2023新教材數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)--專題二基本不等式及不等式的應(yīng)用專題檢測題組

1、2023新高考數(shù)學(xué)第一輪專題練習(xí)2.2基本不等式及不等式的應(yīng)用一、選擇題1.(2022屆江西上饒期中,8)已知x,y>0,且3x+2y=1,則3x+2y的最小值是()A.25B.52C.20D.25答案D因為3x+2y=(3x+2y)·1=(3x+2y)3x+2y=9+4+6yx+6xy.因為x>0,y>0,所以yx>0,xy>0,所以3x+2y13+26yx·6xy=13+12=25.當(dāng)且僅當(dāng)6yx=6xy,即x=y時取等號,所以3x+2y的最小值為25.故選D.2.(2022屆江西新余月考,10)已知實數(shù)a>0,b>0,1a+1

2、+1b+1=1,則a+2b的最小值是()A.32B.22C.3D.2答案Ba+2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1)·1a+1+1b+1-3=a+1b+1+2(b+1)a+122,當(dāng)且僅當(dāng)a+1b+1=2(b+1)a+1時“=”成立,a+2b的最小值為22.3.(2021河南信陽模擬,3)下列不等式恒成立的是()A.a2+b22abB.a2+b2-2abC.a+b-2|ab|D.a+b2|ab|答案B對于A,由(a-b)20,知a2+b22ab,故A錯誤;對于B,由(a+b)20,知a2+b2-2ab,故B正確;對于C,當(dāng)a=0,b=-1時,a+b=-1,-2|

3、ab|=0,此時a+b<-2|ab|,故C錯誤;對于D,當(dāng)a=0,b=1時,a+b=1,2|ab|=0,此時a+b>2|ab|,故D錯誤.故選B.4.(2021河南焦作期中,2)設(shè)0<a<b<1且a+b=1,則下列四個式子中最小的是()A.aB.bC.2abD.a2+b2答案A0<a<b<1且a+b=1,0<a<12<b<1,a2+b2>2ab,四個選項中只需比較2ab與a的大小.2ab-a=a(2b-1)>0,2ab>a,a最小.思路分析根據(jù)條件可得出0<a<12<b<1,a2+

4、b2>2ab,然后作差即可得出2ab>a,從而可得答案.5.(2021黑龍江大慶期中,9)已知向量m=(1,a),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),若m·n=1,則1a+2b的最小值為()A.7B.72+23C.7+43D.43答案B由已知得m·n=2b-1+3a=1,即3a+2b=2,a>0,b>0,1a+2b=121a+2b(3a+2b)=123+4+2ba+6ab72+2ba·6ab=72+23,當(dāng)且僅當(dāng)2ba=6ab時,等號成立,1a+2b的最小值為72+23.6.(2020陜西咸陽一模,8)已知x+2y=xy(x

5、>0,y>0),則2x+y的最小值為()A.10B.9C.8D.7答案B由x+2y=xy(x>0,y>0),可得1y+2x=1,則2x+y=(2x+y)1y+2x=5+2xy+2yx5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx,即x=3,y=3時取等號,故2x+y的最小值為9.故選B.7.(2021蘭州診斷,11)已知函數(shù)f(x)=16x3-12ax2-bx(a>0,b>0)的一個極值點為1,則ab的最大值為()A.1B.12C.14D.116答案D由f(x)=16x3-12ax2-bx得f '(x)=12x2-ax-b,依題意有f '(1)=12-a

6、-b=0,即a+b=12,又a>0,b>0,所以12=a+b2abab116,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=14時取等號,即ab的最大值為116.故選D.8.(2022屆河南六市聯(lián)考,10)設(shè)a>0,b>0,a+b=1,則下列選項中錯誤的是()A.ab的最大值為14B.9a+4b的最小值是25C.ab+1ab的最小值為2D.(a+1)2+(b+1)2的最小值為92答案C對于A,aba+b22=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號,故A正確;對于B,因為a>0,b>0,a+b=1,所以9a+4b=9a+4b(a+b)=13+9ba+4ab13+29ba·4ab=25

7、,當(dāng)且僅當(dāng)9ba=4ab,a+b=1,即a=35,b=25時取等號,故B正確;對于C,由A可知令ab=t,t0,14,則y=t+1t在t0,14上為減函數(shù),所以在t=14時,ab+1ab取最小值174,故C不正確;對于D,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=a2+b2+42×a+b22+4=92,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號,故D正確.故選C.9.(2021屆廣東云浮9月月考,9)已知a>0,b>0,a+b=1,則下列結(jié)論中一定成立的是()A.a2+b2的最小值是12B.ab+1ab的最小值是2C.a+b的最大值是2D.4a+9b的最小值是25答案A

8、CDa>0,b>0,a+b=1,a2+b212(a+b)2=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,所以A中的結(jié)論一定成立,由已知得0<aba+b22=14,令ab=t,t0,14,則ab+1ab=t+1t,設(shè)y=t+1t,t0,14,y=t+1t在0,14上單調(diào)遞減,y14+114=174.所以B中的結(jié)論錯誤,由(a+b)22(a+b)=2得a+b2,所以C中的結(jié)論成立,由已知得4a+9b=4a+9b(a+b)=13+4ba+9ab13+236=25,當(dāng)且僅當(dāng)4ba=9ab時取等號,所以D中的結(jié)論成立,故選ACD.10.(多選)(2021山東菏澤一模,9)下列結(jié)論正確的是()A.xR

9、,x+1x2B.若a<b<0,則1a3>1b3C.若x(x-2)<0,則log2x(0,1)D.若a>0,b>0,a+b1,則0<ab14BD當(dāng)x<0時,x+1x為負(fù)數(shù),所以A錯誤;若a<b<0,則1b<1a<0,因為函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,所以f1a>f1b,即1a3>1b3,所以B正確;若x(x-2)<0,則0<x<2,所以log2x(-,1),所以C錯誤;若a>0,b>0,a+b1,則根據(jù)基本不等式有aba+b2,則0<aba+b2214,所以D正確,故選BD

10、.二、填空題11.(2022屆黑龍江大慶實驗中學(xué)月考,15)若函數(shù)f(x)滿足條件f(x)-4f1x=x(x0),則|f(x)|的最小值為. 答案415解析函數(shù)f(x)滿足條件f(x)-4f1x=x(x0),f1x-4f(x)=1x,f(x)=-415x-x15,|f(x)|=-415x-x15=415|x|+|x|152415|x|·|x|15=415,當(dāng)且僅當(dāng)415|x|=|x|15,即|x|=2,x=±2時取等號.12.(2022屆蘭州西北師大附中期中,15)已知二次不等式ax2+2x+b>0的解集為x|x-1a,且a>b,則a2+b2a-b的最

11、小值為. 答案22解析由題意可知,a>0,=4-4ab=0,ab=1且a>0,a>b,a-b>0.a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+2a-b=(a-b)+2a-b2(a-b)·2a-b=22,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=2時,等號成立.因此,a2+b2a-b的最小值為22.13.(2022屆河南名校聯(lián)盟11月月考,16)已知a>0,b0,且a+|b|=3,則9a+b+3|b|的最小值為. 答案3+23解析9a+b+3|b|=9a+3|b|+b|b|,當(dāng)b>0時,b|b|=1,當(dāng)b<0時,b|b|=-1.又9a

12、+3|b|=139a+3|b|(a+|b|)=13·12+9|b|a+3a|b|13×(12+63)=4+23,當(dāng)且僅當(dāng)9|b|a=3a|b|,即a=333+1,|b|=33+1時等號成立,所以當(dāng)a=333+1,b=-33+1時,9a+b+3|b|取得最小值,且最小值為3+23.易錯警示利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號,則這個定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.14.(2022屆江西新余月考,13)設(shè)0<m<12,若2m+21-2mk恒成立,則k的最大值為. 答案6+42解析0<m<12,1-2m&

13、gt;0,2m+21-2m=(2m+1-2m)42m+21-2m=4+2×2m1-2m+4(1-2m)2m+26+22×2m1-2m·4(1-2m)2m=6+2×22=6+42,當(dāng)且僅當(dāng)4m1-2m=4(1-2m)2m,即m=2-22時“=”成立.15.(2022屆北京科大附中10月月考,11)已知x>1,且x-y=1,則x+1y的最小值是. 答案3解析由x>1,x-y=1得x-1>0,y=x-1.x+1y=x+1x-1=x-1+1x-1+12(x-1)·1x-1+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時,等號成

14、立,故x+1y的最小值為3.16.(2022屆北師大實驗中學(xué)10月月考,13)若a+b=2,則3a+3b的最小值是. 答案6解析因為a+b=2,所以3a+3b23a·3b=23a+b=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時,等號成立,所以3a+3b的最小值是6.17.(2022屆清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試(10月),15)已知a>0,b>0,3a+2b=4,則2aa+1+32b的最小值為. 答案9+627解析設(shè)t=1a,a>0,t>0,則3t+2b=4,3(t+1)+2b=7,則2aa+1+32b=21+1a+32b=21+t+32b=17×

15、;3(t+1)+2b×21+t+32b=17×9+9(t+1)2b+4b1+t17×9+29(t+1)2b·4b1+t=9+627,當(dāng)且僅當(dāng)9(t+1)2b=4b1+t時取等號,所以2aa+1+32b的最小值為9+627.18.(2021廣東云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a1),若對任意的x11,2,都存在x2-1,2,使得f(x1)<g(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是. 答案0,14(2,+)解析由于f(x)=x2-2x+4在區(qū)間1,2上是增函數(shù),所以f(x)max=f(2)=4.(1)當(dāng)0<a<1時,g(x)=ax在區(qū)間-1,2上是減函數(shù),則g(x)=ax的最大值為g(-1)=1a,由已知得g(x)max>f(x)max,1a>4,可得0<a<14;(2)當(dāng)a>1時,g(x)=ax在區(qū)間-1,2上是增函數(shù),則g(x)=ax的最大值為g(2)=a2,由已知得g(x)max>f(x)max,a2>4,可得a>2.綜合(1)(2)可得,實數(shù)a的取值范圍是0,14(2,+).19.(20