矩陣的逆及其應(yīng)用

1、矩陣的逆及其應(yīng)用姓名：劉欣班級(jí)：14級(jí)數(shù)計(jì)1班專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)：1408020129一、矩陣的逆的概念對(duì)于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使得AB=BA=E,則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為-1A的逆矩陣，A的逆矩陣記作Ao二、逆矩陣的性質(zhì)和定理逆矩陣的性質(zhì)1、 若矩陣A、B均可逆，則矩陣AB可逆，其逆矩陣為B一】AT,當(dāng)然這一性質(zhì)可以推廣到多個(gè)矩陣相乘的逆。若A,，A都是n階可逆矩陣，則1zm1AA.A也可逆，且(AAA)=1zm1im-1-1-I(A).(A)(A).m212、 若A可逆，則A一】也可逆，且(A-1)"1=A；3、 若A可逆，實(shí)數(shù)AW0,貝認(rèn)A可逆，且

2、(AA)二二A一1；A-1T4、 若A可逆，則A11也可逆，且(AD=(A-1)；(A')t=(AT)'；6、 矩陣的逆是唯一的；證明：運(yùn)用反證法，如果A是可逆矩陣，假設(shè)B工都是A的逆，則有AB=BA=E=AC=CA,B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C(與BWC矛盾)，所以是唯一的。逆矩陣的定理1、初等變換不改變矩陣的可逆性。2、 n階矩陣可逆的充分必要條件是A與n階單位陣I”等價(jià)。3、 n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表成一些初等矩陣的乘積。4、 n階矩陣可逆的充分必要條件是A只經(jīng)過一系列初等行變換便可化成單位矩陣。5、 n階矩陣A可逆的充分必要條件是|A|

3、65;0。三、逆矩陣的計(jì)算方法(一)定義法定義：設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB=E,那么A稱為可逆矩陣，B稱為A的逆矩陣，記為人一二(2231-10的逆矩陣。解：IAIW0AA存在-1X”X,由定義知AA=E,444J由矩陣乘法得X32X33J2x+2x+3x1444J4<2x,+2x21+3x31xn-x2.-X.1+2X2.+X31'X11=xot=-1Xcc=6Xcc=4k3132k33/1-4-3故A-1=1-5-3fX12=-JnxmX13=-l64/（二）、伴隨矩陣法n階矩陣A=(a,J可逆的充要條件IAIWO,而且當(dāng)n(n>=2)階矩陣A有逆矩陣，

4、1*A=3A,其中A為伴隨矩陣。lAl注釋：對(duì)于階數(shù)較低(一般不超過3階)或元素的代數(shù)余子式易于計(jì)算的矩陣可用此法求其逆矩陣，注意A*=(A)元素的位置及符號(hào)。特別對(duì)于2階方陣A由矩陣相乘可解得Jx=l;|x=_5；,x=34JL4乙J4其伴隨矩陣A*=即伴隨矩陣具有“主對(duì)角元素互換，次對(duì)角元素變號(hào)”的規(guī)律。對(duì)于分塊矩陣（;不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣。01一例2、已知10,求人一，2-5/解：.|A|=2W0A可逆，由已知得1=5,A12=l0,A13=7A21=2,A222,鼠231,A=2,AJ/ooA311、行（列）初等變化法設(shè)n階矩陣A,作nX2n矩陣，然后對(duì)此矩陣施以行初等-1變換，若

5、把子塊A變?yōu)镮n，則子塊I口將變?yōu)锳,即初等變nn換E,A-1L注釋：對(duì)于階數(shù)較高（n工3）的矩陣，采用初等行變換求逆矩陣一般比用伴隨矩陣法簡(jiǎn)便，在用上述方法求逆矩陣時(shí),只允許施行初等行變換。也可以利用(j)吧竺營求得A的逆矩陣。當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，可以利用,C、初等行變換(A,B)>L-1/A初等列變換E,AB),圖一E_J求得CA/-11AB和CA,這一方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要求出A的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法1-I僅通過初等變換，即求出了AB和CAo/23例3、用初等行變換求矩陣A=(011231的逆矩陣。解：(A,E)=01000150°I、30101-1-111-663J、用分塊矩陣

6、求逆矩陣設(shè)A、B分別為P、Q階可逆矩陣，貝IJ：求Ao/00：005A=1-2:11；/005,心002例4、已知A=1-20110解：將A分塊如下:42=（；-J可求得-25解方程組求逆矩陣根據(jù)可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣，且上（下）三角矩陣逆矩陣主對(duì)角元分別為上（下）三角矩陣對(duì)應(yīng)的1.主對(duì)角元的倒數(shù)，可設(shè)出逆矩陣的待求元素；又由AA=E兩端對(duì)應(yīng)元素相等，依次可得只含有一個(gè)待求元素的方程，因而待求元素極易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩陣的逆矩陣。解:設(shè)A21的逆矩陣。-1，先求出A中主對(duì)角線卜的次對(duì)角線上的元素X,X,x,最后求x,設(shè)E為/IJ/H14階單位矩陣，比較

7、(1000/11X217001X31X32T02V110002=E的兩端對(duì)應(yīng)1 302 14/元素，得到0X41+0X42+3X43+7=0；解得乂43=一卷；1+2+9+10=0；解得*43=-；0X41+2X42+1X43+7=0；解得X42=-；IX41+IX42+2X43+9=0；解得X43=-(/100011八八_1一萬萬00于是，所求的逆矩陣為：A=1-02631511777/便、用克萊姆法則求解a11x1+a2x2+a1nxn=ba2ix|+a22X2+2的系數(shù)行列式D8nlXl+an2X24-annXn=bn=Ia.I¥0,則此方程組有唯一的一組解1JnD,DoDX=

8、,x2=x門=-5-,這里Dj是將D中的第i歹|Ja,a.換成b,b得到的行列式。11n11n（七）、恒等變形法求逆矩陣有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無關(guān)，但實(shí)質(zhì)上只有求出矩陣的逆矩陣才能算出來，而求逆矩陣須對(duì)所給的矩陣等式恒等變形,且常變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式。（A）、用Hamilton-Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理：設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣nnf(A)=1入E-AI=A+aJA+Hn+an為A的特征多項(xiàng)式，則：f(A)=|AE-A|=An+a1An-1+-.anA+anE=O于是(A+aAan1n-2+3n-1E)因此A1=(An1+aan+an_1E)

9、（加、三角矩陣的一種求逆法如果n階矩陣T=（上122tln-iLn12n-1t2n可逆，那么他的逆矩陣是T二1111a120t220aln-l11aln22a2n-lHdzn其中1。端)Hii+1=-tj+li+1X=1,2,111)/+it,%一£jvkvja甘tiktkk,。1,2,，n2jj3,4,n)（十）、拼接新矩陣在可逆矩陣A的右方補(bǔ)上一個(gè)單位矩陣E,在A的下方補(bǔ)加上一個(gè)負(fù)單位矩陣-E,再在A的右下方補(bǔ)加上一個(gè)零矩陣0，從而得到一個(gè)新的方陣，對(duì)該方陣施行第三種行的初等變換，使其負(fù)單位矩陣E化為零矩陣，那么原來的零矩陣0所化得的矩陣就是所要求的那逆矩陣Ao四、矩陣的逆的應(yīng)用

10、(1)逆矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用設(shè)用矩陣表示的方程組為AX=B,其中A=a/nxnX=xix2xnTB=bib2bnT若A可逆fX二A1B注：利用逆矩陣求解要求方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，且矩陣A可逆，否則此法失效。而Gauss消元法對(duì)方程組個(gè)數(shù)與未知元個(gè)數(shù)不等時(shí)仍適用(此時(shí)有可能不相容或有無窮多個(gè)解)。且Gauss消元法特別適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。(2)逆矩陣在求矩陣的秩中的應(yīng)用設(shè)A是mXn矩陣，P和Q分別是m階和n階可逆矩陣，則r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n階矩陣A的秩為n-|A|W0-A可逆。(3)逆矩陣在信息科學(xué)中的應(yīng)算法的加密原理信息發(fā)送端首先根據(jù)密鑰矩陣A的階數(shù)(|A|

11、中)，將明文轉(zhuǎn)換為n維數(shù)向量X,然后將X與A相乘得到密文Y,既Y二AX,再將Y發(fā)送，信息端接受到Y(jié)后，則利用密鑰矩陣A-Y=A-iAX=X。加密通信模型基于加密技術(shù)的保密通信模型，發(fā)送方采用某種算法將明文數(shù)據(jù)加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接收方，接收方則可以采用相對(duì)應(yīng)的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明文數(shù)據(jù)。密鑰的生成如何快速而有效地構(gòu)造一個(gè)可逆矩陣作為加密密鑰和求出其逆矩陣作為解密密鑰是利用可逆矩陣實(shí)現(xiàn)保密通信的關(guān)鍵。1,加密密鑰的生成初等矩陣都是可逆的，而且初等矩陣的乘積仍然是可逆的。因此通信中可以考慮利用若干個(gè)初等矩陣的乘積作為加密編碼矩陣。它的生成方法如下：從單位矩陣出發(fā)，反復(fù)運(yùn)用第一類和第三類初等變換矩陣去乘它，而其中的乘數(shù)K必須取整數(shù)。這樣得到的矩陣將滿足I-1A|=±1,而A也將具有整數(shù)元素。通常所謂的矩陣的三種基本類型的初等變換如下：i .交換兩行或兩列；ii .數(shù)乘某一行或某一列；迨.將某一行（或某一列）的K倍加到另一行（或另一列）上；實(shí)質(zhì)