中考數(shù)學(xué)四邊形壓軸題+解析

1、九年級(jí)上冊(cè)四邊形壓軸題2.解答題（共30小題）1. （2009臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn)./AEF=90；且EF交正方形外角 /DCG的平分線 CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF圖1圖2圖m經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證 AME0ECF 所以 AE=EF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把 熏E是邊BC的中點(diǎn)”改為熏E是邊BC上（除B, C外） 的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論 AE=EF5然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎如果正 確，寫出證明過程；如果

2、不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除 C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變， 結(jié)論AE=EF5然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎如果正確，寫出證明過程；如果不正確， 請(qǐng)說明理由.2. （2009寧德）如圖（1）,已知正方形 ABCD在直線 MN的上方，BC在直線 MN上，E是 BC上一點(diǎn)，以 AE為邊在直線 MN的上方作正方形 AEFG（1）連接 GD,求證： AADGAABE;（2）連接FG觀察并猜測(cè)/FCN的度數(shù)，并說明理由；（3）如圖（2）,將圖（1）中正方形 ABCD改為矩形 ABCD, AB=a, BC=b）（a、b為常數(shù)），E 是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)

3、B、C）,以AE為邊在直線 MN的上方作矩形 AEFG使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ FCN的大小是否總保持不變?nèi)?/ FCN 的大小不變，請(qǐng)用含 a、b的代數(shù)式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小發(fā)生改變，請(qǐng)舉例 說明.圖3. (2009黃石)如圖， ABC中，點(diǎn)。是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 O作直線 MN/ BC,設(shè)MN 交/ BCA的平分線于點(diǎn)E,交/ BCA的外角平分線于點(diǎn) F.(1)探究：線段 OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 BCFE會(huì)是菱形嗎若是，請(qǐng)證明；若不是，則說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且 ABC滿足什么

4、條件時(shí)，四邊形AECF是正方形4. (2009無錫校級(jí)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別以每秒2個(gè)單位、1個(gè)單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)，以 OA、OC為邊作矩形 OABC.以M (4, 0) , N (9, 0)為斜邊端點(diǎn)作直角 PMN,點(diǎn)P在第一象限，且tan/PM距; 當(dāng)點(diǎn)A出發(fā)時(shí)，4PMN同時(shí)以每秒個(gè)單位的速度沿 x軸向右平移.設(shè)點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒，矩形 OABC與4PMN重疊部分的面積為 S.(1)求運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t的取值范圍；(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，要使對(duì)角線 AC上始終存在點(diǎn) Q,滿足/ OQ

5、M=g0 ,請(qǐng)直接寫出符 合條彳的t的值或t的取值范圍.了小5. (2008北京)請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A, B, E在同一條直線上，P是線段DF的 中點(diǎn)，連接PG, PC.若/ABC=/ BEF=60,探究PG與PC的位置關(guān)系及的值.小聰同學(xué)的思路是： 延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：(1)寫出上面問題中線段 PG與PC的位置關(guān)系及的值；(2)將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD 的邊AB在同一條直線上，原問題中白其他條件不變(如

6、圖2).你在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化寫出你的猜想并加以證明；(3)若圖1中/ABC=/ BEF=2% (0AB),將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開，折痕 EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF和CE.(1)求證：四邊形 AFCE是菱形；(2)若 AE=10cm, ABF的面積為 24cm2,求 ABF的周長(zhǎng)；(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn) P,使得2AE2=acap若存在，請(qǐng)說明點(diǎn) P的位置，并予以 證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.B F C7. (2008嘉興)小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問題，請(qǐng)你幫助解決：(1)如圖1,正方形 ABCD中，作 AE交B

7、C于E, DFLAE交AB于F,求證：AE=DF;(2)如圖2,正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在 AD, BC上，點(diǎn)G, H分別在AB, CD上，且EFl GH,求的值；(3)如圖3,矩形ABCD中，AB=a, BC=b，點(diǎn)E, F分別在 AD, BC上，且EFGH,求的值.BEC B FC圖L圖2A2? A E D A EDABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接,都有 ADQABQ;8. (2008寧夏)如圖，在邊長(zhǎng)為 4的正方形DP交AC于點(diǎn)Q.(1)試證明：無論點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的工；(3)若點(diǎn)P從

8、點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn) P運(yùn) 動(dòng)到什么位置時(shí)， 4ADQ恰為等腰三角形.9. （2008昌平區(qū)二模） 如圖，已知 ABC的頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)（不在直線 BC上）， B是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，C是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接 BC、CB、BB、CC. （1）猜想線段BC與CB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到怎樣的位置時(shí)，四邊形 BCB2菱形這樣的位置有幾個(gè)請(qǐng)用語言對(duì)這樣 的位置進(jìn)行描述（不用證明）；（3）當(dāng)點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線（BC的中點(diǎn)及到BC的距離為的點(diǎn)除外上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判 斷以點(diǎn)B、C、B、C為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，畫出

9、相應(yīng)的示意圖.（不用證明）10. （2007常德）如圖1,已知四邊形 ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接BG交AC于F,過F作FH/ CD交BC于H,可以證明結(jié)論瞿增成立.（考生不必證明） AB bG（1）探究：如圖2,上述條件中，若 G在CD的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是否 成立若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（2）計(jì)算：若菱形 ABCD中AB=6, / ADC=60 , G在直線CD上，且CG=16,連接BG交AC 所在的直線于 F,過F作FH/ CD交BC所在的直線于 H,求BG與FG的長(zhǎng).（3）發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí)，結(jié)論四2曳還成立嗎

10、AB BG11. （2007 宜昌）如圖 1,在 4ABC中，AB=BC=5 AC=6. AECDAABC沿 BC方向平移得 到的，連接AE. AC和BE相交于點(diǎn)O.（1）判斷四邊形 ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；(2)如圖2, P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(圖2),(不與點(diǎn)B、C重合)，連接PO并延長(zhǎng)交線段 AE于點(diǎn)Q, QR，BD,垂足為點(diǎn)R.四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出 四邊形PQED的面積； 當(dāng)線段BP的長(zhǎng)為何值時(shí)， 4PQR與BOC相似.12. (2007濰坊)已知等腰 4ABC中，AB=AC, AD平分/ BAC交BC于D點(diǎn)，在線段

11、AD上 任取一點(diǎn)P (A點(diǎn)除外)，過P點(diǎn)作EF/ AB,分別交 AC, BC于E, F點(diǎn)，作PM/ AC,交AB 于M點(diǎn)，連接ME.(1)求證：四邊形 AEPM為菱形；(2)當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形 AEPM的面積為四邊形 EFBM面積的一半13. (2007 永州)在梯形 ABCD中，AB/ CD, / ABC=90, AB=5, BC=10, tan/ADC=2.(1)求DC的長(zhǎng)；(2) E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)為梯形外一點(diǎn)，若 BF=DE / FBC=Z CDE,試判斷4ECF的形狀, 并說明理由.(3)在(2)的條件下，若 BEX EC, BE: EC=4: 3,求DE的長(zhǎng).14. (2007常

12、州)已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn) E, G, H分別在正方形 ABCD邊AB, CD, DA上，AH=2,連接CF.(1)當(dāng)DG=2時(shí)，求4FCG的面積；(2)設(shè)DG=x,用含x的代數(shù)式表示 4FCG的面積；(3)判斷4FCG的面積能否等于1,并說明理由.15. (2007海南)如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)F在CD邊上，射線 AF交BD于點(diǎn)E,交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：ADECDE;(2)過點(diǎn)C作CH，CE,交FG于點(diǎn)H,求證：FH=GH;(3)設(shè)AD=1, DF=x,試問是否存在x的值，使4ECG為等腰三角形若存在， 請(qǐng)求出x的值； 若不存在，請(qǐng)說

13、明理由.16. (2007哈爾濱)如圖1,在正方形 ABCD中，對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) E, AF平分/ BAC, 交BD于點(diǎn)F.(1)求證：ef+Uc=ab； 2(2)點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，同時(shí)點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)， 沿著BA的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 。與A1的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) C1停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn) A1 也隨之停止運(yùn)動(dòng).如圖 2, A1F1平分/ BA1C1,交BD于點(diǎn)F1,過點(diǎn)F1作F1E1LA1C1,垂足為日，請(qǐng)猜想E1F1, EA1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在(2)的條件下，當(dāng) A1E1=3,。日=2時(shí)，求BD的長(zhǎng).17.

14、 (2006 河南)如圖 4ABC中，/ACB=90度，AC=2, BC=3. D是 BC邊上一點(diǎn)，直線 DEX BC 于D,交AB于點(diǎn)E, CF/ AB交直線 DE于F.設(shè)CD=x.(1)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形 EACF是菱形請(qǐng)說明理由；18. (2006溫州)如圖，在 ABCD中，對(duì)角線 AC BC, AC=BC=2動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿 AC 向終點(diǎn)C移動(dòng)，過點(diǎn) P分另1J作PM /AB交BC于M, PN/ AD交DC于N.連接AM .設(shè)AP=x(1)四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形 PMCN的面積與4ABM的面積相等19. (2006沈陽)如圖1,在正

15、方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊 BG CD的中點(diǎn)，AF、DE 相交于點(diǎn)G,則可得結(jié)論：AF=DE,AFLDE (不須證明).(1)如圖，若點(diǎn)E、F不是正方形 ABCD的邊BC CD的中點(diǎn)，但滿足 CE=DF則上面的 結(jié)論、是否仍然成立；(請(qǐng)直接回答 成立”或不成立”)(2)如圖，若點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和 DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF 此時(shí)上面的結(jié)論 、 是否仍然成立若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由.(3)如圖，在(2)的基礎(chǔ)上，連接AE和EF,若點(diǎn) M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點(diǎn)，請(qǐng)先判斷四邊形 MNPQ是 矩形、菱形、正方形、等腰梯

16、形 ”中的哪一種，并寫 出證明過程.20. (2006成都)已知：如圖，在正方形 ABCD中，AD=12,點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) E 不與端點(diǎn)C, D重合)，AE的垂直平分線 FP分別交AD, AE, BC于點(diǎn)F, H, G,交AB的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)P.(1)設(shè)DE=m (0vmv12),試用含 m的代數(shù)式表示的值；(2)在(1)的條件下，當(dāng)時(shí)，求 BP的長(zhǎng).21. (2006汾陽市)如圖，點(diǎn) (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到E在正方形 ABCD的邊CD上運(yùn)動(dòng)，AC與BE交于點(diǎn)F.DC的中點(diǎn)時(shí)，求 4ABF與四邊形ADEF的面積之比；CE ED=2: 1時(shí)，求4ABF與四邊形

17、ADEF的面積之比；(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE: ED=3: 1時(shí)，寫出4ABF與四邊形ADEF的面積之比；當(dāng)點(diǎn) E運(yùn)動(dòng) 到CE ED=n： 1 (n是正整數(shù))時(shí)，猜想 4ABF與四邊形ADEF的面積之比(只寫結(jié)果，不(4)請(qǐng)你利用上述圖形，提出一個(gè)類似的問題要求寫出計(jì)算過程)22. (2005資陽)閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件： 三角形的一邊與矩形的一邊重合， 且三角形的這邊所 對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的友好矩形，如圖所示，矩形ABEF即為4ABC的 友好矩形”，顯然，當(dāng)4ABC是鈍角三角形時(shí)，其 友好矩形”只有一 個(gè).(1)仿照以上

18、敘述，說明什么是一個(gè)三角形的友好平行四邊形”；(2)如圖，若4ABC為直角三角形，且/C=90,在圖中畫出 ABC的所有 友好矩形”, 并比較這些矩形面積的大小；(3)若 ABC是銳角三角形，且 BC AC AB,在圖中畫出 ABC的所有 友好矩形”， 指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.23. (2005重慶)已知四邊形 ABCD中，P是對(duì)角線 BD上的一點(diǎn)，過P作MN/AD, EF/ CD,分別交AB CD、AD、BC于點(diǎn)M、N、E、F,設(shè)a=PMPE, b=PNPF,解答下列問題：(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，見圖1,請(qǐng)判斷a與b的大小關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形

19、，且 / A為銳角時(shí)，見圖2, (1)中的結(jié)論是否成立并說明理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得包衛(wèi)史里媽?=9若存在，請(qǐng)S/UBD 9求出滿足條件的所有 k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.AED ED圖I圖224. （2005大連）如圖，操作：把正方形 CGEF的對(duì)角線 CE放在正方形 ABCD的邊BC的延 長(zhǎng)線上（CG BC）,取線段AE的中點(diǎn)M.探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明.說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫 3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程后，可以從下列 、中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條

20、件，完成你的證明.注意：選取 完成證明得10分；選取完成證明得7分；選取完成證明得5分.DM的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)N,且AD=NE;將正方形CGEF6繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45（如圖），其他條件不變；在的條件下，且CF=2AD附加題：將正方形 CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖），其他條件不變.探究：線段 MD、 MF的關(guān)系，并加以證明.摩11G=G圖】題鄴25. （2005湖州）如圖，四邊形 ABCD和BEFG均為正方形，則=.（結(jié)果不取D26. (2005郴州)附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點(diǎn)(E不與A、B重合).(1)如圖，當(dāng)四邊形 ABCD是正方形時(shí)，4ADE、 BCE和 CDE的面積之間

21、有著怎樣的關(guān)系證明你的結(jié)論.(2)若四邊形 ABCD是矩形時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立為什么ABCD是平行四邊形呢(3)當(dāng)四邊形 ABCD是梯形時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎請(qǐng)說明理由.27. (2005深圳校級(jí)自主招生)如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為 1的正方形ABCD上，并使它 的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn) B,另一邊與射線 DC相交于Q. 探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x.(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系試證明你的猜想；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形 PBCQ的面積為v,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出 函數(shù)自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)點(diǎn)P在

22、線段AC上滑動(dòng)時(shí)，4PCQ是否可能成為等腰三角形如果可能，指出所有能使4PCQ成為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置.并求出相應(yīng)的 x值，如果不可能，試說明理由.AD28. (2004貴陽)如圖，四邊形 ABCD中，AC=6, BD=8且AC, BD.順次連接四邊形 ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形 A1B1C1D1；再順次連接四邊形 A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2c2D2 如此進(jìn)行下去得到四邊形 AnBnCnDn.(1)證明：四邊形 A1B1C1D1是矩形；(2)寫出四邊形 A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積；(3)寫出四邊形 AnBnCnDn的面積;(4)求四邊形 A5B5C5

23、D5的周長(zhǎng).29. (2004無為縣)(1)如圖(1),在正方形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O,易知AC BD,=-;2(2)如圖(2),若點(diǎn)E是正方形 ABCD的邊CD的中點(diǎn)，即，過 D作DGLAE,分另U交 ACBC于點(diǎn)F、G.求證：；(3)如圖(3),若點(diǎn)P是正方形 ABCD的邊CD上的點(diǎn)，且(n為正整數(shù))，過點(diǎn)D作DNLAP, 分別交AC BC于點(diǎn)M、N,請(qǐng)你先猜想CM與AC的比值是多少，然后再證明你猜想的結(jié)論.30. (2004佛山)如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另 外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形.(1)如圖，在4ABC

24、中，BC=q BC邊上的高AD=ha, EFGH是4ABC的內(nèi)接正方形.設(shè)正萬形EFGH的邊長(zhǎng)是x,求證：富=;sd-h,a(2)在RtABC中，AB=4, AC=3, / BAC=90度.請(qǐng)?jiān)趫D ，圖 中分別畫出可能的內(nèi)接 正方形，并根據(jù)計(jì)算回答哪個(gè)內(nèi)接正方形的面積最大；(3)在銳角4ABC中，BC=a, AC=b, AB=c,且avbvc.請(qǐng)問這個(gè)三角形的內(nèi)接正方形中 哪個(gè)面積最大并說明理由.九年級(jí)上冊(cè)四邊形壓軸題2參考答案與試題解析.解答題（共30小題）1. （2009臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn)./AEF=90；且EF交正方形

25、外角 /DCG的平分線 CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF圖1圖2圖m經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證 AME0ECF 所以 AE=EF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把 熏E是邊BC的中點(diǎn)”改為熏E是邊BC上（除B, C外） 的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論 AE=EF5然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎如果正 確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除 C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變， 結(jié)論AE=EF5然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎如果正確，寫出證明過程；如果不

26、正確， 請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME,根據(jù)已知條件利用 ASA判定 AMEECF因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，所以 AE=EF（2）在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) N,使AN=CE,連接NE,根據(jù)已知利用 ASA判定 ANEECF因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，所以 AE=EF 解答：解：（1）正確.證明：在 AB上取一點(diǎn) M,使AM=EC,連接 ME.BM=BE,/ BME=45 ；/ AME=135 ； CF是外角平分線，/ DCF=45,/ ECF=135, / AME=/ECF,

27、 / AEB+/ BAE=90 , / AEB+Z CEF=90,/ BAE=Z CEFAME/ECF （ASA）, AE=EF(2)正確.證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) N.使AN=CE連接NE.BN=BE,/ N=/NEC=45 , CF平分 / DCG,/ FCE=45, / N=/ECF 四邊形ABCD是正方形，AD/ BE,/ DAE=Z BEA,即 / DAE+90 = / BEA+90 ,/ NAE=Z CEFAANEAECF (ASA), . AE=EFL A U點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的掌握情況.2. （2009?寧德）如圖（1

28、）,已知正方形 ABCD在直線 MN的上方，BC在直線 MN上,E是 BC上一點(diǎn)，以 AE為邊在直線 MN的上方作正方形 AEFG（1）連接 GD,求證： AADGAABE;（2）連接FG觀察并猜測(cè)/FCN的度數(shù)，并說明理由；（3）如圖（2）,將圖（1）中正方形 ABCD改為矩形 ABCD, AB=a, BC=b）（a、b為常數(shù)），E 是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn) B、C）,以AE為邊在直線 MN的上方作矩形 AEFG使頂點(diǎn) G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ FCN的大小是否總保持不變?nèi)?/ FCN 的大小不變，請(qǐng)用含 a、b的代數(shù)式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小

29、發(fā)生改變，請(qǐng)舉例 說明.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可.(2)作FH，MN于H.先證ABEEHF,得到對(duì)應(yīng)邊相等，從而推出 4CHF是等 腰直角三角形，/ FCH的度數(shù)就可以求得了.(3)本題也是通過構(gòu)建直角三角形來求度數(shù)，作FHL MN于H, / FCH的正切值就是 FH: CH.解答：(1)證明：二.四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AB=AD, AE=AG, / BAD=Z EAG=90 , / BAE+/ EAD=Z DAG+/ EAD, Z BAE=Z DAG, ABAEVA DAG.(2

30、)解:/FCN=45, 理由是：作Fhl MN于H, / AEF=/ ABE=90 ； / BAE+Z AEB=90 ； / FEH叱 AEB=90 , / FEH=Z BAE,又 AE=EF / EHF=Z EBA=90 , AEFHAABE,FH=BE EH=AB=BCCH=BE=FH / FHC=90, / FCN=45.(3)解：當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ FCN的大小總保持不變， 理由是：作FH, MN于H,由已知可得 /EAG=Z BAD=Z AEF=90 ,結(jié)合(1) ( 2)得/ FEH=Z BAE=Z DAG, 又.G在射線CD上，/ GDA=Z EHF=Z EBA=90 ；

31、AEFHAGAD, EFHAABE, EH=AD=BC=bCH=BE在 RtA FEH 中，tan / FCN=上, a當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/FCN的大小總保持不變，tan/FCN上.:j點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，其重 點(diǎn)是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例.3. (2009?黃石)如圖， ABC中，點(diǎn)。是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 O作直線 MN / BC,設(shè)MN 交/ BCA的平分線于點(diǎn)E,交/ BCA的外角平分線于點(diǎn) F.(1)探究：線段 OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 BCFE會(huì)是菱形嗎若是

32、，請(qǐng)證明；若不是，則說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且 ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF是正方形考點(diǎn)：正方形的判定；平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；菱形的判定.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)利用平行線的性質(zhì)由角相等得出邊相等；(2)假設(shè)四邊形BCFE再證明與在同一平面內(nèi)過同一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直 線垂直相矛盾；(3)利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)證明四邊形AECF是正方形.解答：解：(1) OE=OF.證明如下：.CE是/ACB的平分線，/ 1 = 7 2. MN / BC,/ 1 = 7 3.Z2=Z 3.OE=OC同理可證OC=OFOE=OF (

33、3 分)(2)四邊形BCF環(huán)可能是菱形，若四邊形 BCFE為菱形，則BF EC, 而由(1)可知FCEC,在平面內(nèi)過同一點(diǎn) F不可能有兩條直線同垂直于一條直線.(3分)(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，且 ABC是直角三角形(/ACB=90)時(shí)，四邊形AECF 是正方形.理由如下： .O為AC中點(diǎn), OA=OG 由(1)知 OE=OF 四邊形AECF為平行四邊形； /1 = /2, /4=/5, Z 1 + Z 2+7 4+7 5=180 ,Z2+Z 5=90 ；即 / ECF=90, .?AECF為矩形，又- AC EF. .?AECF是正方形.當(dāng)點(diǎn)。為AC中點(diǎn)且 ABC是以/ACB為直角三角形

34、時(shí)，四邊形AECF是正方形.(3 分)BC D點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質(zhì)與判定，涉及面較廣， 在解答此類題目時(shí)要注意角的運(yùn)用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀，需 同學(xué)們熟練掌握.4. (2009?無錫校級(jí)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別以每秒2個(gè)單位、1個(gè)單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)，以 OA、OC為邊作矩形 OABC.以M (4, 0) , N (9, 0)為斜邊端點(diǎn)作直角 PMN,點(diǎn)P在第一象限，且七皿/F兒即/, 當(dāng)點(diǎn)A出發(fā)時(shí)，4PMN同時(shí)以每秒個(gè)單位的速度沿 x軸向右平移.設(shè)點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒，矩形

35、 OABC與4PMN重疊部分的面積為 S.(1)求運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t的取值范圍；(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，要使對(duì)角線AC上始終存在點(diǎn) Q,滿足/ OQM=g0 ,請(qǐng)直接寫出符合條彳的t的值或t的取值范圍.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì). 專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.(1)過點(diǎn)P作PHx軸于H,可求出MH的長(zhǎng)即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)tan/PMN=L,2及勾股定理便可求出點(diǎn) P的坐標(biāo).(2)因?yàn)辄c(diǎn)A;點(diǎn)C同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，點(diǎn)M (4, 0), 4PMN同時(shí)以每秒個(gè)單位的 速度沿x軸向右平移，運(yùn)動(dòng)t秒后，OA=2t, OM=4+,當(dāng) 0V OAC OM 即

36、0V 2t,兩圖形無交點(diǎn); 當(dāng)OMvOAC OH即4+v2tw8+,即qt封，矢|形 OABC與 PMN重疊部分的J*面積為S等于重疊的三角形的面積. 當(dāng)OHv OAC ON即8+v2t w 9 +即v t w酎，矩形OABC與 PMN重疊矩部分的面 積為S等于4MNP的面積減去不重疊的三角形的面積. 當(dāng)OAON,即2t9+, t6時(shí)，矩形 OABC與4PMN重疊矩部分的面積為 S等 于4MNP的面積.(3)根據(jù)圓周角定理可知， 當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與 AC有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)即是符合 條件的點(diǎn)Q,即可求出t的取值范圍.解答：解：(1)如圖，過點(diǎn)P作PHI x軸于H. MN=9 4=5,tanZ

37、PMN=,2PM=, PN=, PH=2, MH=4, NH=1.P (8, 2).(2)運(yùn)動(dòng) t 秒后，OA=2t, OC=t,OM=4 -.當(dāng)t 4寸,S=t23t+4;3當(dāng) Vtw 時(shí),S=- -t2+27t- 76;4當(dāng) t6 時(shí)，S=5.Q.（3）當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與 AC有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)即是符合條件的點(diǎn) 當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與 AC相切時(shí)，t= 醫(yī)竺11點(diǎn)評(píng)：此題是典型的動(dòng)點(diǎn)問題，比較復(fù)雜，考查了同學(xué)們對(duì)圓及三角形，矩形，等相關(guān)知識(shí) 的掌握情況，有一定的難度.5. （2008?北京）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A, B, E在同一條直線上，P是線

38、段DF的 中點(diǎn)，連接PG, PC.若/ABC=/ BEF=60,探究PG與PC的位置關(guān)系及的值.小聰同學(xué)的思路是： 延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段 PG與PC的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD 的邊AB在同一條直線上，原問題中白其他條件不變（如圖2）.你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化寫出你的猜想并加以證明；（3）若圖1中/ABC=/ BEF=2% （0 “V 90）,將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度， 原問題中

39、的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出的值（用含“的式子表示）.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.專題：壓軸題.分析：（1）根據(jù)題意可知小聰?shù)乃悸窞?，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且 P為底邊中點(diǎn)的條件；（2）思路同上，延長(zhǎng) GP交AD于點(diǎn)H,連接CH, CG,本題中除了如（1）中證明 GF國(guó) 4HDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明 HD84GBC（得出三角形 CHG是 等腰三角形）.（3） /ABC=/ BEF=2x （0 a 90）,那么 / PCG=9 0- a,由（1）可知：PG: PC=tan （90 a）.解答：解：（1

40、） CD/ GF, /PDH=/ PFG, / DHP=/ PGF, DP=PF . DPHA FGP，PH=PG DH=GF, . CD=BC GF=GB=DHCH=CGCP HG, /ABC=60,/ DCG=120,/ PCG=60, .PG: PC=tan60 = , 線段PG與PC的位置關(guān)系是 PG PC,=;(2)猜想：(1)中的結(jié)論沒有發(fā)生變化.證明：如圖2,延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連接CH, .P是線段DF的中點(diǎn)，F(xiàn)P=DP1. AD/ GF,/ HDP=Z GFP, /GPF=/ HPD,AGFPAHDP (ASA), .GP=HP, GF=HD, 四邊形ABCD是菱形，CD=

41、CB /HDC=/ ABC=60 , /ABC=/ BEF=60,簍形BEFG的對(duì)角線 BF恰好與菱形 ABCD的邊AB在同一條直線 上，Z GBF=60 ；/ HDC=Z GBF, 四邊形BEF靛菱形，GF=GBHD=GB,AHDCAGBC；CH=CG / HCD=Z GCBPG PC (到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上) / ABC=60 / DCB=Z HCD+/ HCB=120 / HCG=Z HCB+Z GCB/ HCG=120 / GCP=60 =tan / GCP=tan60 =;(3) Z ABC=Z BEF=2% (0 aAB）,將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再

42、展開，折痕 EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF和CE.（1）求證：四邊形 AFCE是菱形；（2）若 AE=10cm, ABF的面積為 24cm2,求 ABF的周長(zhǎng)；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn) P,使得2AE2=ac?ap若存在，請(qǐng)說明點(diǎn) P的位置，并予以 證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)：菱形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；開放型；存在型.分析：（1）因?yàn)槭菍?duì)折所以 AO=CQ利用三角形全等證明 EO=FQ四邊形便是菱形；（2）因?yàn)槊娣e是24,也就是AR BF的積可以求出，所以求周長(zhǎng)只要求出AB、BF的和就可以，而結(jié)合勾股定理它們和的平方減去乘

43、積二倍就是AF的平方；（3）因?yàn)楣C=AO所以可以從與 4AOE相似的角度考慮，即過 E作EP，AD.2解答：（1）證明：連接EF交AC于O,當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC,OA=OG / AOE=Z COF=90 （ 1 分） .在矩形 ABCD中，AD/ BC,Z EAO=Z FCO,AAOEACOF （ASA）. .OE=OF （2 分），四邊形AFCN菱形.（3分）（2）解：四邊形 AFCE是菱形，AF=AE=1Q設(shè) AB=x, BF=y, / B=9Q,（x+y） 2 2xy=1QQD又 ; $ abf=24,xy=24,貝U xy=48.（5 分）由、得：（x+y） 2

44、=196 （6分）1- x+y=14, x+y=-14 （不合題意舍去）.ABF 的周長(zhǎng)為 x+y+AF=14+10=24. （7 分）（3）解：過E作EP，AD交AC于P,則P就是所求的點(diǎn).（9分）證明：由作法， /AEP=90,由（1）得：/ AOE=90 ,又 / EAO=Z EARAAOEAAEP,. .二,則 AE2=AO?AP （10 分）四邊形 AFCE菱形，/.AO=1ac, AE2AC?AP （11 分） 222AE2=AC?AP （12 分）即P的位置是：過 E作EP AD交AC于P.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查（1）菱形的判定方法 對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形 ”，（2）相似三 角

45、形的判定和性質(zhì).7. （2008?嘉興）小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問題，請(qǐng)你幫助解決：（1）如圖1,正方形 ABCD中，作 AE交BC于E, DFLAE交AB于F,求證：AE=DF;（2）如圖2,正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在 AD, BC上，點(diǎn)G, H分別在AB, CD上，且EFl GH,求的值；（3）如圖3,矩形ABCD中，AB=a, BC=b，點(diǎn)E, F分別在 AD, BC上，且EFGH,求的值.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）證明AE=DF,只要證明三角形 ABE和DAF全

46、等即可.它們同有一個(gè)直角，且AB=AD, 又因?yàn)閆 AEB=90 - /BAE=/ AFD,這樣就構(gòu)成了全等三角形判定中的AAG兩三角形就全等了；（2）可通過構(gòu)建與已知條件相關(guān)的三角形來求解. 作AM / EF交BC于M,作DN/ GH 交AB于N,那么AM=EF, DN=GH,（1）中我們已證得 ABM、ADAN全等，那么AM=DN , 即EF=GH它們的比例也就求出來了；（3）做法同（2）也是通過構(gòu)建三角形來求解.作AM / EF交BC于M,作DN/ GH交AB于N,只不過證明三角形全等改為了證明其相似.解題思路和步驟是一樣的.解答：（1）證明：DFXAE/ AEB=90 - / BAE=

47、/ AFD又 AB=AD, / ABE=Z DAF=90 AABEADAF, . AE=DF(2)解：作 AM/ EF交 BC于 M作DN / GH交AB于N貝U AM=EF, DN=GH由(1)知，AM=DN .EF=GH 即(3)解：作 AM/ EF交 BC于 M作DN / GH交AB于N貝U AM=EF, DN=GHEF GH AMXDNZ AMB=90 - ZBAM=Z AND又 ZABM=Z DAN=90AABMADAN.AM AB a點(diǎn)評(píng)：本題中(1 ) (2)和(3)雖然所求不一樣，但是解題思路和步驟是一樣的，都是通過然后證明其全等或相似來得出線段間的相等D ,構(gòu)建與已知和所求的

48、條件相關(guān)的三角形, 或比例關(guān)系.8. (2008?寧夏)如圖，在邊長(zhǎng)為 4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q.(1)試證明：無論點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有 ADQ0ABQ;(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的；16|(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 4ADQ恰為等腰三角形.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論.分析：(1)可由SAS求得 ADQ0 ABQ;

49、(2)過點(diǎn)Q作QE, AD于E, QFLAB于F,則QE=QF若 ADQ的面積是正方形 ABCD正方形ABCD,求得OE的值，再利用 DEM DAP面積的,，貝U有SAadq=!ad?QES ， ： ,1有還理解得Ap值A(chǔ)P DA(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，4ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD.由正方形的性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，QD=QA,此時(shí)4ADQ是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ, AADQ 是等腰三角形， 當(dāng)AD=AQ=4時(shí)，有CP=CQ CP=AC- AD而由正方形的對(duì)角線的性 質(zhì)得到CP的值.解答：(1)證明：在正

50、方形 ABCD中，無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有AD=AB, / DAQ=Z BAQ, AQ=AQ, AADQA ABQ;(2)解法一：4ADQ的面積恰好是正方形 ABCD面積的過點(diǎn) Q 作 QE，AD 于 E, QFXAB于 F,則 QE=QF,.在邊長(zhǎng)為4的正方形 ABCD中，S正方形 abcd=16,正方形ABCfL X 1ADX 2 EQ/ AP,ADECA DAP,瑞未即解得AP=2,AP，AP=2時(shí)，4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的一;解法二：以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過點(diǎn) Q作QE，y軸于點(diǎn)E, QF x 軸于點(diǎn)F.,點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線 AC上,1- Q點(diǎn)的坐標(biāo)

51、為（金，-）,y= - 2x+4,過點(diǎn)D （0, 4）, Q （9，$）兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為:當(dāng) y=0 時(shí)，x=2,.P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2, 0）,.AP=2時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)位置時(shí)，4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的(3)解：若4ADQ是等腰三角形，貝U有 QD=QA或DA=DQ或AQ=AD, 當(dāng) AD=DQ 時(shí)，貝U /DQA=/DAQ=45/ ADQ=90 ； P 為 C 點(diǎn)， 當(dāng) AQ=DQ 時(shí)，貝U / DAQ=Z ADQ=45 ,/ AQD=90 ； P 為 B, AD=AQ (P 在 BC 上), CQ=AC- AQ=BC- BC= ( T) BC1. AD/ BC=,即

52、可得=1, .CP=CQ=( - 1) BC=4 (T)綜上，P在B點(diǎn)，C點(diǎn)，或在CP=4(- 1)處，AADQ是等腰三角形.DCDQ點(diǎn)評(píng)：本題利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公 式，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解.9. (2008?昌平區(qū)二模)如圖，已知4ABC的頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)(不在直線 BC上)， B是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，C是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接 BC、CB、BB、CC. (1)猜想線段BC與CB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到怎樣的位置時(shí)，四邊形 BCB2菱形這樣的位置有幾個(gè)請(qǐng)用語言對(duì)這樣 的位置進(jìn)

53、行描述(不用證明)；(3)當(dāng)點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線(BC的中點(diǎn)及到BC的距離為的點(diǎn)除外上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判 斷以點(diǎn)B、C、B、C為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，畫出相應(yīng)的示意圖.(不用證明)考點(diǎn)：菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì).專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.分析：在(1)中，根據(jù)題意結(jié)合圖形可以很容易發(fā)現(xiàn)BC =CB(2)中BCB防菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)角線互相垂直平分，而AC BB, AB CC,所以只要BB與CC相交于A點(diǎn)即可，即 ABC為直角三角形.(3)分情況討論可以得出結(jié)果.解答：解：(1)猜想：BC =CBB是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)AC垂直平分BB，.BC=B C同理BC=BC .BC =CB(2)要使BCB俚菱形根據(jù)菱形的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直平分,B