初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題原因解析

1、 初中學(xué)生數(shù)學(xué)習(xí)題錯(cuò)誤原因及對(duì)策 一、知識(shí)性錯(cuò)誤及對(duì)策1、知識(shí)性錯(cuò)誤的概念知識(shí)性錯(cuò)誤是指對(duì)概念及性質(zhì)的認(rèn)識(shí)模糊不清導(dǎo)致的錯(cuò)誤；忽視公式，定理，法則的使用條件而導(dǎo)致的錯(cuò)誤；忽視隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤；遺漏或隨意添加條件導(dǎo)致的錯(cuò)誤。2、對(duì)策：正確看待學(xué)生的習(xí)題錯(cuò)誤，合理利用學(xué)生習(xí)題錯(cuò)誤資源錯(cuò)題和知識(shí)點(diǎn)是現(xiàn)象和本質(zhì)的關(guān)系。糾錯(cuò)是學(xué)習(xí)中不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)糾錯(cuò)可以幫助學(xué)生不斷完善認(rèn)識(shí)和理解概念，提高其解題的“免疫”力。一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)、念頭和做法，無(wú)不經(jīng)歷多次與錯(cuò)誤的周旋，所以在學(xué)習(xí)中要為學(xué)生開(kāi)辟好糾錯(cuò)的各種途徑。在教學(xué)中要寬容學(xué)生的錯(cuò)誤，重視錯(cuò)解中合理成分的提取和激活，使學(xué)生在心理上認(rèn)同和接受“糾錯(cuò)”，

2、并自覺(jué)對(duì)自己的想法和做法作出修正和調(diào)整。案例1：計(jì)算學(xué)生小A的解法：原式=2顯然有誤，有學(xué)生在下面轟笑。小A很尷尬。我問(wèn)：“錯(cuò)在哪？”生答：“張冠李戴了，把分式運(yùn)算當(dāng)成了解方程。”小A是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)不太敏感的女生，為了樹(shù)立小A學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，我決定幫她挽回一點(diǎn)面子。我說(shuō)：“小A把分式運(yùn)算當(dāng)成了解方程，顯然是錯(cuò)的，但給我們一個(gè)啟示，能否考慮利用解方程的方法來(lái)解它呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論，最后終于形成了以下解法：設(shè)去分母得：解得：錯(cuò)誤是極佳的學(xué)習(xí)契機(jī)， 教師既要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程中的錯(cuò)誤，讓學(xué)生提出不同解法并進(jìn)行比較，又要指出這種錯(cuò)誤解題過(guò)程中的合理成分，使產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的學(xué)生在實(shí)事求是的激勵(lì)性下接

3、受幫助。讓學(xué)生主動(dòng)參與找錯(cuò)、議錯(cuò)、評(píng)錯(cuò)、賞錯(cuò)，對(duì)學(xué)生來(lái)講是一種可貴的成功體驗(yàn)。有時(shí)課堂上的一些錯(cuò)誤反而會(huì)給課堂注入新的生命力。學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)誤是寶貴的教學(xué)資源，只有善待學(xué)生的錯(cuò)誤，給學(xué)生說(shuō)理的機(jī)會(huì)，才能充分挖掘錯(cuò)誤的根源，引領(lǐng)學(xué)生走向成功。這種教育的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝于直接告訴學(xué)生一個(gè)正確的結(jié)論。（第19題圖）已知：如圖，在中，求證：ABDC在課堂上教師可主動(dòng)暴露錯(cuò)誤過(guò)程，通過(guò)模擬錯(cuò)誤的思維和心理過(guò)程，再現(xiàn)學(xué)生各種可能的解題錯(cuò)誤，并找出錯(cuò)誤的原因，及時(shí)解決學(xué)生的解題困惑，從而從根本上清楚學(xué)生頭腦中錯(cuò)誤概念的信息。案例2：文文和彬彬在證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時(shí)，畫(huà)出圖形，寫(xiě)出“已知

4、”，“求證”（如圖），她們對(duì)各自所作的輔助線描述如下：文文：“過(guò)點(diǎn)A作BC的中垂線AD，垂足為D”；彬彬：“作ABC的角平分線AD”數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說(shuō)：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正”（1）請(qǐng)你簡(jiǎn)要說(shuō)明文文的輔助線作法錯(cuò)在哪里（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過(guò)程學(xué)生常會(huì)有以下三種典型的錯(cuò)誤，一是對(duì)問(wèn)題（1），由于學(xué)生平時(shí)只重視如何用尺規(guī)作中垂線，而忽略了做法本身的可行性。二是由于審題不仔細(xì)，誤將已知條件當(dāng)作結(jié)論，結(jié)果導(dǎo)致全盤錯(cuò)誤。三是由于此題是學(xué)生平時(shí)非常熟悉的，從而受思維定勢(shì)的影響，“想當(dāng)然”地給出答案，結(jié)果導(dǎo)致用定理本身來(lái)證明定理的錯(cuò)誤。因此平時(shí)教學(xué)必須

5、加強(qiáng)梳理知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)系統(tǒng)，而不是死記硬背去記憶定理。當(dāng)代科學(xué)家波普爾說(shuō)：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素”。因此，糾正錯(cuò)誤，弄清楚錯(cuò)誤之處，回憶解決問(wèn)題的結(jié)果和過(guò)程，找出錯(cuò)誤的根源，分析出錯(cuò)的原因，明確正確的解題思路和方法，這是培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性的重要途徑。尋找類同題，在可能的范圍內(nèi)，找出某錯(cuò)題所有相關(guān)的同類題，并針對(duì)同類習(xí)題進(jìn)行重點(diǎn)練習(xí)、解決。深入分析某錯(cuò)題誤解原因，如果是該錯(cuò)題所屬的知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有掌握，則找出該知識(shí)點(diǎn)的所有習(xí)題；如果因?yàn)樵擃}型的解題方法沒(méi)掌握，則找出所有同類題型。錯(cuò)誤重復(fù)現(xiàn)象的主要原因是在糾正錯(cuò)誤后，沒(méi)有及時(shí)地補(bǔ)救

6、性強(qiáng)化訓(xùn)練。通過(guò)同類題的練習(xí)，以鞏固新的“認(rèn)知平衡”和“認(rèn)知框架”，達(dá)到徹底糾正錯(cuò)誤，減少錯(cuò)誤重復(fù)的現(xiàn)象。對(duì)于屢次出錯(cuò)的問(wèn)題可嘗試讓學(xué)生按以下要求整理。項(xiàng)目分析復(fù)習(xí)時(shí)間錯(cuò)題出處頁(yè)碼：下次溫習(xí)此題的時(shí)間1：第2天2：第10天 3：第30天 題號(hào)：所屬知識(shí)點(diǎn) 章 節(jié) 知識(shí)點(diǎn)：錯(cuò)誤原因表面原因：深層原因：正確解法規(guī)律總結(jié)12尋找同類題目 頁(yè) 題： 頁(yè) 題： 課后建立個(gè)人錯(cuò)題檔案，定期開(kāi)展糾錯(cuò)交流，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常性反思錯(cuò)誤的成因，以提高自我診斷能力，優(yōu)化思維品質(zhì)。在每單元學(xué)習(xí)結(jié)束后，學(xué)生會(huì)積累了一些錯(cuò)題，同學(xué)之間可以交流一下解題經(jīng)驗(yàn)與技巧?？梢哉胰鍌€(gè)要好的同學(xué)開(kāi)一次錯(cuò)題分享會(huì)，每個(gè)人準(zhǔn)備兩道自己做錯(cuò)的

7、典型題目，與大家分享自己的錯(cuò)誤原因，同時(shí)與大家交流題目的正確解法、題目涉及知識(shí)點(diǎn)，同類題應(yīng)對(duì)方法等。針對(duì)某錯(cuò)題進(jìn)行講演是一種整合思維進(jìn)行表述的過(guò)程，可以考驗(yàn)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題所屬知識(shí)點(diǎn)的把握程度及對(duì)錯(cuò)題解析方法的清晰熟練程度。二、邏輯性錯(cuò)誤及對(duì)策1、邏輯性錯(cuò)誤的概念邏輯性錯(cuò)誤主要表現(xiàn)為思維混亂，推理不嚴(yán)，表達(dá)不清。數(shù)學(xué)推理必須嚴(yán)密周全，否則得出的結(jié)論就不準(zhǔn)確。有些學(xué)生思維發(fā)展水平低，思維離不開(kāi)具體的直觀對(duì)象的支撐；概括能力弱，對(duì)具體事物、表象進(jìn)行提升有障礙；推理能力弱，數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、方法準(zhǔn)備不足，推理思路不明；思維品質(zhì)差，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往只作膚淺的思考。2、對(duì)策：開(kāi)發(fā)典型試題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)變能力

8、，降低盲目解題出現(xiàn)的錯(cuò)誤教材中的例題和習(xí)題是經(jīng)過(guò)編者的精心挑選的，具有典型性、示范性，同時(shí)也給教師留下了廣闊的創(chuàng)造空間，只要我們認(rèn)真專研，許多例題、習(xí)題都可以拓展延伸，類比遷移，減少盲目解題出現(xiàn)的錯(cuò)誤。案例3：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所所在直線的位置關(guān)系 （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系； 將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方

9、法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷。（2）將原題中正方形改為矩形，且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab,k0)，第(1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 (3)在第(2)題圖5中，連結(jié)DG,BE,且a=3,b=2,k=0.5,求BE2+DG2的值圖11圖2圖3圖6圖4圖5此題從探索AF與BD的數(shù)量關(guān)系到探索它們的位置關(guān)系，從特殊的A、B、C三點(diǎn)共線到一般情形的不共線，又從正方形背景推廣到以相似矩形為背景，能很好的培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比等數(shù)學(xué)合情推理、提出猜想和運(yùn)用邏輯推理證明猜想的能力，能體會(huì)到特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)動(dòng)

10、變化思想，動(dòng)靜結(jié)合，在運(yùn)動(dòng)變化中尋求不變。“選題不在難，有思想方法則靈；做題不在多，典型變形就行”，在我們的教學(xué)中，要發(fā)揮教材對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性和示范性作用，以教材為源，以學(xué)生為本，在深入研究的基礎(chǔ)上循序漸進(jìn)地開(kāi)展變式訓(xùn)練。利用變式來(lái)改變題目的條件或結(jié)論，揭示條件、目標(biāo)間的聯(lián)系，解題思路中方法之間的聯(lián)系與規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、推理、歸納、探索的思維能力，把學(xué)生的思維不斷引向深入。在教師的熏陶下讓學(xué)生也學(xué)會(huì)“變題”，讓學(xué)生自己去探索、分析、綜合，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從一個(gè)問(wèn)題入手，挖掘其內(nèi)涵，進(jìn)行必要的、科學(xué)的引申，不但可以提高解題能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，還可以培養(yǎng)聯(lián)想能力，滲透類比思

11、想，可以讓相關(guān)、相似知識(shí)的規(guī)律性內(nèi)化為學(xué)生的知識(shí)與能力。從而使學(xué)生達(dá)到“解一題，帶一串，通一類”的理想境界。三、策略性錯(cuò)誤及對(duì)策1、策略性錯(cuò)誤的概念策略性錯(cuò)誤是指解題思路阻塞或一種策略產(chǎn)生錯(cuò)誤導(dǎo)向，或是一種策略明顯增加了過(guò)程的難度和復(fù)雜性，由于時(shí)間的限制，問(wèn)題最終得不到解決。2、對(duì)策：多角度思考問(wèn)題，多途徑解決問(wèn)題數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)會(huì)如何解數(shù)學(xué)習(xí)題，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”。 “是什么促使你這樣想、這樣做的？”，“是怎樣想到這個(gè)解法的？”“為什么要這樣做？”等層面的問(wèn)題都屬于思維策略問(wèn)題。思維策略能力是解題能力的核心。光有基礎(chǔ)知識(shí)、具體方法和經(jīng)驗(yàn)是不夠的，為判斷用什么方法、用什

12、么知識(shí)必須對(duì)問(wèn)題解剖、識(shí)別、加工、組織并創(chuàng)造條件，即必須具有定的思維策略能力。有時(shí)解題受阻的原因并非知識(shí)缺乏，而在于沒(méi)有正確的解題策略，導(dǎo)致盲目解題，致使解題陷入混亂招致失敗。 案例4：如圖，AD和AE分別是ABC的內(nèi)、外角平分線，且ACB-B=900.求證：AD=AE.一般性解題策略：怎樣說(shuō)明AD=AE呢？說(shuō)明兩條邊相等有哪些方法？試試這些方法，在本題中用哪些方法好？功能性解題策略：嘗試用等角對(duì)等邊來(lái)說(shuō)明它?？梢酝ㄟ^(guò)已知條件來(lái)計(jì)算ADC和E，或用已知角來(lái)表示它們。特殊性解題策略：怎樣計(jì)算或表示呢？把已條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式！“解題的價(jià)值不在于答案本身，而是在于弄清是怎樣想到這個(gè)解法的”。教學(xué)中

13、忌就題論題地給出解答并演練，要展現(xiàn)思路尤其是思路的尋找過(guò)程。我們反對(duì)只重結(jié)果，不注重學(xué)習(xí)過(guò)程；只重死記硬背，不注重內(nèi)化學(xué)習(xí)；只重機(jī)械訓(xùn)練，不注重體驗(yàn)反思的教學(xué)。對(duì)學(xué)生解題思維策略能力的培養(yǎng)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面。四、心理性錯(cuò)誤及對(duì)策1、心理性錯(cuò)誤的概念心理性錯(cuò)誤主要表現(xiàn)為缺乏堅(jiān)強(qiáng)的意志和信心，具有依賴心理，缺乏主動(dòng)鉆研精神；急功近利，急于求成，盲目下筆，導(dǎo)致解題出錯(cuò)的急躁心理現(xiàn)象。數(shù)學(xué)解題除需扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能和較強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力之外，還需要有良好的心理素質(zhì)，否則既使知識(shí)技能掌握得不錯(cuò)，也可能因?yàn)樾睦碚系K而產(chǎn)生錯(cuò)誤。2、對(duì)策：尊重差異，實(shí)施分層教學(xué)，為學(xué)困生創(chuàng)設(shè)成功機(jī)會(huì)學(xué)生的個(gè)體差異

14、表現(xiàn)為認(rèn)知方式與思維策略的不同，以及認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力的差異。教師要及時(shí)了解并尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要。教學(xué)中尊重學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的不同水平。問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的策略，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略。對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，教師要給予及時(shí)的關(guān)照與幫助，要鼓勵(lì)他們主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，嘗試著用自己的方式去解決問(wèn)題，發(fā)表自己的看法。設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)要從學(xué)生認(rèn)知實(shí)際出發(fā)，設(shè)置多個(gè)臺(tái)階，分步到位，情境啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生嘗試探索。案例5：教學(xué)最終目標(biāo)是解決以下問(wèn)題：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，求其余兩個(gè)角

15、的度數(shù)。如果直接給出上述問(wèn)題，由于問(wèn)題有一定的難度，勢(shì)必會(huì)造成很多學(xué)生無(wú)法參與，故我把它分解成以下三小問(wèn)題：（1）已知等腰三角形的一個(gè)底角為，求其余兩個(gè)角的度數(shù)。（2）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，求其余兩個(gè)角的度數(shù)。（3）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，求其余兩個(gè)角的度數(shù)。我們知道，在（1）中只有一種情況；在（2）中，要考慮這個(gè)角是底角還是頂角；在（3）中，角只能是頂角，因?yàn)榈捉遣豢赡苁氢g角。在解決這三個(gè)問(wèn)題后，此時(shí)教師提出（4）：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，求其余兩個(gè)角的度數(shù)。這樣，問(wèn)題變得較為清晰，學(xué)生從（1）、（2）、（3）的解決中得知，此處的應(yīng)考慮和90兩種情況，而在時(shí)，又要考慮這個(gè)角是頂

16、角還是底角。于是，問(wèn)題的討論變得清晰與自然，分類討論的數(shù)學(xué)思想也已滲透其中。根據(jù)循序漸進(jìn)原則，編排以上有層次的練習(xí)，為學(xué)生創(chuàng)造了成功的可能。特別地，為學(xué)困生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功機(jī)會(huì)，逐步樹(shù)立起他們的學(xué)習(xí)信心。也體現(xiàn)了課標(biāo)所倡導(dǎo)的“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展 ”。由上述可知：教師若能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對(duì)做過(guò)的習(xí)題進(jìn)行反思、對(duì)比、歸納、提煉，學(xué)生的解題能力必將會(huì)提高。在平時(shí)的教學(xué)中我們可通過(guò)以下方面培養(yǎng)學(xué)生的反思品質(zhì)。思規(guī)律：數(shù)學(xué)活動(dòng)后，引導(dǎo)學(xué)生反思，歸納和揭示活動(dòng)中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律。思體系：新知識(shí)形成后，引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，知識(shí)體系系統(tǒng)化。思因果：例題教學(xué)后，引導(dǎo)學(xué)生思考在解題過(guò)程中用了哪些知識(shí)點(diǎn)，前后知識(shí)如何貫通，歸納其中用到的知識(shí)、解決問(wèn)題的思路和方法、解題的基本步驟和書(shū)寫(xiě)建議，形成正確的解題策略。思變通：鞏固練習(xí)后，對(duì)典型習(xí)題要適當(dāng)變化、引申、拓展，以拓寬思路，擴(kuò)大做習(xí)題的收獲。思多解：對(duì)用多種方法解決的問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析比較各種方法的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，總結(jié)解題方法，揭示解法的本質(zhì)、尋求最佳解法，使學(xué)生的發(fā)散思維得以收斂，張揚(yáng)的個(gè)性得以升華。提倡解題以后的數(shù)學(xué)思想方法的反