲線上，且PF1PF2=0，求|PF1+PF2|的值.試卷第5頁，總6頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。參考答案1A【解析】設A、B兩點坐標分別為 ， 由題意，設直線AB的方程為，代入拋物線方程得： ，因為直線與拋物線有兩個交點，所以， ， ，把代入即可解得，故選A. 2A【解析】 由題意可得等邊的邊長為，則， 由橢圓的定義可得，即， 由，即有，則， 則橢圓的方程為，故選A3A【解析】由已知得拋物線的焦點為

6、,所以, ,所以,雙曲線的方程是.故選A.4B【解析】因為離心率，所以，又焦點在軸上，所以漸近線方程為，故選B5D【解析】設，則，。又，。該雙曲線的漸近線方程為。選D。點睛：雙曲線的漸進線是雙曲線的重要性質之一，也是高考的?？键c，題型一般以選擇題或填空題為主。求雙曲線的漸近線方程時，可利用轉化為關于的方程或不等式，其中常用到雙曲線漸近線的斜率與離心率的關系，即。6C【解析】 因為點到點的距離比它到直線的距離少1， 所以將直線右移1個單位，得到直線，即， 可得點到直線的距離等于它到點的距離， 根據(jù)拋物線的定義，可得點的估計是以點為焦點，以直線為準線的拋物線， 設拋物線方程為，可得，得， 所以拋物

7、線的方程為，即為點的軌跡方程，故選C7A【解析】 因為成等差數(shù)列， 是橢圓上的一點，所以，所以，設橢圓的方程為，則，解得，故橢圓的方程為，故選A 點睛：本題考查了橢圓的標準方程的求解及其幾何性質的應用，對于求橢圓的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)的關系，求出的值，同時解答中注意橢圓定義的應用，其中利用待定系數(shù)求解圓錐曲線的方程是常見的一種求解軌跡方程的重要方法8A【解析】 由橢圓的方程，可得，所以，則，由橢圓的定義得，又到兩焦點的距離之差為，不妨設，則，解得，又，所以，所以是直角三角形，故選A 點睛：本題主要考查了橢圓定義及標準

8、方程的應用，三角形形狀的判斷問題，解答的關鍵在于運用橢圓的定義列出方程組，得到三角形三邊的長度，即可確定三角形的形狀9A【解析】根據(jù)雙曲線的方程得到焦點為，漸近線為： ，根據(jù)點到直線的距離得到焦點到漸近線的距離為 故答案為：A。10A【解析】 設過點的直線與橢圓相交于兩點， 由中點坐標公式可得，則，兩式相減得，所以，所以直線的斜率，所以直線的方程為，整理得，故選A11【解析】設， ，根據(jù)中點坐標公式， ， ，且， ，兩式相減，化簡可得，所以，即直線的斜率為，根據(jù)點斜式，得到直線的方程為.點睛：過點的直線與橢圓交于兩點，且點平分弦。求直線方程，常用的方法是點差法：分別設出交點的坐標： 、，帶入橢

9、圓方程得到一個方程組，作差得到直線斜率和中點的關系： ，即,進而求出直線方程。12【解析】 由的垂直平分線交直線于點，得，圓的半徑為， 所以，故點的軌跡是以為焦點的雙曲線， 所以由題意的，所以， 焦點在軸上，故所求方程為 點睛：本題考查了定義法求解雙曲線的標準方程，要注意挖掘所給條件的幾何性質進行分析，對于軌跡方程的求解；直線過定點問題，常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立之間的關系(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程(4)代入(相關點)法：動點依賴于另一動點的變化而運動，常利用代入法求

10、動點的軌跡方程13【解析】 設點的坐標為，則，顯然取最大時，三角形面積最大，因為點在橢圓上，所以在軸上，此時最大， 所以點的坐標為，所以，因為，所以， 所以橢圓的方程為14(1)焦點為，準線方程： ；(2)12.【解析】試題分析：（1）拋物線的標準方程為，焦點在軸上，開口向右， ，即可求出拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）現(xiàn)根據(jù)題意給出直線的方程，代入拋物線，求出兩交點的橫坐標的和，然后利用焦半徑公式求解即可試題解析：（1）拋物線的標準方程是y2=6x，焦點在x軸上，開口向右，2p=6，=焦點為F（，0），準線方程：x=，（2）直線L過已知拋物線的焦點且傾斜角為45°，直線L的方程為

11、y=x，代入拋物線y2=6x化簡得x29x+=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12故所求的弦長為12點睛：本題考查了直線與怕西安的位置關系中的弦長公式的應用，本題的解答中根據(jù)直線過拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的定義，拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化同時如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化15（）（

12、）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質得到， ，進而求得方程；（2）由點P的坐標寫出直線PA，由相切關系得到，同理，由直線與橢圓也得到： ，再由，可化簡得到.解析：（）解：由題意，知， ， 所以， ， 所以橢圓的標準方程為.（）證明：由題意，點在圓上，且線段為圓的直徑， 所以. 當直線軸時，易得直線的方程為， 由題意，得直線的方程為，顯然直線與橢圓相切. 同理當直線軸時，直線也與橢圓相切. 當直線與軸既不平行也不垂直時，設點，直線的斜率為，則，直線的斜率，所以直線： ，直線： ，由 消去， 得. 因為直線與橢圓相切， 所以， 整理，得（1） 同理，由直線與橢圓的方程聯(lián)立， 得.（2

13、） 因為點為圓上任意一點， 所以，即. 代入（1）式，得， 代入（2）式，得 . 所以此時直線與橢圓相切. 綜上，直線與橢圓相切. 點睛：這個題目考查的是直線和圓錐曲線和圓的位置關系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結合來解決的，聯(lián)立的時候較少；還有就是在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值。16（）（）. 【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線和曲線得到二次方程，由弦長公式得到AB長度；（2）用點線距離公式得到， 是拋物線上的動點，得，二元化一元，求值域即可。解析：（）由題意，得，則直線的方程為. 由 消去，得. 設點

14、， ， 則，且， ， 所以. （）設， 則點到直線距離. 由是拋物線上的動點，得， 所以， 所以當時， . 即點到直線的距離的最小值. 點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用17（1）（2），或 【解析】試題分析：（）由橢圓過點，可得，再由離心率為結合，可求得，從而可得橢圓的方程；（）設直線的方程為，則， ，由 得，由

15、韋達定理、弦長公式結合，可得，解方程即可求得的值.試題解析：（）由題意得 ， ， 所以 因為 ， 所以 ，所以 橢圓的方程為 （）若四邊形是平行四邊形，則 ，且 . 所以 直線的方程為，所以 ， 設， 由 得， 由，得 且， 所以 . 因為 ， 所以 整理得 ， 解得 ，或 經(jīng)檢驗均符合，但時不滿足是平行四邊形，舍去所以 ，或 18（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可得，再通過點在橢圓上求得，進而得橢圓方程；（2）由題知直線的斜率必存在，設的方程為，點，直線與橢圓聯(lián)立得，由題可得直線方程為，由化簡直線方程為，令，可得直線過點，進而得證.試題解析：（1）依題意， ，故，將代入中

16、，解得，故橢圓；（2）由題知直線的斜率必存在，設的方程為，點，聯(lián)立得，即，由題可得直線方程為，又，直線方程為，令，整理得，即直線過點，又橢圓的右焦點坐標為， 三點在同一條直線上19(1)見解析(2) 直線PQ： 恒過定點【解析】試題分析：（1）用坐標表示，利用點在橢圓上易得結果；（2）由（）知： 設PQ： ，聯(lián)立方程得： ，借助韋達定理表示，從而得到，故直線PQ： 恒過定點.試題解析：（）設， ， ， （）由（）知： 設，直線PQ： ，代入，得， ， 由得： ，上式解出： ，直線PQ： 恒過定點點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及

17、的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).20210【解析】試題分析：根據(jù)雙曲線的定義|PF1|+|PF2|=2a=2。因為PF1·PF2=0，則PF1PF，所以焦點三角形PF1F2為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，在由|PF1+PF2|=(PF1+PF2)2可求.試題解析：由雙曲線x2-y29=1知：F1(-10,0),F2(10,0),2c=210,2a=2，PF1·PF2=0，|PF1|2+

18、|PF2|2=|F1F2|2=4c2=40，(PF1+PF2)2=|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=40，|PF1+PF2|=210.點睛：雙曲線C:x2a2y2b2=1上任意一點P與雙曲線的左右焦點F1,F2構成焦點三角形PF1F2，在解焦點三角形的相關問題時，常有技巧：(1)雙曲線的定義：|PF1PF2|=2a；(2)三角形的余弦定理：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|·|PF2|cos.圓錐曲線解答題（歷年全國卷理科）1、（2017全國）已知橢圓：（），四點，中恰有三點在橢圓上.（1）求的方程；（2）設直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點.若直

19、線與直線的斜率的和為1，證明：過定點.2、（2017全國）設為坐標原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足.（1）求點的軌跡方程；（2）設點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點. 3、（2017全國）已知拋物線：，過點的直線交于、兩點，圓是以線段為直徑的圓（1）證明：坐標原點在圓上；（2）設圓過點，求直線與圓的方程4、（2016全國）設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于、兩點，過做的平行線交于點E.（）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程。（）設點E的軌跡為曲線,直線交于、兩點，過且與垂直的直線與圓交于、兩點.，求四邊形面積的取值范圍。5、（2016全國）已知橢圓:的焦

20、點在軸上，是的左頂點，斜率為（）的直線交于、兩點，點在上，() 當=4時，時，求的面積（）當時，求的取值范圍。6、（2016全國）已知拋物線：的焦點為,平行于軸的兩條直線、分別交于、兩點，交的準線于、兩點.(1) 若在線段上，為的中點，證明：；(2) 若的面積是的兩倍，求中點的軌跡方程。7、（2015全國）在直角坐標系中，曲線：與直線：交于、兩點（）當時，分別求在和處的切線方程。（）軸上是否存在點,使得當變動時，總有?說明理由。8（2015全國）已知橢圓：，直線不過原點且不平行于坐標軸， 與有兩個交點、，線段中點為（）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值。（）若過點，延長線段與交于點，四邊形能

21、否為平行四邊形？若能，求此時的斜率；若不能，說明理由。9、（2014全國）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.() 求的方程；（）設過點的動直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求的方程.10、（2014全國）設,分別是橢圓C:的左,右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.（）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.11、（2013全國）已知圓M：(x1)2y2=1，圓N：(x1)2y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C（）求C的方程；（）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|. 12、（2013全國）平面直