【高考數(shù)學(xué)大題精做】專題04立體幾何的探索性問題(第三篇)(解析版)

1、【高考數(shù)學(xué)大題精做】11 / 27第三篇立體幾何專題04立體幾何的探索性問題對應(yīng)典例探索位置問題典例1線定，面動(dòng)”探索線面平行問題典例2線動(dòng)，囿定”探索線血平行問題典例3探索線線垂直問題典例4探索線回垂直問題典例5探索卸卸垂直問題典例6探索二面角問題典例7【典例1】【2020屆江蘇巔峰沖刺卷】如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA，平面 ABCD, Z ABC=Z BAD = 90°, AD = AP = 4, AB=BC=2, M 為 PC的中點(diǎn).ii C(1)求異面直線 AP, BM所成角的余弦值；4.，一(2)點(diǎn)N在線段AD上，且AN=入若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為一，

2、求入的值.5【思路引導(dǎo)】(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量Buu和向量AP的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解uum(2)由AN=入設(shè)N(0,入0)(094)則MN =(-1,入一1, 2),再求得平面PBC的一個(gè)法向量，利用| 2 2|.5 (1)2，5uuuu ir直線MN與平面PBC所成角的正弦值為 -,由|cos MN, m > |= |UUUu mr | 5| MN |m|解.(1) 因?yàn)?PA，平面 ABCD,且 AB, AD?平面 ABCD,所以 PA±AB, PA±AD.又因?yàn)? BAD = 90。，所以PA, AB, AD兩兩互相垂直.分別以

3、AB, AD, AP為x, v, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由 AD= 2AB = 2BC = 4, PA=4 可得D(0, 4, 0), P(0, 0, 4).A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0),又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以M(1, 1,2).所以uuuuBM =(1,所以uuircos ap，uur1,2), ap = (0, 0, uuu uuur uuuu、 AP BM BM > = uuur uuuuu| AP |BM |4),(1) 0 14 .6所以異面直線 AP, BM所成角的余弦值為 立3(2) 因?yàn)?AN= N 所以 N(0, '

4、; 0)(0 <4)uuuu 則MNuuuuur= (-1, 1, 2), BC=(0，2，0)， PB =(2，0，4).ur設(shè)平面PBC的法向重為 m = (x,y,z),v w m 則 v muuvBC 0 日“ 2yuuv 即PB 0 2x4z令 x= 2,解得 y= 0, z= 1,IT所以m = (2, 0, 1)是平面PBC的一個(gè)法向量.4因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為 -,5uuuu LT所以 |cos MN，mUULUT LT,|MN m|= -1uutuu-ur- | MN |m| 2 2|4(1)2,55 '解得 H 1C0, 4,所以入的值為1.

5、【典例2】【2020屆江西省贛州市高三上學(xué)期期末考試】如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB 2,AD 4, BAD 60 ,平面EBD 平面ABD,且EB CB,ED CD .(1)在線段EA上是否存在一點(diǎn) F ,使EC 平面FBD ,證明你的結(jié)論；(2)求二面角 A EC D的余弦值.【思路引導(dǎo)】(1)容易判斷出點(diǎn)F為EA的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得到 OF /EC ,再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；(2)根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，找出兩兩垂直的關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角 A EC 的余弦值.【詳解】(1)存在點(diǎn)F ,點(diǎn)F為EA的中點(diǎn)證明：當(dāng)點(diǎn)F為EA的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié) AC交BD于

6、O,平行四邊形 ABCD ,，O為AC的中點(diǎn)，連結(jié) OF ,則 OF/EC , FO 平面 BDF , EC 平面 BDF ,，EC 平面 FBD .(2) . EB CB AD 4,ED CD AB 2, BAD 60BD 2石，BE2 BD2 ED2，BC2 BD2 DC2 , . . BD ED, BD DC又.平面EBD 平面ABD, ED 平面ABCD , BD 平面ECD , 以DB為x軸，DC為y軸，DE為z軸，如圖建系： D xyz則 D(0,0,0) , A(2盧 2,0), C(0,2,0) , E(0,0,2) , BQQQ)uuur _uuir_ AC ( 2j3,4,

7、0) , AE ( 273, 2,2)uuir_DB (2、/3,0,0)為平面ECD的一個(gè)法向量,r令平面ACD的一個(gè)法向量為nV uuv-n AC23x4y0 v uuvn AE2、.3x2y2zr平面ACD的一個(gè)法向量為n(x, y, z),取 x 2, yV3，zV302,73,73 ,令二面角A EC D為,由題意可知 為銳角,. l05r uuur貝U cos| cos n, DBr uuur_In DB |4、, 3-4uuur1 2_| n | | DB | 2 .3 ,10【典例3】【北京市昌平區(qū)2020屆高三期末】(I)求證：CDXPD；(I)求證：BD，平面PAB；(I)

8、在棱PD上是否存在點(diǎn)M,使CM/平面PAB,若存在，確定點(diǎn) M的位置，若不存在，請說明理由【思路引導(dǎo)】(I)由題意可得 CD，平面FAD,從而易得CDXPD;(I)要證BD,平面PAB,關(guān)鍵是證明BD AB ;(I)在棱PD上存在點(diǎn)M,使CM /平面PAB,且M是PD的中點(diǎn).(I)證明：因?yàn)镻AL平面ABCD, CD 平面 ABCD ，所以CDXPA.因?yàn)镃DXAD, PA ADA,所以CD,平面 PAD.因?yàn)镻D 平面PAD,所以CDXPD.(II)因?yàn)?PAL平面 ABCD, BD平面ABCD，所以BDXPA.在直角梯形ABCD 中，BC CD1 -AD2 ，由題意可得AB BD 5/2B

9、C，所以2AD2AB2 BD2,所以BDAB .因?yàn)镻AIAB A,所以BD平面PAB.(I)解：在棱PD上存在點(diǎn)M,使CM /平面PAB,且M是PD的中點(diǎn).證明：取PA的中點(diǎn)N,連接MN, BN,1因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以 MNP AD. 2一 .1因?yàn)锽C P - AD所以MN P BC . =2'=所以MNBC是平行四邊形，所以 CM / BN.因?yàn)镃M 平面PAB, BN 平面PAB.所以CM / /平面PAB.在三棱錐 P ABC中，PB 平面 ABC, AB【典例4】【2019屆陜西省西安中學(xué)高三下學(xué)期第十二次重點(diǎn)考試】BC, AB=PB=2, BC=2j3, E、G 分別

10、為 PC、PA 的中點(diǎn).(1)求證：平面BCG 平面PAC；AN(2)假設(shè)在線段 AC上存在一點(diǎn)N,使PN BE,求CN的值；NC(3)在(2)的條件下，求直線 BE與平面PBN所成角的正弦值【思路引導(dǎo)】(2)由N為線段AC一點(diǎn),(1)由BC PA, BG PA,得PA 平面BCG ,即可得到本題的結(jié)論;uuur可設(shè)為ANUULTAC_uuur,2V3 ,0),得 PN(2 2 ,273 , 2),又由，PNBE可確定 的取值,uuu r從而可得到本題答案；(3)求出平面PBN的法向量n (x, y,z),然后套入公式sin uBE nr| ,即可得|BE| |n|到本題答案【詳解】(1) 因

11、為PB 平面ABC, BC 平面ABC,所以PB BC ,又 AB BC, ABI BP B,所以 BC,平面 PAB ,則 BC PA,又AB PB 2, PAB為等腰直角三角形， G為斜邊pa的中點(diǎn)，所以 BG PA,又BG BC B ,所以PA 平面BCG，因PA 平面PAC ,則有平面BCG 平面PAC；uur uur uur(2)分別以BA,BC,BP為x, y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,那么_uuir_uurA(2,0,0), C(0,2 73,0), P(0,0,2), BE (0j3,1)，因此 AC(2,273,0)，uurPA (2,0, 2),設(shè)uuurANuur-AC

12、( 2 ,2避,0),那么uur,PN (2 2 ,273 , 2),由PNuur uuuBE，得PN BE 0，解得uuir因此AN1 uur1AC ,因此3ANNC(3)由(2)uuur知PN4(32<3甘，2)'設(shè)平面rPBN的法向量為n(x, y, z),則2zr uuurn PNr 0,nuurBP0,02.3y 2z令x褥，得y2,r 0,因此n (品2,0),uurBE設(shè)直線BE與平面PBN所成角為，那么sin,21uuu-TBE n【典例5】【浙江省麗水市2020屆模擬】如圖，在四麴t P ABCD 中，PA 底面 ABCD , AD / BC , ABC 90

13、, AB(1)求證：CD 平面PAC;(2)在PC上是否存在點(diǎn)H,使得AH 平面PCD?若存在，確定點(diǎn)H的位置；若不存在，說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)由題意，利用勾股定理可得 DC AC J2，可得AC 2 DC 2 AD 2 ,可得AC DC ,利用線面垂直的性質(zhì)可得 PA CD ,利用線面垂直的判定定理即可證明DC,平面FAC;(2)過點(diǎn)A作AHPC,垂足為H,由(1)利用線面垂直的判定定理可證明AH,平面PCD,在RTAFAC2 2中，由PA=2, ac J2,可求PH -PC ,即在棱PC上存在點(diǎn)H,且PH PC ,使得AH,平面 33PCD.【詳解】解(1)由題意，可得DC AC 7

14、2,AC 2 DC 2 AD 2 ,即 AC DC ,又PA 底面ABCD ,PA CD ,且 PAI AC A,DC 平面 PAC ；(2)過點(diǎn)A作AH PC ,垂足為H ,由(1)可得CD AH ,又 PCI CD C ,AH 平面PCD.在 RtzXPAC 中，.PA 2, AC 72PHPAPAPC即在棱PC上存在點(diǎn)H ,且PHPH 2 PC .32一 PC ,使得AH 平面PCD .3【典例6】【江蘇省蘇州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三月考】直四棱柱ABCDA1B1clD1 中，AB BC 2, ABC 90 ,E、F 分別為棱 AB、B1cl 上的點(diǎn)，AE 2EB ,GF 2FB.求證:

15、(1) EF /平面 AAC1C ；(2)線段AC上是否存在一點(diǎn) G,使面EFG 面AACiC .若存在，求出AG的長；若不存在，請說明理由 【思路引導(dǎo)】(1)以A為原點(diǎn)，AD1, AB1, AA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系：根據(jù)向量的坐標(biāo)可得uuiruuur 1 uuuurEF AA - AC1,由此可證 EF/平面 AACiC； 3(2)將問題轉(zhuǎn)化為線段 AC上是否存在一點(diǎn) G,使EG AC,則問題不難求解(1)如圖所示：以 A1為原點(diǎn)，AD1, ABi, AA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系:42則 A(0Q0), Bi(0,2,0), Ci(2,2,0),設(shè) A(0,0,

16、a),則 E(0, 一 ,a), F (2,2,0),33uuir2 2 uuuruuur所以 EF (-,-, a), A1A (0,0, a), A1C1 (2,2,0), 3 3uuruur1 uuuur uur uuruuur因?yàn)镋FA1A- ACi,所以EF，AA,AC1共面，又EF不在平面AACiC內(nèi),3所以EF /平面AAC1c(2)線段AC上存在一點(diǎn)G,使面EFG面 AACiC ,且 AG證明如下：在三角形 AGE中，由余弦定理得 eg Jag2AE-22 AGAEcos8162 2,24,282.2 99332 93'所以 AG2 EG2 AE2,即 EG AG,又A

17、1A 平面ABCD , EG 平面ABCD ,、所以 AiA EG ,而 AG AA A ,所以EG 平面AAC1c ,因?yàn)镋G 平面EFG ,所以EFG 面AAC1C,【典例7】【山東省臨沂市2019年普通高考模擬】如圖，底面 ABCD是邊長為3的正方形，平面 ADEF，平面ABCD, AF / DE, AD IDE, AF = 2旄，DE =3.6 .(1)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；(2)在線段AF上是否存在點(diǎn) M,使得二面角M-BE-D的大小為60 ?若存在，求出公業(yè) 的值；若不存在， AF說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA,DC,DE分別為x軸，y軸，z軸

18、的正半軸，建立空間坐標(biāo)系，求出A,C, B, E,F uur uuu uuu坐標(biāo)，進(jìn)而求出 CA, BE,EF坐標(biāo)，求出平面 BEF的法向量坐標(biāo)，按空間向量線面角公式，即可求解；(2)設(shè)M (3, 0, t), 04&2而，求出平面 MBE的法向量坐標(biāo)，利用 CA是平面BED的一個(gè)法向量，按空間向量面面角公式，即可求出結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)镈A, DC, DE兩兩垂直，所以以 D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA, DC, DE分別為x軸，y軸，z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,如圖所示.則A (3, 0, 0),F (3, 0, 2而)，E (0, 0, 376), B (3, 3,

19、 0),一 一一一 uuu 一 一一C (0, 3, 0), CA= (3, 3, 0),uuuBE =(-3,一3,uurEF =(3,0,設(shè)平面BEF的法向量為v uuv n BE v uuv n EF3x1 3y1 3、.6z13x1, 6z10r , 取 xi= J6,得 n =( 5 2J6, 3)uLU ruuu r |CAn| 所以 |cos CA,n | 4ur-4 |CA|n|3.6_J|3.2 ,3913所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為H13(2)假設(shè)存在點(diǎn) M在線段AF上滿足條件,設(shè) M (3, 0, t), 02花,LUIUL, -、則 BM =(0，-3, t

20、),uuuBE = (3, 3, 3v6 ).設(shè)平面MBE的法向量為M z.、m =(X2, y2, Z2),v uuuv m BMv uuv m BE3 y2 tz23x2 3'203、.6z2 0令 y2=t,得 m= ( 36-t, t, 3).uuu易知CA= (3, 3, 0)是平面BED的一個(gè)法向量,所以|coslt uuu| 9. 6 6t |mg 11 3、2 , (3 6 t)2 t2 9整理得2t26而t+15=0,解得Y6或t=5622(舍去)，故在線段AF上存在點(diǎn)M ,使得二面角M-BE-D的大小為60°,此時(shí)AMAF【針對訓(xùn)練】1.【2020屆鹽城市

21、高三年級模擬考試】如圖，在直四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，底面四邊形 ABCD為菱形，AiA= AB = 2, Z ABC= - , E, F分別是BC, AiC的中點(diǎn).i2 / 27(i)求異面直線EF, AD所成角的余弦值;(2)點(diǎn)M在線段AiD上,AMAiD.若CM/平面AEF,求實(shí)數(shù)入的值.【思路引導(dǎo)】uuu uur uuir(i)由四棱柱 ABCD ABCiDi,證彳# AiA AE,AA AD ,進(jìn)而彳#到 AE AD ,以 AE,AD,AA為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解 EF, AD所成角的余弦值；(2)設(shè)M (x, y,z),由點(diǎn)M在線段AD上，

22、得到AMADUULUi，得出向量CM則坐標(biāo)表不，再求得平面 AEF的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到的值。試題解析：因?yàn)樗睦庵?ABCD AiBiCiDi為直四棱柱，所以 AiA,平面ABCD .又 AE 平面 ABCD , AD 平面 ABCD ,所以 AiA±AE, AiA± AD .獨(dú)田I在菱形ABCD中/ ABC=；,則AABC是等邊三角形.因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以BCXAE.因?yàn)?BC / AD,所以 AE ±AD .以芯，AD,為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.則 A(0, 0, 0), C審，1, 0), D(0, 2, 0),1).A1(0,

23、 0, 2), E(也 0, 0), F(亨，也(1)麗=(0, 2, 0),祥=(李,|從而 cosv 丹6，£了 > =故異面直線EF, AD所成角的余弦值為(2)設(shè)M(x, y, z),由于點(diǎn)M在線段AD上，且播=入,則由向=渥b,即(x, y, z2)=入(0 2, 2).則 M(0, 2 % 2 2 入)Q&=(巾，2 入一1 , 2- 2 入)設(shè)平面 AEF的法向量為n=(x0, y0, z0).因?yàn)閼]=(G 0, 0),疝= ('J 1),由 n 城=0, nA?=0,得 X0= 0, 1 y°+ z0= 0.取 y0= 2,則 Z0=

24、- 1 ,則平面 AEF的一個(gè)法向量為 n=(0, 2, - 1).由于CM /平面AEF,則nfM=0,即2(2:1)(2 2入/0,解得 入 =：.2 .【四川省棠湖中學(xué) 2020屆高三月考】如圖，在四棱錐 P-ABCD中，AD /BC, ADC= PAB=90 , BC=CD= 1 AD . E為棱AD的中點(diǎn)，異面直 2線PA與CD所成的角為90° .(I)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線 CM /平面PBE,并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【思路引導(dǎo)】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間

25、想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.第問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值解：(I)在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB , DC,相交于點(diǎn) M (MC平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)理由如下：由已知，BC / ED,且 BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而 CM / EB.又EB 平面PBE, CM 平面PBE,所以CM /平面PBE.(說明：延長 AP至點(diǎn)N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線 MN上任意一點(diǎn))(I)方法一：由已知，CDXPA, CDXAD ,

26、 PA AD=A ,所以CD,平面PAD.從而CDXPD.所以 PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以 PDA=45 .設(shè) BC=1 ,則在 RtAPAD 中，PA=AD=2.過點(diǎn)A作AH，CE ,交CE的延長線于點(diǎn)H ,連接PH.易知PAL平面ABCD ,從而PAICE.于是CEL平面PAH.所以平面PCEL平面PAH.過A作AQ，PH于Q ,則AQ，平面PCE.所以 APH是PA與平面PCE所成的角.在 RtAAEH 中， AEH=45 , AE=1 ,所以AH=22 .在 RtAPAH 中,PH= JPA2_AH = 3夜, 2所以 sin APH=AH- = 1.PH 3方法二：由已

27、知，CDXPA, CDXAD , PA AD=A ,所以CD,平面PAD.于是 CDXPD.從而 PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以 PDA=45 .由PAXAB ,可得 PA,平面 ABCD.24 / 27設(shè) BC=1 ,則在 RtAPAD 中，PA=AD=2.uuur uuir ,作Ay，AD ,以A為原點(diǎn)，以AD , AP的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所小的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A (0,0,0) , P (0,0,2), C(2,1,0), E(1,0,0),uuuuuu所以 PE = (1,0,-2), EC= (1,1,0),uuuAP= (0,0,2)設(shè)平

28、面PCE的法向量為n=(x,y,z),uuuuuuuun PE 0,x 2z 0,由uuur得設(shè) x=2,n EC 0,x y 0,解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為%則sinuuuu |n AP|uurAP222 ( 2)2 12所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為3 .【河南省鄭州市 2019屆高中畢業(yè)年級第一次(1月)質(zhì)量預(yù)測】已知四棱錐中P ABCD ,底面ABCD為菱形,ABC 60 , PA 平面 ABCD , E、M 分別是 BC、PD上的中點(diǎn)，直線EM與平面PAD所成角的正弦值為 業(yè)5，點(diǎn)F在PC上移動(dòng).(I)證明：無論點(diǎn) F在PC上如何移動(dòng)，都有平面

29、 AEF 平面PAD ;(I)求點(diǎn)F恰為PC的中點(diǎn)時(shí)，二面角 C AF E的余弦值.【思路引導(dǎo)】(I)推導(dǎo)出AE±PA, AEXAD,從而AE,平面PAD,由此能證明無論點(diǎn) F在PC上如何移動(dòng)，都有平面AEFL平面 PAD.(I)以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C - AF - E的余弦值.(I)連接AC底面ABCD為菱形,ABC 60 ,. ABC是正三角形,. E是BC中點(diǎn)， AE BC又 AD PBC，.一 AE AD PA平面 ABCD , AE平面ABCD, PAAE ,又 PA AE AE平面PAD ，又AE平面A

30、EF，平面AEF 平面 PAD .(I)由(I)得，AE , AD , AP兩兩垂直,以 AE , AD, AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, AE 平面 PAD ，AME就是EM與平面PAD所成的角,在 Rt AME 中，sin AME 叁5 ,即5AEAM設(shè) AB 2a,則 AE73a ，得 AM又 AD AB 2a,設(shè)PA 2b ,則 M0,a,b所以 AM . a2 b272a，PA AD 2a,則 A 0,0,0 ,B 73a, a,0 , C 73a,a,0 ,D 0,2a,0 , P 0,0,2a ,E .3a,0,0uuuv -uuv . 3a所以

31、 AE 岳,0,0 , AF-2a2,auuuv ,BDV3a,3a,0 ,設(shè)v x,y,z是平面aef一個(gè)法向量，則v粵八3ax 0n AE 0vV uuuV nV3ax ay 八取z a，得 n 0，2a，an AF 0az 022uuv又 BD 平面 ACF , BDJ3a,3a,0是平面ACF的一個(gè)法向量,v uuiv cosn, BDv uuv n BD v uuuv n BD6a25a 2,3a15.二面角CAF E的余弦值為叵5* *4.12020屆四川省巴中市高三第一次診斷】如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA PD , PA AB , N是棱AD的中點(diǎn).

32、(2)在BC上是否存在點(diǎn)E ,使得BN平面DEP ?并說明理由【思路引導(dǎo)】(1)先證明AB 平面PAD ,可得平面ABCD 平面PAD ,由面面垂直的性質(zhì)可證 PN八平面ABCD(2)取BC中點(diǎn)E ,連接PE , DE ,根據(jù)平行四邊形可得 BN,DE線線平行，即可證明線面平行【詳解】(1)由底面ABCD是矩形，知 AB AD , AB PA又 PA AD A, PA, AD 平面 PADAB 平面PAD又AB i平面ABCD平面ABCD 平面PAD由PA PD , N是棱AD的中點(diǎn)得：PN A ADQ平面ABCD I平面PAD AD , PN 平面PADPN 平面ABCD(2)在BC上存在點(diǎn)

33、E ,使得BN 平面DEP，且E為BC的中點(diǎn).證明如下：如圖取BC中點(diǎn)E ,連接PE , DE在矩形 ABCD 中，ND/BE , ND BE四邊形BNDE是平行四邊形BN/DEQ BN 平面DEP , DE 平面DEPBN平面 DEP.5.【湖北省2019屆高三1月聯(lián)考測試】如圖所示，在四錐 P ABCD 中，AB PC , AD /BC , AD CD ,且 PC BC 2AD 2CD 2J2，PA 2 .PA 平面ABCD ;(2)在線段PD上，是否存在一點(diǎn) M ,使得二面角 M AC D的大小為60 ?如果存在，求 PM 的值； PD如果不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)推導(dǎo)出AB

34、AC, APAC, ABPC,從而AB，平面PAC,進(jìn)而PAAB,由此能證明 PA，平面ABCD ；(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在線段PD上，存在一點(diǎn) M,使得二面角 M - AC-D的大小為60。，圾 4-2J3.PD【詳解】(1) .在底面 ABCD 中，ADPBC, AD CD且 BC 2AD 2CD 2 2AB AC 2, BC 272 AB AC又. AB PC, AC PC C, AC 平面 PAC , PC 平面 PAC AB 平面 PAC 又 PA 平面 PAC AB PAPA AC 2 , PC 2 & P

35、A AC又 PA AB , AB AC A, AB 平面 ABCD, AC 平面 ABCD PA 平面 ABCD(2)方法一：在線段 AD上取點(diǎn)N ,使AN 2ND 則MN PPA又由(1)得PA 平面ABCD MN 平面ABCD又. AC 平面 ABCDMN AC 作 NO AC 于 O又. MN NO N , MN 平面 MNO, NO 平面 MNO AC 平面 MNO 又. MO 平面 MNO，AC MO又 AC NOMON是二面角M AC D的一個(gè)平面角1 x AP 2 2x, ONANxAD22PM設(shè) x 則MNPD這樣，二面角MAC D的大小為60即 tan MONMNON2 2x

36、PMPDx 4 2 .3，滿足要求的點(diǎn) M存在，且或 4 273PDtan60,3方法二：取 BC的中點(diǎn)E ,則AE、AD、AP三條直線兩兩垂直可以分別以直線 AE、AD、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系uuv、幾PM設(shè)PD uuuv AMx 0,1 則 MN 1 x AP 22x, AN xAD &x且由（1）知AP 0,0,2是平面ACD的一個(gè)法向量uuv 一 0,也x,2 2x , ACV2, V2,0uuv設(shè)AQ a,b,c是平面ACM的一個(gè)法向量uuv uuuv -a bAQ AM 2xb 2 2x c 0_則 uuv uuv l lV2xAQ AC .2a 、2b 0

37、c b2x 2uuv-令b 2x 2,則AQ 2x 2,2x 2,，2x，它背向二面角uuv又.平面ACD的法向量AP0,0,2 ,它指向二面角這樣，二面角MAC D的大小為60uuv uuiv 即 cosAP, AQuuv uuv AP AQuuv uuivAP AQ2 2x. cc 1222 cos60 2 .1 2 2x 2 2x 、，2x2即x 4 2,3，滿足要求的點(diǎn)M存在，且PM 4 2J3PD6 2020屆廣東省東莞市高三期末調(diào)研測試】如圖，在四棱錐 S ABCD中，已知四邊形 ABCD是邊長為J2的正方形，點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)。，點(diǎn)P在SD上，且VS

38、AC的面積為1.(1)若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面 SCD 平面PAC；(2)在SD上是否存在一點(diǎn)P使得二面角P AC D的余弦值為5 ?若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不 存在，說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)利用等腰三角形 蘭線合一 ”證明SD 平面PAC ,進(jìn)而證明平面SCD 平面PAC ; _ uuruur(2)分另1J以O(shè)B,OC,OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,設(shè)spsd，利用平面的法向量求二面角，進(jìn)而計(jì)算得到 即可【詳解】(1)二點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為點(diǎn) O,，SO 平面ABCD,.四邊形 ABCD是邊長為 近 的正方形，. AC 2,1 二角形 SAC 的面

39、積為 1,.-. - 2 SO 1,即 SO 1, . . SC J2,2CD，點(diǎn)P是SD的中點(diǎn),526 / 27 .CP SD,同理可得 AP SD,又因?yàn)?API CP P,AP,CP 平面 PAC,SD 平面 PAC ,. SD 平面 SCD, 平面SCD 平面PAC(2)存在，如圖，連接OB，易得OB,OC,OS兩兩互相垂直 分別以O(shè)B,OC,OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,則 A 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,S 0,0,1 ,D1,0,0，假設(shè)存在點(diǎn)p使得二面角P ACD的余弦值為恒,5U不妨設(shè)spuuu SD,點(diǎn)P在SD上，01,uuu又 SD 1,0,

40、 1 ,uurP ,0,1,uuuuuurAP ,1,1, ACSP ,0,r設(shè)平面PAC的法向量為n0,2,0 , r uur n AP 0 x y 1x, y, z，則 r uuur ，.二 n AC 0 2y 0r令z，可得x 1，平面PAC的一個(gè)法向量為n 1,0,uuu5又平面ACD的一個(gè)法向量為 OS 0,0,1，二面角P AC D的余弦值為 ,uuu r c costOS, nuuu rOS n1 0，30 / 271解得 一或 1 (舍)3所以存在點(diǎn)P符合題意，點(diǎn)P為棱SD靠近端點(diǎn)S的三等分點(diǎn)7.12020屆山西省太原市第五中學(xué)高三11月階段性考試】如圖，在三錐A BCD中，頂

41、點(diǎn)A在底面BCD上的投影O在BD上，AB AD 金,BC BD 2, CBD 90 , E為CD的中點(diǎn).(1)求證：AD 平面ABC;(2)求二面角B AE C的余弦值；BP(3)已知點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，在棱BD上是否存在點(diǎn)P,使得PQ 平面ABE,若存在，求的值；若BD不存在，說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)由題知：AO 平面BCD ,所以平面ABD 平面BCD BD,因?yàn)锽C BD ,所以BC，平面ABD , 所以BC AD .又根據(jù)勾股定理得到 AD AB ,所以AD 平面ABC.(2)首先以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OE, OD , OA為x軸，y軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 找到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出平面ABE和平面ACE的法向量，帶入公式計(jì)算即可 .uuir11uuir r1(3)首先設(shè)P(0, y0,0) , PQ (-, y0,-),根據(jù)PQ 平面ABE,得到PQ /n ,即可求出y0 ,再222BP計(jì)算占即可.BD【詳解】