2013屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案：第19講用樣本估計總體及線性相關(guān)關(guān)系

1、2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第19講用樣本估計總體及線性相關(guān)關(guān)系1 .課標(biāo)要求：1 .用樣本估計總體通過實(shí)例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中， 學(xué)會列頻率分布表、 畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會他們各自的特點(diǎn)；通過實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；在解決統(tǒng)計問題的過程中， 進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想， 會用樣本的頻率分布 估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性；會用隨機(jī)

2、抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異；形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識。2 .變量的相關(guān)性通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。2 .命題走向統(tǒng)計”是在初中統(tǒng)計初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會用樣本的頻率分布估計總 體的分布，并會用樣本的特征來估計總體的分布。預(yù)測2013年高考對本講的考察是：1 .以基本題目

3、(中、低檔題)為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問題為 背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實(shí)際問題的能力；2 .熱點(diǎn)問題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。3 .要點(diǎn)精講1 .用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到小 (或從小到大)排列，處在中間位置上的一個數(shù)據(jù)(或中間兩 位數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)平均數(shù)與方差如果這n個數(shù)據(jù)是x1, x2,xn,那么x1 n1 xi叫做這n個數(shù)據(jù)平均數(shù);n i 1如果這n個數(shù)據(jù)是x1, x2,xn,那么S21 n1 (

4、xi x)叫做這n個數(shù)據(jù)方差；同 n i 1時s J1 (xi x)叫做這n個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 ,n i 12 .頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖樣本中所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻率和樣本容量的比， 就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來表不。頻率分布直方圖：具體做法如下：(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖。注：頻率分布直方圖中小正方形的面積二組距x頻率=頻率。折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖?？傮w密度

5、曲線：當(dāng)樣本容量足夠大， 分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑 曲線為總體密度曲線。3 .線性回歸回歸分析：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時， 因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個 變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。回歸直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：y? a bxon_ n(Xi x)(yi y)Xi yi nxy其中b J-L- V, a y bxo我們稱這個方程為 y對x的/一、222(xi x)xinxi 1i 1回歸直線方程。四.典例解析題型1:數(shù)字特征例1.為了檢查一批

6、手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗(yàn)，得到這 20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下：殺傷半鈴(米)7Sg1011n手榴彈數(shù)(顆)15463i(1)在這個問題中，總體、個體、樣本和樣本容量各是什么？(2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計這批手榴彈的平均 殺傷半徑.解析：(1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的 20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。(2)在20個數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了 6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10 (米)。20個數(shù)據(jù)從小到大排列，第 10個和第11個數(shù)據(jù)是最中間的兩個數(shù)，分別為 9 (米)和10 (米

7、)，所以中位數(shù)是 -(9+10) =9.5 (米)。21樣本平均數(shù) x (7 1 8 5 9 4 10 6 11 3 12 1) 9.4(米)20所以，估計這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4米。點(diǎn)評：(1)根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的概念答題.要注意：總體、個體和樣本 所說的考察對象是一種數(shù)量指標(biāo)，不能說成考察的對象是手榴彈，而應(yīng)說是手榴彈的殺傷半徑。(2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計這批手榴彈的平均 殺傷半徑.另外在這里要會簡便計算有多個重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。例2.為估計一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯

8、店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為:0.63.72.21.51.71.22.13.2(1)通過對樣本的計算，估計該縣 日計算)；2.81.01999年消耗了多少盒一次性筷子(每年按350個營業(yè)(2)2001年又對該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個樣本飯店，每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒.求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率(2001年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與1999年相同)；(3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材0.07m3,求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計算中需用的有關(guān)數(shù)

9、據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g,所用木材的密度為0.5M03kg/m3；(4)假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做，簡要地用文字表述出來。人，一1解析：（1）x（0.63.7 2.21.5 2.81.7 1.22.13.21.0） 2.010所以，該縣1999年消耗一次性筷子為 2400X350=420000 （盒）。(2)設(shè)平均每年增長的百分率為X,則2 (1+X) 2=2.42,解得X1二0.1=10%, X2=2.1 (不合題意，舍去)。所以，平均每年增長的百分率為10%;(3)可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為7260 (套)。0.005 2.4

10、2 100 600 3500.5 103 0.07(4)先抽取若干個縣(或市、州)作樣本，再分別從這些縣(或市、州)中抽取若干家 飯店作樣本，統(tǒng)計一次性筷子的用量.點(diǎn)評：本題是一道統(tǒng)計綜合題，涉及的知識點(diǎn)很多， 需要靈活運(yùn)用各種知識分析解決問題.對于第(1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計總體的思想來求得問題的解.對于第(2)小題，實(shí)際是一個增長率問題的應(yīng)用題，可通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法來解.對于 第(3)小題，用到了物理公式m= ”， 體現(xiàn)了各學(xué)科知識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生觸類旁通，在解決實(shí)際問題時能綜合運(yùn)用多種知識靈活地解決問題.第(4)小題只要能夠運(yùn)用隨機(jī)抽樣方法，能體會到用樣本估計

11、總體的統(tǒng)計思想就可解決，在文字表述上要注意簡潔、明了、正確。題型2:數(shù)字特征的應(yīng)用例3.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲 。解析：X甲=5 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0 , 乂乙=4( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8)= 10.0;s。= 1( 9.82 + + 10鷺)-102 = 0.02, s/=白 9.42 + + 9.82) T02 = 0

12、.244 > 0.02。點(diǎn)評：方差與平均數(shù)在反映樣本的特征上一定要區(qū)分開。例4.在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.48.49.49.99.69.49.7去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(A) 9.4, 0.484(B) 9.4,0.016(C) 9.5, 0.04(D) 9.5, 0.016答案：D;解析：7個數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后，余下的 5個數(shù)為：9.4, 9.4, 9.6,9.4, 9.5。9.4 9.4 9.6 9.4 9.5則平均數(shù)為：x 9.46 9.5,即x 9.5。5方差為：s2 1(9.4 9.5)2 (9.4

13、9.5)2(9.5 9.5)2 0.0165即 s20.016，故選 D。點(diǎn)評：一定要根據(jù)實(shí)際的題意解決問題，并還原實(shí)際情景。題型3:頻率分布直方圖與條形圖例5.為檢測，某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個容量為 30的樣本，檢測結(jié)果為一級品5件，而 極品8件,三級品13件，次品14件.(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出表示樣本頻率分布的條形圖；(3)根據(jù)上述結(jié)果，估計辭呈商品為二極品或三極品的概率約是多少解析：(1)樣本的頻率分布表為產(chǎn)品頻數(shù)頻率級晶50. 17二級晶80. 27三級晶130. 43次品40. 13(2)樣本頻率分布的條形圖為:(3)此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.4

14、3=0.7。點(diǎn)評：條形圖中縱坐標(biāo)一般是頻數(shù)或頻率。例6. (2006重慶理，6)為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100(A)20(B)30(C)40(D) 50答案：C；解析：根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在56.5,64.5學(xué)生的累積頻率為 2X0.03 + 2X0.05 + 2X0.05+ 2X0.07=0.4,則體重在56.5,64.5學(xué)生的人數(shù)為 0.4 X00=40。點(diǎn)評：熟悉頻率、頻數(shù)、組距間的關(guān)系式。例7.某中學(xué)對高三年級進(jìn)行身高統(tǒng)計，測量隨機(jī)抽取的40名學(xué)生的身高，其結(jié)果如下(單位：cm)分組140 ,145)145 ,150)150,155)155 ,160)160

15、,165)165 ,170)170 ,175)175 ,180)合計人數(shù)12591363140(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計數(shù)據(jù)落在150, 170范圍內(nèi)的概率。解析：(1)根據(jù)題意可列出頻率分布表:分值，頻爹頻率140, 14510.025145, 15020.050150, 15550.125155, 16090.225160, 165130.325165, 17060.15170, 17530.075175, 18010.025合計401.00(2)頻率分布直方圖如下:馬利斯83 4 63 6 83 9解析：魯斯的成績相對集中，穩(wěn)定在46左右；馬利斯成績相對發(fā)

16、散，成績穩(wěn)定在26(3)數(shù)據(jù)落在150, 170范圍內(nèi)的概率約為 0.825。題型4:莖葉圖例8.觀看下面兩名選手全壘打數(shù)據(jù)的莖葉圖，對他們的表現(xiàn)進(jìn)行比較。60個全壘打的記錄。下面是揚(yáng)1961年揚(yáng)基隊外壘手馬利斯打破了魯斯的一個賽季打出 基隊的歷年比賽中的魯斯和馬利斯每年擊出的全壘打的比較圖:魯斯015225439 7 6 61149 4 4506左右O題型5:線性回歸方程例9.由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系，畫出散點(diǎn)圖，并指明相關(guān)性。施化肥風(fēng)度里加rxi葡354口ZZZI水用產(chǎn)量wM573a5405445450455 |解析：散點(diǎn)圖為:再同時給物在封裝同在平的宜角坐標(biāo)奈中表示的點(diǎn).通過

17、圖象可知是正相關(guān)。例10.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實(shí)驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時間t之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù):時間t(s)5101520304050607090120深度y( m)610101316171923252946畫出散點(diǎn)圖；(2)試求腐t深度y對時間t的回歸直線方程。略解：(1)散點(diǎn)圖略，呈直線形。(2)經(jīng)計算可得_111111二一一 一 一，2_2_ _t =46.36 , y =19.45, ti =36750, yi =5442,ti yi =13910。i 1i 1i 111_tiyi 11 tyi 113910 11 46.36 19.45B= -r,=2 0.3.236750 1

18、1 46.362ti11 ti 1A= y bt =19.45 03 46.36 5.542。故所求的回歸直線方程為y =0.3t+5.542。題型6:創(chuàng)新題例11 .把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為 10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積 頻率為0.79,而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為.答案：16點(diǎn)評：已知前七組的累積頻率為0.79,而要研究后三組的問題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1 0.79=0.21,進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計 算后三組的共有頻數(shù)。由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79 X100=79,故后三

19、組共有的頻數(shù)為a (1 q3)21,依題息 =21, ai (l+q+q?) =21. - ai=i , q=4 o，后二組頻數(shù)取局的一組的頻1 q數(shù)為16。此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來解嗎?例12.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績分布如下表:分?jǐn)?shù)段0, 80)80, 90)90, 100)人數(shù)256分?jǐn)?shù)段100, 110)110, 120)120, 130)人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段130, 140)140, 150)人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在100, 110)中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿 110分的累積頻率分別是 (精確到0.01).解析：由頻率計算方法知：總?cè)藬?shù) =45.分?jǐn)?shù)在100, 110

20、)中的頻率為 =0.178 =0.18.45分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為2 5 6 8 =左，0.47.4545答案：0.18 0.47五.思維總結(jié)1 .統(tǒng)計是為了從數(shù)據(jù)中提取信息，學(xué)習(xí)時根據(jù)實(shí)際問題的需求選擇不同的方法合理地 選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。不應(yīng)把統(tǒng)計處理成數(shù)字運(yùn)算和畫圖表。對統(tǒng)計中的概念(如"總體"、"樣本"等)應(yīng)結(jié)合具體問題進(jìn)行描述性說明，不應(yīng)追求嚴(yán)格的形 式化定義。2 .當(dāng)總體中個體取不同值很少時，我們黨用樣本的頻率分布標(biāo)記頻率分布梯形圖取估 計總體體分布，總體分布排除了抽樣造成的錯誤，精確反映了總體取值的概率分布規(guī)律。對 于所取不同數(shù)值較多或可以在實(shí)數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)取值的總體，需用頻率分布直方圖來表示 相應(yīng)的頻率分布。當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小時，頻率分布直方圖無限 接近一條光滑曲線 一一總體密度曲線.由于總體分布通常不易知道，往往是用樣本的頻 率分布估計總體分布。樣本容量越大，估計就越精確。3 .相關(guān)關(guān)系研究兩個變量間