2020高考數(shù)學(xué)之沖破壓軸題講與練專題09數(shù)列中不等式恒成立問(wèn)題【解析版】

1、備喊2020高考，)破壓軸題講與練7第二章數(shù)列與不等式專題09數(shù)列中不等式恒成立問(wèn)題【壓軸綜述】縱觀近幾年的高考命題，考查常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列白定義展開，求解數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，有時(shí)與參數(shù)的求解、數(shù)列不等式的證明等加以綜合.數(shù)列中不等式恒成立問(wèn)題，是數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題的命題形式之一 主要有兩類：一是證明不等式恒成立，二是由不等式恒成立確定參數(shù)的值(范圍).以數(shù)列為背景的不等式恒成立問(wèn)題，或不等式的證明問(wèn)題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，或利用放縮法證 明. 本專題通過(guò)例題說(shuō)明此類問(wèn)題解答

2、規(guī)律與方法(1)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，如果是證明題，要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等.(2)如用放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，一般有兩種方法：一種是求和后再放縮；一種是放縮后再求 和.放縮時(shí)，一要注意放縮的尺度，二要注意從哪一項(xiàng)開始放縮.【壓軸典例】例1. (2019 浙江高考真題)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a3 4 , a4S3,數(shù)列bn滿足：對(duì)每 n N ,Sn bn,Sn 1 bn,Sn 2 bn 成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式;記 Cn J2b?n N ,證明：G C2+L Cn

3、2Vn,n N .【答案】(1) an 2 n 1 , bn n n 1 ； (2)證明見解析.【解析】(1)由題意可得:a1 0 d 2a1 2d 43 2 ，解得:a1 3d 3al d2則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 2n 2其前n項(xiàng)和Sn0 2n 2 nbn,nbn,bn成等比數(shù)列,即:2bnbnbn據(jù)此有:2n nbnb21 n 2 bn n n 1 bn bn ,故bn22n (n 1)n(n1)(n 1)(n2)2n n 1(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式可得:Cnn n 1C2 L Cn 2 .1Vn_12>/n .例2.(2018 浙江高考模擬)數(shù)列滿足七% =丹：+ M：+

4、MEAT)(1)求闖，的，聞，的值；(2)求以七之間的關(guān)系式SEN二合2)；(1 + )(1 + ,(1 + 一) < 3(h.W N")(3)求證： %/%【答案】(1)叼=",啊=' 廿4=" %=325；% 詳見解析【解析】12a； = A + A- = 7. + /= 4(1)22,123= A + A I- A = 3 + 6 + 6 = 15尸333?1234-)a. = A + A I- A + A = 4 + 4x3 + 4x3x2 + 4x3x2x 1 = 64產(chǎn)444412345= A- + X- + ?!- + - = 5 +

5、20+ 60+ 120 + 120= 325*5555512 n ,、 ,“詢=4一 + 月一+ 4 = n + n(n - 1) + n(n - l)(n - 2) + . + n(OA« 神抑=n + n(n - 1) + (n - l)(n -2J + + (n- 1)! = n + n(?q1 4 «n-l(3)證明：由(2)可知1111+% 1+% 1+%(1 4 )(1+)ib.(l + )=.所以 01%/0 1%41 + % 1 片父 11 I1= + += _4+J)_n! nt n? n! n nt (tr- 1)! (n - 2)!(n - n)!0

6、11 53(n > 2)1I 1111三 1 + 1+.+- 2 - 1 - -ni1*2 2-3 (n - l)n222 ,等差數(shù)列an滿足所以n22時(shí)不等式成立，而4=1時(shí)不等式顯然成立，所以原命題成立 例3. (2019 河南高考模擬(理)已知數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和為Sn, Sn bn*236a57(i)求數(shù)列 an , bn的通項(xiàng)公式;(n)證明： a1b2 a2b3 L anbn 1 3.n 1【答案】(i) an n 1, b 1； (n)詳見解析n 2【解析】(I) QSn bn 2當(dāng) n 1 時(shí)，b S1 2 b1bi 1當(dāng) n 2 時(shí)，bn Sn Sn1 2 bn 2 b

7、n 1,整理得:bn2bnbn1數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列 2設(shè)等差數(shù)列an的公差為dQ bia23, b1 a57a1a14d(n)證明：設(shè) Tn a1b2 a2b32, c 1c 1anbn 12-3222Tn2兩式相減可得:2Tn1 ,7T22nTn3I 3 2n即 a1b2a2b3anbnada2b3anbn例4. （2016高考浙江理）設(shè)數(shù)列an滿足anan21,3(II )右 an 一 ，n 2【答案】(I)證明見解析；【解析】a(I)由 an q 1 得2| an | an 11 n n n 1 n ：222所以a1Iana1Ia2-1_n-1_222222n 1(

8、I)證明：an2na 2 , n,證明：an2 , n(II )證明見解析.1 ) ，an- an 11 ,故2|a2|a3|an J|an_2_3_ n 1_n22221121221,因此2n 1al 2,由（I ）知，對(duì)于任意m nanlamanan2n2m2n2n1112n2n 12m1(II )任取n111an 12n 1an 22 n 2am 12m 1lam2m2n故an12n 1am2m2n12n 112m2nm2n.從而對(duì)于任意均有an2n.由m的任意性得否則，存在n02mo34mo與式矛盾.an綜上，對(duì)于任意n2.n02 ,取正整數(shù)m010g34ano2一且m°no

9、,則anoan例5. （2019 河北石家莊二中高考模擬（理）已知等比數(shù)列an滿足 anan 1,a2 a3 a4 28,且 a3 2是a2，a4的等差中項(xiàng).1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;2若bnanlOg 1an,Snb1b2+bn,對(duì)任意正整數(shù) n ,Snn m an 10恒成立，試求m的取29值范圍.【答案】(1) an 2n；(2), 1 .【解析】1設(shè)等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為ai,公比為q.依題意,a2a4，代入a?a3a28 ,得a3 8.因此a2 a203 一-aq aq20,q 2 q即有2, ,解得"或qaqq8,ai 2a11 2,32,q 2 n又an數(shù)列單調(diào)遞增，則c

10、故an 2 .a12nnn2 Q bn 2 10g12n?22Sn 1 2 2 22 3 23+ +n 22,_2342Sn 1 22 23 2，得Sn2 22 231212n1 n 1 n 12n n?2n1 n?2n12n 1 n?2n 1 2.1 2Q Snn m an 10,2n 1 n?2n 1 2 n?2n 1 m?2n 1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，1.m?2n 1 2 2n 1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，即 m 1恒成立.2n1Q 11, m 1,即m的取值范圍是，1 .2例6. (2019 江蘇高考模擬)已知在數(shù)列an中，設(shè)a1為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為S,若對(duì)任意的正整數(shù) m, n都有不等式

11、 S2m+SnV 2Sm+n ( m n)恒成立，且 2s6 V & .(1)設(shè)數(shù)列a n為等差數(shù)列，且公差為 d,求曳的取值范圍；d(2)設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比為 q (q>0 H q* 1),求a1 q的取值范圍.【答案】(1) a1<- 3; (2) a1 q>0【解析】在數(shù)列an中，設(shè)a1為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的正整數(shù) mi n都有不等式 S2m+S2n<2Sm+n (m n)恒成立，(1)設(shè)an為等差數(shù)列，且公差為 d,2m(2m 1) o 2n(2n 1)(m n)(m n 1)貝U: 2ma+ d+2na + d< 2 (m

12、+rj) a1+ d,222整理得：(m n) 2d<0,則 d<0,由 24>&,整理得：9a1+27d>0,則 a1>- 3d,所以 d< 0,5 v - 3;(2)設(shè)an為等比數(shù)列，且公比為 q (q>0且qw1),2m2nm+na. 1 qa. 1 q2al 1 q + a1則_- _- '_ ,整理得 (2qm+n- q2m- q2n) < 0,1 q 1 q1 q1 q則： 1 (qm qn) 2<0,所以>0,由 2S6>S3,則：2q6- q3- 1 < 01 q1 q解得：1 < q

13、3< 1,由于 q>0,所以：0vqv1,則：a1>0.即有 a q>0.21, yx的圖21 2例7. (2017 圖考模擬(理)已知數(shù)列 an前n項(xiàng)和Sn，點(diǎn)n,Sn n N 在函數(shù)y x2象上.求an的通項(xiàng)公式；11a的取值(2)設(shè)數(shù)列 的刖n項(xiàng)和為Tn,不等式Tn- loga(1 a)對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)anan 23范圍.1【答案】(1) an n； (2) (0,).2【解析】12 1,1 2 1一(1) Q點(diǎn)n,Sn在函數(shù)f x-x2 x的圖象上，Sn -n2 n.22221 21當(dāng) n 2 時(shí)，Sn1 n 1 n 1,2 2-得an n .當(dāng)n

14、1時(shí)，a1 S11,符合上式.an n n N .33(2)由(1)得anan 2 n n 21 11,2 n n 21 11Tn L aa3a2a4anan 21111111 - L 23 2 4 n n 2QTn 1Tn0,數(shù)列Tn單調(diào)遞增，1Tn中的取小項(xiàng)為T1.31.要使不等式Tn - loga 1 a對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,31 1只要 一 一loga 1 a ，3 3即 loga 1 alogaa .1斛得0 a , 21即實(shí)數(shù)a的取值范圍為 0,2例8. (2019 天津高考模擬(理)1已知單倜等比數(shù)列 an中，首項(xiàng)為一，其刖n項(xiàng)和是Sn且21_ _.1-a3 S3, S5, a4

15、S4成等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足條件 ,2a1a2a3L an-bn、2(I )求數(shù)列 an、 bn的通項(xiàng)公式;、一1(n )設(shè)Cnan 1，記數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn .bn求Tn ；求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n N,均有TkTn.(n)見解析;(I)設(shè) an進(jìn)而有2 S5由已知數(shù)列/1 nan (2)； bnn(n 1);見解析n 1a1q.由已知得2S5C1一.八S4 a3 .所以 2a521 2a312 a3S3a4、一1什an是單調(diào)等比數(shù)列，且 a1 一 .所以取2數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anaa2a3L anbn2 22 232nS4 即 2S5n 1 n2k數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn(n)由(i

16、)得cnan1bn設(shè)PnPn的前n項(xiàng)和為R.則 Pn122又設(shè)qn則Qn所以Tn令Tnbn的前n項(xiàng)和為QnPnQn由于2n 1比n 112n12n 1n 12n 12n2變化快，所以令Tn 1Tn0 得 n 4.T4,T5,T6L Tn遞減.所以，T4最大.12 a3 2S412，則 bnn n 1 .即當(dāng)k 4時(shí)，Tk Tn.【壓軸訓(xùn)練】1. （2018 鄭州模擬）已知數(shù)列 an滿足a1a2a3*an2n2(n £ N),且對(duì)任意nC N都有t,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()aia2an11-22A(?)B.-.)C.(-.)D.-.)3333【答案】D【解析】2因?yàn)閿?shù)列 an滿足a1a

17、2a3 an 2n ,所以n=1時(shí)，闞 2,當(dāng)nn 2時(shí)，a1a2a3an 12( n1)2,可得：an22n 1所以工=Jt,當(dāng)n=1時(shí)，也適合an22n 1an 2 n一.1 1, , , 1 ,數(shù)列 為等比數(shù)列，首項(xiàng)為-,公比為-,所以-a-1Pa211(1)12(4n ) 2。+ =/4=一(ian1 134*12一） 一,因?yàn)閷?duì)任意nCN都有4n3Oia2t,則t的取值范圍為2.an3).2 .（廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)、廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、深圳中學(xué)2019屆高三上期末）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為斗，=？ + % =佃，口5 = 28,+ 30 獻(xiàn)對(duì)一切heN*恒成立，則H的取值范圍

18、為 .【解析】 雁% + % =雁 + % = 48以4 28-20-d 二= 2所以口|二2口，44,_ n(20 + 2n + 16)%=4+5-討=方 + 182+ 灼?1 + 30_ 凡 + 30十由。(打 + 19) + WO > rM得rtn ,30由函數(shù)的單調(diào)性及f(5) = f(6)=mo知，30 打+h當(dāng)n = 5或小=6時(shí)，斯最小值為30 ,故義< 30.3 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且So=a5+a6=25.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若不等式2s+ 8n+27>( 1)nk(an+4)對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】an=3

19、n4.,29(2) -7, 了.【解析】(1)設(shè)公差為d,_5貝U 5ai+2d= ai +4d+ai + 5d = 25, ai= 1 , d= 3. an的通項(xiàng)公式an= 3n 4.(2)由題意知 $- n+3n 1 1一，2$+8n+27=3n2+3n+27, an+4=3n,則原不等式等價(jià)于 (一1)nkvn9 一， .，工一+ 1 + n對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.,一3，9 ,，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k> n+1 + n恒成立；，、，9,一 一當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，kvn+1 +-恒成立. n9 .一 .一又n+1+n>7,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+ 1 + 9在n= 3上

20、取最小值7, n929當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n +1 +n在n= 4上取最小值 ,29.不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立時(shí)，實(shí)數(shù) k的取值范圍是 -7,7.4. (2019 湖北黃岡調(diào)研)數(shù)列an中，a1 = 2, an+1 = n2n1an(nN*).(1)證明：數(shù)列 an是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；、一an(2)設(shè)bn=-,若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Tn,求證：Tn<2.4n an【答案】(1) an= n22 n(2)證明：見解析.【解析】由題設(shè)得an+ 117 =n+1 2an"n'p a1又彳=2,所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為一，1, ,2,公比為2的等比數(shù)列,an所以一=

21、2Xnn- 14n2n.(2)證明：bn =4n2n4n- an-4n_2n- 14n 一 "Tn"2,_. 、, 一 一、, * 因?yàn)閷?duì)任息nCN ,2n-1>21,所以bn<2所以 TnW 1+ 2+ 22+ 23+12n 1= 211-2n <2.5. (2019 昆明市診斷測(cè)試)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，公比 q<1,前n項(xiàng)和為S,若a?=2, S=7.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) me Z,Svm值成立，求 m的最小值.【答案】(1)an(2)n3(2)8.【解析】(1)由 a2= 2, S3 = 7 得a1q= 2a1+ a1q+ ad

22、=7'a1 = 4解得 1或q = 2a1= 1 八, (舍去).q=2,1所以an=4 , 2n-11 n-3=2(2)由(1)可知,n、a1 (1 q )1 -q1尸=81 -2.1 一1 2門 <8.因?yàn)閍n>0,所以Sn單調(diào)遞增.又 S=7,所以當(dāng) n>4 時(shí)，SnC (7 , 8).又Sv m恒成立，m Z,所以m的最小值為8.6. （2019 臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高考模擬（理）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,滿足22Sn 1 2an an n N（1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;（2）已知對(duì)于n1S11S21S3M恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值;【答案】（1） an2

23、29n 1；(2)2(1) n 1 時(shí)，2al1 2 al2a1，又 an1,當(dāng)n 2時(shí)，2Sn2a2an n N2Sn1 1 2a21an作差整理得：anan 1anan 1 anan因?yàn)閍n 0,故anan0 ,所以anan 1故數(shù)列an為等差數(shù)列,n 1所以 an2(2)(1)知 Sn從而S1S2S31Sn116229所以2222-,故M的取小值為g -7.在等差數(shù)列an中，a2=6, a3 + a6=27. 求數(shù)列J an的通項(xiàng)公式； s(2)記數(shù)歹U an的前n項(xiàng)和為S,且Tn=br,若對(duì)于一切正整數(shù) n,總有wm立，求實(shí)數(shù) m的取值范 3 2圍.【答案】(1)an=3n.3(2)

24、-,+ ).2【解析】(1)設(shè)公差為d,由題意得：ai + d = 6,ai = 3,解得1. an= 3n.2ai+7d=27, d=3,3 ,(2) &=3(1 +2+3+ n) =2n(n+ 1),n (n + 1)(n+ 1) ( n+ 2).Tn=n , Tn + 1=-FT,22(n+1) ( n + 2)n ( n+ 1). Tn+ 1- Tn= 2m2n(n+ 1) ( 2 n)=2'nTl，一 _ 3. .當(dāng) n>3 時(shí)，Tn>Tn+1,且 T = 1<T2= T3 = 2,_ _3 _3Tn的最大值是故實(shí)數(shù)m的取值范圍是3,+ ).228.

25、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+4. 若k=- 5,則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于nC N*,都有an+1>an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)n = 2或n=3時(shí)，an有最小值，其最小值為 a = a3=2.(2)( 3, i).2【斛析】(1)由n5n+4<0,斛得1<n<4.*因?yàn)閚 N ,所以n= 2, 3,所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2, as.因?yàn)?an= n2 5n+ 4= (n- )2 , 24由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n = 2或n=3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2 = a3=- 2.(2)由對(duì)

26、于ne N,者B有an+1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an=n2+kn + 4,可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到 nC N*,所以k<-,即得k>3.2 2所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(3, +8).9. (2013江西卷)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S2-(n2+ n- 1)Sn-(n2+ n)= 0.5,都有Tn 64求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;n 1(2)令bn=2-,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,證明：對(duì)于任意的nCN(n 2) an【答案】(1) an 2n.(2)見解析.t解析】由 SJ(a;-l-n l)Sn (n;+ii)=O,得國(guó)一= 0.由于$是

27、正項(xiàng)數(shù)列j所以&二出+艮來(lái)源式一江-1£一0001于是 ai=S:=2/ n22 時(shí)？ Hu-SnSa-i=n;-Fn-i I/2(nl)=2n.綜上，麴列也時(shí)t項(xiàng)為九力 I Q亢明；由于數(shù)=25%=(H + 2)二則M屋出手處川2=疝-=+-=+_=+ () 廠1+11-(n+1 尸十/ (a+2) 2J一tnH-1) 2(n+2)64,10. (2016年高考四川理)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1, Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn 1 qSn 1 ,其 *中 q>0, n N .(I)若2a2,a3,a2 2成等差數(shù)列，求%的通項(xiàng)公式；2n on(n)設(shè)雙曲線 x2 yy

28、1的離心率為en ,且為 -,證明：e 6 e n-an33.【答案】(I) an=qn-1； (n)詳見解析.【解析】(I)由已知， S+1 = qSn + 1,Sn+2 = qSn+1 + 1,兩式相減得到 a» 2 = qan+1,n ? 1.又由S2 = qS1 + 1得到a? = qa1，故an+1 = qan對(duì)所有n 3 1都成立.所以，數(shù)列4是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列從而 an=qn-1由 2a2, a3, a2+2 成等比數(shù)列，可得 2%=3a2 + 2 ,即 2q2=3q+ 2,貝U (2q+ 1)(q- 2) = 0,由已知，q > 0 ,故q=2 .所

29、以 an = 2n-1(n? N*).(n)由(I)可知，an= qn-12所以雙曲線x2 -yy = 1的離心率en= j +an2=Jl+q2(n-1)an由 q = J+ q2 = 5 解得 q=-.33因?yàn)?1+q2(k-1)> q2(k-1),所以 Jl+q2(k-1)> qk-1(k? N*).于是 e + 62 + 鬟？ 4>1+q+鬃 qn- 1-4n - 3n故6+3+鬃e3>L11.設(shè)函數(shù)f (x) In x px(1)求函數(shù)f (x)的極值點(diǎn);(3)證明：ln 22ln32ln42223242ln n22n2 n 12(n 1)(n N, n 2)

30、當(dāng)p0時(shí)，若對(duì)任意的x0 ,恒有f(x) 0,求p的取值范圍;1【答案】(1) x ；P(2) 1,)；(3)見解析.【解析】(1) f (x) Inx px 1 , f(x)的定義域?yàn)?0,), f'(x) - p Lpx,當(dāng) p 0 時(shí),x x，,1f '(x) 0, f (x)在(0,)上無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng) p 0時(shí)，f(x)有唯一極大值點(diǎn) x ； p1. .11. 一 一 一(2)由(1)可知，當(dāng)p 0時(shí)，f(x)在x 一處卻極大值f (-) ln ,此極大值也是最大值，要 ppp使 f (x)，、 I 10恒成立，只需f（） p,1ln 0 ,解得p 1 ,故p的取值范圍為

31、1,P);(3)令 p 1,由(2)可知，ln x x 10,即 ln x x 1,=(n=(nln n2 2ln nln22ln32 2ln n2232223211) (2(n1)(2 3(n 1)1) (2)(n1)2n22(n 1)12. （2019 大慶模擬）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為點(diǎn)（n, &）在曲線y= 2x 5 一當(dāng) n=1 時(shí)，a1 = S = 2+ 5= 3 ；當(dāng) n>2 時(shí)，an=SS11 2 51.、2 5.一=2n + 2n2( n1) 2(n 1) = n + 2，當(dāng)n= 1時(shí)，符合上式.所以 an= n+ 2.因?yàn)閿?shù)列bn滿足bn+ bn+ 2= 2b

32、n+1,所以數(shù)列bn為等差數(shù)列.設(shè)其公差為 d, b1+ 3d= 11,b1= 5,則解得5b1+10d=45,d=2,所以 bn= 2n+ 3.11111=一 一 2n+14n- 22 2n+12n- 14 2n-12n+1'+：x上，數(shù)列b滿足bn + bn+ 2=2bn+1, b4= 11, bn的前 5 項(xiàng)和為 45.(1)求an, bn的通項(xiàng)公式;1. k .(2)設(shè)cn=-數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn求使不等式 Tn>有恒成立的最大正整數(shù) k的值. 2an 32bn 854【答案】(1) an= n+2. bn= 2n+3.(2)8.1 2 5,/口1(2)由得，Cn=2

33、【解析】(1)由已知得S=2n+2n,1111所以 Tn=4 1 3+ 3 5+12n 112n+ 11 1- 1因?yàn)門n+1 Tn= T 7；_-74 2n+112n+312 2n+ 12n+3>0, , 一、一，,一1所以Tn是遞增數(shù)列，所以 Tn>T1 = -,6 k . . 1 k .故要使54旦成立，只要=6>54恒成立,解得k<9,所以使不等式成立的最大正整數(shù)k的值為8.13. (2019 重慶一中高三月考x _(文)設(shè)函數(shù)f(x) 2e 2ax3ag 0)，對(duì)于 x R,都有 f(x) 5a成立.(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(n)證明： 口 上2L - ln

34、(en e),n N* (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))n 2n 3n n【答案】(i)0,1 (n)見證明【解析】(I) Q f (x) 2ex 2a(x R),當(dāng)a 0時(shí)，由f (x) 0,得xln a ,由 f (x) 0,得 x ln a ,f(x)在(lna,)上單調(diào)遞增，在(,ln a)上單調(diào)遞減Q x R, f(x) 5a都成立，f(x)min 5a.又 f (x)min f (ln a) 2aln a 5a,所以由 2a lna 5a 5a,得 aln a 0. 0 a 1;a的取值范圍是 0,1 .(n)當(dāng) a 1 時(shí)，f(x) 5a,即 2ex 2x 3 5.ex x 1.當(dāng) x

35、 1 時(shí)，x ln(x 1).*1,n 1 一 ,，N ，則 一 ln .且 n 1 時(shí)，1 ln 2.n nlnln 32ln42n+ 1Inln(n 1),1 111 L ln(n 1).2 3nn 1 n 2 n 32 L -n 2n 3n n111111Ln2nnn1 111 - - L -11n(n 1) 1 In e(n 1)；2 3n門口 n1n 2n 32*_即L 1ne(n 1) n N 恒成立.n 2n 3n n14.已知函數(shù)f(x) = log kx(k為常數(shù)，k>0且kw1),且數(shù)列f(a n)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)

36、若bn= an f(a n),當(dāng)k= J2時(shí)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和(3)若Cn=an1gan,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) k,使得Cn中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出k的取值范圍;若不存在，說(shuō)明理由.略 (2)Sn = n-2n+3 (3)(0 , ) U(1 , +oo)【解析】(1)由題意知 f(a n)=4+(n-1)X2= 2n + 2,即 log kan=2n + 2,k2(n 1) 2an 1k2= 2(n 1) = kan k常數(shù)k>0且kw1,k2為非零常數(shù).數(shù)列an是以k4為首項(xiàng)，k2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，bn= anf(a n) = k叱 2 (2nl + 2),當(dāng) k= 72 時(shí)，