高考數(shù)學(xué)壓軸題突破訓(xùn)練--函數(shù)(含詳解)

1、找家教，到陽(yáng)光 陽(yáng)光家教網(wǎng) 全國(guó)最大家教平臺(tái)高考數(shù)學(xué)壓軸題突破訓(xùn)練：函數(shù)1. 甲乙兩公司生產(chǎn)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)，及任意的，當(dāng)甲公司投入萬(wàn)元作宣傳時(shí)，乙公司投入的宣傳費(fèi)若小于萬(wàn)元，則乙公司有失敗的危險(xiǎn)，否則無(wú)失敗的危險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入萬(wàn)元作宣傳時(shí)，甲公司投入的宣傳費(fèi)若小于萬(wàn)元，則甲公司有失敗的危險(xiǎn)，否則無(wú)失敗的危險(xiǎn). 設(shè)甲公司投入宣傳費(fèi)x萬(wàn)元，乙公司投入宣傳費(fèi)y萬(wàn)元，建立如圖直角坐標(biāo)系，試回答以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)解釋；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙兩公司在均無(wú)失敗危險(xiǎn)的情況下盡可能少地投入宣傳費(fèi)用，問(wèn)此時(shí)各應(yīng)投入多少宣傳費(fèi)？(3)若甲、乙分別在上述策略下，為確保無(wú)失敗

2、的危險(xiǎn)，根據(jù)對(duì)方所投入的宣傳費(fèi)，按最少投入費(fèi)用原則，投入自己的宣傳費(fèi)：若甲先投入萬(wàn)元，乙在上述策略下，投入最少費(fèi)用；而甲根據(jù)乙的情況，調(diào)整宣傳費(fèi)為；同樣，乙再根據(jù)甲的情況，調(diào)整宣傳費(fèi)為如此得當(dāng)甲調(diào)整宣傳費(fèi)為時(shí)，乙調(diào)整宣傳費(fèi)為；試問(wèn)是否存在，的值，若存在寫出此極限值（不必證明），若不存在，說(shuō)明理由. 2. 已知三次函數(shù)在y軸上的截距是2，且在上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減.20070328 ()求函數(shù)f (x)的解析式； ()若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.3. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱。（1）求函數(shù)的解析式；（2）如果，試求出使成立的取值范圍；（3）是否存在區(qū)間，使對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意

3、實(shí)數(shù)，只要，且時(shí)，都有恒成立？4已知函數(shù)： （）證明：f(x)+2+f(2ax)=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立. （）當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閍+,a+1時(shí)，求證：f(x)的值域?yàn)?，2； （）設(shè)函數(shù)g(x)=x2+|(xa)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .5. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間.對(duì)任意的上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法. （1）證明：對(duì)任意的，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間； （2）對(duì)給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于；6. 設(shè)關(guān)于的方程的兩根分別

4、為、，函數(shù)（1）證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，在區(qū)間上的最大值與最小值之差最小7. 已知函數(shù)在處取得的極小值是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8. 已知二次函數(shù)設(shè)方程f(x)x有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2.()如果，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為xx0,求證x01;()如果，且f(x)x的兩實(shí)根相差為2，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍.9. 函數(shù)的定義域?yàn)镽，并滿足以下條件：對(duì)任意，有；對(duì)任意、，有； 則（1）求的值； （4分） （2）求證：在R上是單調(diào)增函數(shù)； （5分）（3）若，求證：10. 已知函數(shù)在區(qū)間0，1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減；（1）求a的值；（2）

5、求證：x=1是該函數(shù)的一條對(duì)稱軸；（3）是否存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰好有兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.11. 定義在區(qū)間（0，）上的函f(x)滿足：（1）f(x)不恒為零；（2）對(duì)任何實(shí)數(shù)x、q,都有.（1）求證：方程f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)根；（2）若abc1,且a、b、c成等差數(shù)列，求證：；（3）（本小題只理科做）若f(x) 單調(diào)遞增，且mn0時(shí)，有，求證：12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)R (x)=3700x + 45x2 10x3(單位：萬(wàn)元), 成本函數(shù)為C (x) = 460x + 5000 (單位：萬(wàn)元

6、). 又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf (x)定義為: Mf (x) = f (x+1) f (x). 求:（提示：利潤(rùn) = 產(chǎn)值 成本）(1) 利潤(rùn)函數(shù)P(x) 及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x); (2) 年造船量安排多少艘時(shí), 可使公司造船的年利潤(rùn)最大? (3) 邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間, 并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？13. 已知函數(shù)（且）(1) 試就實(shí)數(shù)的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求的值并寫出函數(shù)的解析式； (3) （理）記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，使得為曲線的對(duì)稱軸？若存在

7、，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 (文) 記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線，試問(wèn)曲線是否為中心對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)并加以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由14. 已知函數(shù)和 的圖象在處的切線互相平行.() 求的值；（）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.15. 設(shè)函數(shù)定義在上，對(duì)任意的，恒有，且當(dāng)時(shí)，。試解決以下問(wèn)題：（1）求的值，并判斷的單調(diào)性；（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，滿足，求證：16. （理科）二次函數(shù)f(x)=（I）若方程f(x)=0無(wú)實(shí)數(shù)根，求證：b0；（II）若方程f(x)=0有兩實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)根是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，求證：f(a)=；（III）若方程f(x)=0有

8、兩個(gè)非整數(shù)實(shí)根，且這兩實(shí)數(shù)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明存在整數(shù)k，使得.(文科)已知函數(shù)f(x)=，其中（I）若b2a,且 f(sinx)(xR)的最大值為2，最小值為4，試求函數(shù)f(x)的最小值；（II）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。17. 定義在（-1，1）上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x、y (-1,1)都有。（I）求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（II）如果當(dāng) 時(shí)，有f(x)0，判斷f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性，并加以證明；（III）設(shè)-1a2a，且f（sinx）（xR）的最大值為2，最小值為4，試求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式4xf（x）2（x

9、21）恒成立，且存在x0，使得f（x0）2（x021）成立，求c的值。20. （理）已知（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：其中無(wú)理數(shù).（文）設(shè)函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線的斜率分別為.（1）求證：；（2）若函數(shù)的遞增區(qū)間為，求的取值范圍.21.設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f(x)的極大值和極小值； （2）當(dāng)xa+1, a+2時(shí)，不等，求a的取值范圍.22. 已知函數(shù)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；（2）設(shè)函數(shù)h(x)=(1x)f(x)+16，試根據(jù)m的取值分析函數(shù)h(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).23. 已知二次函數(shù)為常數(shù)）；.若直線l1、l2與函數(shù)f（x

10、）的圖象以及l(fā)1，y軸與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示. （）求a、b、c的值； （）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式； （）若問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.24. 已知，點(diǎn)A(s,f(s), B(t,f(t) (I) 若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； (II)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：當(dāng)|x|1時(shí)，有|恒成立，求函數(shù)的解析表達(dá)式；(III)若0a1時(shí)，m 1，由得x 1時(shí)，在（1，2），（2，+）上單增；在（m，1）單減.12分3.解：（1） （6分）（2）由解得即解得（12分）（1） 由

11、，又，當(dāng)時(shí)，對(duì)于時(shí)，命題成立。（14分）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)，且時(shí)，都有成立假設(shè)時(shí)命題成立，即，那么即時(shí)，命題也成立。存在滿足條件的區(qū)間。4.解：（）證明：結(jié)論成立 4分（）證明：當(dāng) 即9分（）解： （1）當(dāng)如果 即時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增 如果當(dāng)時(shí)，最小值不存在11分（2）當(dāng) 如果如果13分當(dāng)綜合得：當(dāng)時(shí) g（x）最小值是當(dāng)時(shí) g（x）最小值是 當(dāng)時(shí) g（x）最小值為當(dāng)時(shí) g（x）最小值不存在5.解：(1)證明:設(shè)為的峰點(diǎn),則由單峰函數(shù)定義可知, 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),假設(shè),則,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間.當(dāng)時(shí),假設(shè),則,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間.(7分) （2）

12、證明：由(1)的結(jié)論可知:當(dāng)時(shí), 含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為；當(dāng)時(shí), 含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為；對(duì)于上述兩種情況，由題意得 由得即，又因?yàn)?，所?將代入得 由和解得所以這時(shí)含峰區(qū)間的長(zhǎng)度，即存在使得所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于6.解：(1)證明：，由方程的兩根分別為、知時(shí)，所以此時(shí)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)(2)解：由（）知在上，最小值為，最大值為，可求得，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值與最小值之差最小，最小值為7.解：(1)，由題意，令得的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2) ，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：- 4(-4，-2)-2(-2,2)2(2,3)3 0 0單調(diào)遞增單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 1所以時(shí)，.于是在上恒成立等價(jià)于，求

13、得.8.解：()設(shè)由條件（2分）即（4分）（5分）對(duì)（8分）（）由（11分）由代入有9.解：解法一：（1）令，得：1分4分（2）任取、，且. 設(shè)則 8分在R上是單調(diào)增函數(shù) 9分 （3）由（1）（2）知 11分 而 15分解法二：（1）對(duì)任意x、yR，有 1分 當(dāng)時(shí)2分 任意xR， 3分 4分（2）6分是R上單調(diào)增函數(shù) 即是R上單調(diào)增函數(shù)； 9分（3）11分而10.解：（1），（2）設(shè)點(diǎn)A（x由交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于方程即b=4或b=0為所求.11.解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一個(gè)實(shí)根，使得（2），則0，又a+c=2b,ac-b=即acb(3)又令m=b,n=,b且q則f(m)+f(n)=(qf(

14、b)=f(mn)=0且即4m=,由0n1得，12.解：(1) P(x) = R (x) C (x) = 10x3 + 45x2 + 3240x 5000 (xN且x1, 20); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) P (x) = 30x2 + 60x +3275 (xN且x1, 20). 4分 (2) P(x) = 30x2 + 90x + 3240 = 30( x +9 )(x 12) (xN且x1, 20) 7分 當(dāng)1 x 0, P(x)單調(diào)遞增, 當(dāng) 12 x 20時(shí), P(x) 0 , P ( x ) 單調(diào)遞減. x = 12 時(shí), P(x)取最大值, 10分 即, 年建

15、造12艘船時(shí), 公司造船的年利潤(rùn)最大. 11分 (3) 由MP(x ) = 30( x 1) 2 + 3305 (xN且x1, 20). 當(dāng)1x2 (5分)（III）設(shè)mx1x22a0, (7分)(2) 不存在 當(dāng)a=1時(shí)，c=1,此時(shí)存在x0,使17.解：(I)證：令x=y=0，則f(0)+f(0)=f(0), 故f(0)=0令y=-x,則f(x)+f(-x)= f(-x)=-f(x) 函數(shù)f(x)的奇函數(shù) 4（II）設(shè)-1x1x21，則 因此 函數(shù)f(x)在（-1，1）上是減函數(shù) 8（III） 是（-1，1）上的減函數(shù)， 由 得x2 9 當(dāng)a=0時(shí)， ，原不等式的解集為x|x2 10 當(dāng)-

16、1a2中原不等式的解； 若x1,x1+ 故原不等式的解集為 12 當(dāng)0a1時(shí)，x2，則a(x-1)1,x1+ 故原不等式的解集為x| 18.解：（1）奇函數(shù)的圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率均為負(fù) 對(duì)于任意且有3分從而與異號(hào)在上是減函數(shù)5分（2） 的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?分 上述兩個(gè)定義域的交集為空集 則有： 或9分解得：或故c的取值范圍為或10分（3） 恒成立 由(2)知：當(dāng)時(shí) 當(dāng)或時(shí)且 此時(shí)的交集為12分當(dāng) 且 此時(shí)的交集為故時(shí)，存在公共定義域，且當(dāng)或時(shí)，公共定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，公共定義域?yàn)?19.解：（1）由函數(shù)f（x）的圖像開口向上，對(duì)稱軸xb/2a2a，故a1，c2。f（x）x23x2，最小值為

17、17/4。（2）令x1，代入不等式4xf（x）2（x21）得f（1）4，即abc4，從而b4ac。又4xf（x）恒成立，得ax2（b4）xc0恒成立，故（b4）24ac0，ac。又b0，ac4，c1或c2。當(dāng)c2時(shí)，f（x）2x22，此時(shí)不存在滿足題意的x0。當(dāng)c1時(shí)滿足條件，故c1。20.解：（理）（1）若時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若時(shí)，對(duì)恒成立.在上單調(diào)遞減. 若，由，由可得或，在單調(diào)遞減，在（，上單調(diào)遞減，綜上所述：若時(shí)，在（）上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在（和）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.21.解：（1）f(x)=x2+4ax3a2=(x3a)(xa),由f(x)0得

18、：ax3a由f(x)0得，x3a，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a, 3a），單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）列表如下：x(，a)a(a, 3a)3a(3a,+ )f(x)0+0f(x)a3+bb函數(shù)f(x)的極大值為b，極小值為a3+b 7分 （2）上單調(diào)遞減，因此 不等式|f(x)|a恒成立， 即a的取值范圍是22.解：(1) 方法一： x1 , ， 當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，取等號(hào)，故函數(shù)f(x)的最小值為0； 方法二： x1， 當(dāng)且僅當(dāng)即x=4時(shí)，取等號(hào)，故函數(shù)f(x)的最小值為0.方法三：求導(dǎo)（略） 4分（2）由于h(x)=(1x)f(x)+16=設(shè) F(x)=g(x)h(x)= (且

19、)，則，6分令得x=3或x=1（舍）又， ，F(xiàn)（3）6ln315+m根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)及函數(shù)的單調(diào)情況、取極值的情況作出的草圖如下：11分由此可得：當(dāng)或時(shí)，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn).23.解：（I）由圖形 知：，函數(shù)f（x）的解析式為4分（）由得0t2直線l1與f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（6分由定積分的幾何意義知：9分（）令因?yàn)閤0，要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)x（0，1）時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)x（1，3）時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)x（3，+）時(shí)，是增函數(shù)當(dāng)x=1或x=3時(shí)，12分又因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，當(dāng)所以要使有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須即m=7或當(dāng)m=7或時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)24.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3