2020-2021中考數(shù)學壓軸題專題銳角三角函數(shù)的經(jīng)典綜合題含詳細答案

1、2020-2021中考數(shù)學壓軸題專題銳角三角函數(shù)的經(jīng)典綜合題含詳細答案一、銳角三角函數(shù)1.如圖，4ABC 內(nèi)接于。O, BC 2,ABAC，點D為Ac上的動點，且cosB 10 .10(1)求AB的長度；(2)在點D運動的過程中，弦 AD的延長線交BC的延長線于點E,問AD?AE的值是否變化? 若不變，請求出 AD?AE的值；若變化，請說明理由.DH .在點D的運動過程中，過 A點作AHXBD,求證：BH CD【答案】(1) AB =50 ; (2) AD AE 10 ; (3)證明見解析【解析】【分析】(1)過A作AFL BC,垂足為F,交。于G,由垂徑定理可得 BF=1,再根據(jù)已 知結合R

2、t AAFESPM求得 AB長；(2)連接DG,則可得AG為。的直徑，繼而可證明 DA34FAE)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 AD?AE=AF?AG連接BG,求得AF=3, FG=1 ,繼而即可求得 AD?AE的值；3(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,通過證明AD8 4ADN,可得AC=AN,繼而可得 AB=AN,再卞據(jù) AHXBN,即可證得 BH=HD+CD.【詳解】(1)過A作AU BC,垂足為F,交。于G,1 . AB=AC, AF± BC, . . BF=CF=1 BC=1,嘰，,W在 RtAAF沖,BF=1, -AB=cosB V10；10(2)連接DG

3、,2 .AFXBC, BF=CF，AG 為。的直徑，. / ADG=/ AFE=90 , 又 / DAG=Z FAE DAG FAE,3 .AD: AF=AG: AE,4 .AD?AE=AF?AG連接 BG,貝U/ABG=90,BF± AG, z. BF2=AF?FG-af=/ab"_BF7=3,-1.FG=-，3c- c-10，AD?AE=AF?AG=AF? (AF+FG =3 X=10；(3)連接CD,延長BD至點N,使DN=CD,連接AN,3 / ADB=Z ACB=Z ABC, / ADC+Z ABC=180 ,° / ADN+Z ADB=180 ,/ A

4、DC=Z ADN,4 . AD=AD, CD=ND,5 .ADCAADN,.AC=AN,6 .AB=AC, .1. AB=AN,7 .AHXBN,8 .BH=HN=HD+CD.G【點睛】本題考查了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定 與性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關鍵2.如圖，在平行四邊形ABCD中，"E平分工"""，交"于點平分乙，交仞于點”，"E與"F交于點P,連接EF PD.(1)求證：四邊形是菱形；若犯=，叩=6= 口求tan"DP的值.【答案】(1)證明見解析 5【解

5、析】 試題分析：(1)根據(jù)AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得 AF=AB=BE 從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知 AP的長及/PAF=60,過點P作PHI± AD于H,即可得到 PH、DH 的長，從而可求tan/ADP試題解析：(1); AE平分/ BAD BF平分/ABC / BAE=Z EAF / ABF=Z EBF. AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB Z AFB=Z ABF ，AB=BE AB=AF，AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF為平行四邊形又 AB=BE .A

6、BEF為菱形(2)作 PH，AD于 H由 / ABC=60 而已(1)可知 /PAF=60, PA=2,貝U有 PH=百，AH=1, . DH=AD-AH=5.tan/ADP咚考點：1、平行四邊形;2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)3.如圖，在 4ABC中，/ABC=/ACB,以AC為直徑的。0分別交 AB> BC于點M、N,點P在AB的延長線上，且 / CAB=2/ BCP(1)求證：直線CP是。的切線.(2)若 BC=a/ sin/BCP=5 ,求點 B 到 AC 的距離.(3)在第(2)的條件下，求 4ACP的周長.【答案】(1)證明見解析(2) 4 (3) 20【解析】試題分

7、析：(1)利用直徑所對的圓周角為直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判斷出/ ACP=90 即可；(2)利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可.試題解析：(1) - ZABC=Z ACB,.AB=AC,.AC為。O的直徑，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2A BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ； 點D在。O上,，直線CP是。的切線；(2)如圖，作BF,AC . AB=AC, /ANC=90；1.CN= CB=.,團 /BCP玄 CAN, sin/

8、BCP=$ ,肉 sinZ CAN=-1 ,.AC=5,.AB=AC=5,設 AF=x,則 CF=5- x,在 RtABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,在 RtCBF中，BF2=BC?-CF?=2O- (5x) 2, .-25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3, .BF2=25 - 32=16,BF=4,即點B到AC的距離為4.考點：切線的判定4.在矩形ABCD中，AD>AB,點P是CD邊上的任意一點(不含 C, D兩端點)，過點 P作PF/ BC,交對角線BD于點F.(1)如圖1,將PDF沿對角線BD翻折得到aDF, QF交AD于點E.求證：4DEF是等腰三角形;(2

9、)如圖2,將4PDF繞點D逆時針方向旋轉得到 P'DF',連接P'C, F'B.設旋轉角為 a (0°< a< 180°). 若0°VaV/BDC,即DF在/BDC的內(nèi)部時，求證： DP'g DF'B. 如圖3,若點P是CD的中點，DF'B能否為直角三角形？如果能，試求出此時tan/DBF的值,如果不能，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2) 證明見解析；1或Y3 .23【解析】【分析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知/DFQ=/ ADF,所以 DEF是等腰三角形；(2) 由于PF/

10、 BC,所以DPFDCB,從而易證 ADP 的 DCB;由于DF'B是直角三角形，但不知道哪個的角是直角，故需要對該三角形的內(nèi)角進行分類討論.【詳解】(1)由翻折可知：/DFP1 DFQ,1. PF/ BC,/ DFP=Z ADF,/ DFQ=Z ADF,.DEF是等腰三角形；(2) 若0°V “V/BDC,即DF'在/ BDC的內(nèi)部時，. /P' DFf PDF,./P' DFZF' DC=PDF- /F' DC./P' D C=F' D B由旋轉的性質(zhì)可知：DP國DPF, 1. PF/ BC,.,.DPFADCB.

11、.DP' c-FADCBDCDBDP'DF ''.DP'ADF'B;當 / F' DB=9W,.DF， =DF=BD,2如圖所示,DF ' 1BD 2當/DBF =90；此時DF'是斜邊，即DF>DB,不符合題意;當/ DF B=90寸，如圖所示,.DFDF=BD,2 / DBF ' =30 .tan/DBF'立3【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，涉及旋轉的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)以及判定等知識，綜合性較強，有一定的難度，熟練掌握相關的性質(zhì)與定 理、運用分類思想進行討論是解題的

12、關鍵.5.如圖13,矩形ASCD的對角線AC , BD相交于點。，1C0D關于CD的對稱圖形 為ACED.（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）連接 ME ,若 xJ=6em ,=求sin/E仞的值；若點F為線段NE上一動點（不與點 A重合），連接8F , 一動點2從點8出發(fā)，以 加5的速度沿線段0P勻速運動到點，再以的速度沿線段巴看勻速運動到點 T,到達點 工后停止運動.當點 。沿上述路線運動到點 3所需要的時間最短時，求 刁尸的 長和點Q走完全程所需的時間.【答案】（1）詳見解析；（2）sinZW =1二二和。走完全程所需時間為32【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（

13、2）構造直角三角形求; 先確定點。沿上述路線運動到點 M所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間.試題解析：解：（1）證明：:四邊形X5CD是矩形.-.AC = BD: AC與3白交于點。，且3C0D、aC£D關于CD對稱:.D0 =C0=D0 = DE:0C = EC:.DO = OC = EC = ED 二四邊形OCED是菱形.（2）連接口工,直線OE分別交AJS于點F ,交DC于點GaCOD關于CQ的對稱圖形為ICED /.OE±DC= t DC二.必'.OFL。二心 二在矩形.4CD中，G為0。的中點，且。為ac的中點A 0G 為2CW 的中位線0G =

14、GE= 同理可得：F為的中點，0F = ，月產(chǎn)=32sinUAD = siti TEF =4- = 9 3過點P作PM L交AS于點M二0由。運動到戶所需的時間為3s2由 可得，AM =，且產(chǎn)3二點O以L5u帆/5的速度從P到A所需的時間等于以1c初 6從M運動到AOP MA 即： 一'-.-二0由O運動到P所需的時間就是 OP+MA和最小.;如下圖，當P運動到嚀，即嚀。二一二時，所用時間最短./. I - 0P +鼻力 - 3-在R 犯皿中,設AU = 2工.建=3M.珥】=力f J + 月必二二（3 y）2 =（2x）:+（止）2解得：> ） -33二月尸二二和。走完全程所需

15、時間為 不A Mi " /考點：菱形的判定方法；構造直角三角形求三角函數(shù)值；確定極值時動點的特殊位置6.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5 分）已知：如圖， AB是半圓。的直徑，弦CD/AB,動點P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ OP , AP的延長線與射線 OQ相交于點E、與弦CD相交于點F （點F與4點C、D不重合），AB 20, cos AOC .設OP x, CPF的面積為N .5(1)求證：AP OQ ;(2)求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域；(3)當 OPE是直角三角形時，求線段 OP的長.、r l3x2【答案】(

16、1)證明見解析；(2) y 絲603(50 x 10); (3) OP 813(1)證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，通過分析已知條件,OP DQ ,聯(lián)結OD后還有OA DO ,再結合要證明的結論 AP OQ ,則可肯定需證明三角形全等，尋 找已知對應邊的夾角，即POA QDO即可；3)分(2)根據(jù) PFCs PAO ,將面積轉化為相似三角形對應邊之比的平方來求；(4成二種情況討論，充分利用已知條件cos AOC 、以及(1) (2)中已證的結論，注5意要對不符合(2)中定義域的答案舍去.【詳解】(1)聯(lián)結 OD，: OC OD , CD/AB ,OCDPOACOA,QDO .在AOP和

17、ODQ 中,OCD ODC ,OP DQ POAOA DOA AP OQ ；作PHOA,交 OA 于 H ，PH3一 x, 5cos AOC4 . OH -OP51 S AOP - AO PH 3x . CD/AB ,PFCs PAOyS AOP需2J。x、2(),60x300 lr，當F與點D重合時,x“4 CD 2OC cos OCD 2 10 - 16, 510 的/日 50一,解得x 一16133x2 60x 300 / 50y ( x 1°)；x 13(3) 當 OPE 90o時，OPA 900, 4cOP OA cos AOC 10 - 8； 5“ OC1010 25CQ

18、 當 POE 90° 時，cos QCO cos AOC 4 2 ，5OP DQ CD CQ CD 16 225013OP OP 7 (舍去)；2當 PEO 90o 時，CD/AB,AOQDQO ,AOPODQ ,DQO APO ,AOQ APO,AEO AOP 90o,此時弦CD不存在，故這種情況不符合題意，舍去;綜上，線段OP的長為8.7. (2013年四川攀枝花12分)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 ABCD是梯形，AB/ CD,點 B (10, 0) , C (7, 4).直線 l 經(jīng)過 A, D 兩點，且 sinZ DAB=2 .動點 P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單

19、位的速度向點 B運動，同時動點 Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿 B-CAD的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線 A- D-C相交于點M,當P, Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設點 P, Q運動的時間為t秒(t>0) , 4MPQ的面積為S.(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的 t的取值范圍；(3)試求(2)中當t為何值時，S的值最大，并求出 S的最大值；(4)隨著P, Q兩點的運動，當點 M在線段DC上運動時，設 PM的延長線與直線l相交 于點N,試探究：當t為何值時，4QMN為等腰三角形？請直接寫出 t的值.【答案】解：(1) (

20、-4,0); y=x+4.(2)在點P、Q運動的過程中：當0vt w時，如圖1,過點C作CF，x軸于點F,則CF=4, BF=3,由勾股定理得 BC=5.3過點 Q 作 QE，x 軸于點 E,則 BE=BQ?cos/ CBF=5t?=3t.5PE=PB- BE= (14 2t) - 3t=14 - 5t,c 1 一 1 c -、2 ,S=PM?PE=X 2t g45t) =- 5t2+14t.22當1 vt w對，如圖2,過點C Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F, E,則CQ=5t- 5, PE=AF- AP- EF=11-2t -(5t 5) =16- 7t.S=1 PM?PE=1 X 2t

21、 g67t) =7t2+16t. 22當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7,即(2t 4) + (5t 5) =7,解得 t= 16 . 7當2<t< 一時，如圖3,MQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t,S=- PM?MQ= - X 4><16 -7t) =- 14t+32.綜上所述，點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關系式為5t2S 7t214t14t 0<t 116t 1<t 2322<t<162當0Vtw時,S5t2 14t5 t 755. a= - 5< 0,拋物線開口向下，對稱軸為直線t=-,5當0

22、v t w時，S隨t的增大而增大.當t=1時，S有最大值，最大值為 9.2當 1vtw對，S7t216t7 t 8 空，778a= - 7< 0,拋物線開口向下，對稱軸為直線t=,7當t= 8時，S有最大值，最大值為 64 . 當 2vtv /時，S=- 14t+327. k=- 14<0,，S隨t的增大而減小.又.當 t=2 時，S=4；當 t=16 時，S=0, .0vSv 4.7綜上所述，當t=8時，S有最大值，最大值為 64 .(4) t=20或t=12時，AQMN為等腰三角形.95【解析】(1)利用梯形性質(zhì)確定點D的坐標，由sin/DAB=Y2,利用特殊三角函數(shù)值，得到2

23、 AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標；由點 A、求出直線l的解析式：占八、D的坐標，利用待定系數(shù)法,. C (7,4), AB/ CD,D (0, 4). sinZ DAB= ,Z DAB=45 . . . OA=OD=4.2.A ( 4,0)4k b設直線l的解析式為：y=kx+b,則有 b 41.y=x+4.4，點A坐標為(-4, 0),直線l的解析式為:y=x+4.(2)弄清動點的運動過程分別求解：當0vtwM,如圖1；當1vtw附，如圖2;當2vtv”時，如圖3.7(3)根據(jù)(2)中求出的S表達式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值.(4) 4QMN為等腰三角形的情形有

24、兩種，需要分類討論：如圖4,點M在線段CD上，,5DMQ=CDDM CQ=7 ( 2t 4) ( 5t 5) =16 7t, MN=DM=2t - 4,20由 MN=MQ ,得 16 7t=2t -4,解得 t=.9如圖5,當點M運動到C點，同時當Q剛好運動至終點 D,此時4QMN為等腰三角形，t=.5.當t=20或t=12時，4QMN為等腰三角形.95考點：一次函數(shù)綜合題，雙動點問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函 數(shù)值，由實際問題列函數(shù)關系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類 思想的應用.8.如圖，已知點 H從0）出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運

25、動，以億人 為頂點作菱形如1nq使點氏。在第一象限內(nèi)，且£出兀=601；以po, 3）為圓心，pc為 半徑作圓.設點才運動了 1秒，求：（1）點C的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；的邊所在直線相切的鼠 OD - 0Ccos60* =DC- O(?sm6D0 = LP與。相切時（如圖1）,切點為PCLOC圖工鼠 0C = OPcos300、口 玲,當°廠與OP,即與、軸相切時（如圖2）,則切點為0, PC °r過上作po = op于E1 + t33二 OPCQ 瀏"=22當0 P與。P所在直線相切時（如圖3）,設切點為1PI, 0 P交”于2,則 |PE 1

26、0CPC = OPsin30” 十 過仃作iy軸于p,則p# * "=pc'1+ t 2 鳳1 + t)2 3 (1 + t)*丁) +(2!2- 3)=勺 + _) 化簡，得 + 1尸-】30 +1)+ 27 =0, 解得t + 1 =八3±6國v t = q 串-gR -1 。,所求t的值是工 ，八-1和%* + 6外- 1.【解析】(1)過。作匚以軸于",利用三角函數(shù)求得 OD、DC的長，從而求得點二的坐標OP與菱形OABC的邊所在直線相切，則可與 OC相切；或與 OA相切；或與AB相切，應 分三種情況探討： 當圓P與OC相切時，如圖1所示，由切線的

27、性質(zhì)得到 PC垂直于 OC,再由OA=+t,根據(jù)菱形的邊長相等得到OC=1+t,由/AOC的度數(shù)求出/POC為30°,在直角三角形 POC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cos30°=oc/op ,表示出OC,等于1+t列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；當圓P與OA,即與x軸相切時，過P作PE垂直于OC,又PC=PO利用三線合一得到 E為OC的中點，OE為OC的 一半，而OE=OPcos30,列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；當圓P與AB所在的直線相切時，設切點為F, PF與OC交于點G,由切線的性質(zhì)得到 PF垂直于AB,則PF垂直于OC,由CD=FG

28、在直角三角形 OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義由 OC表 示出CD,即為FG,在直角三角形 OPG中，利用 OP表示出PG,用PG+GF表示出PF,根 據(jù)PF=PC表示出PC,過C作CH垂直于y軸，在直角三角形 PHC中，利用勾股定理列出 關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值.9.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線 y kxA、點B ,且 ABO的面積為8.4交x軸、y軸分別于點將線段OP繞點O順時針求m與t之間的函數(shù)關系象限直線AB上的一個動點，連接 PO, 旋轉90。至線段OC ,設點P的橫坐標為t,點C的橫坐標為m , 式(不要求寫出自變量t

29、的取值范圍)；(3)在(2)的條件下，過點 B作直線BM OP ,交x軸于點M ,垂足為點N ,點K在線段MB的延長線上，連接 PK ,且PK KB 0P, PMB 2 KPB，連接MC ,求四邊形BOCM的面積.【答案】(1) k 1； (2)m t 4； (3)Sybocm 32.【解析】【分析】(1)先求出A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出k的值；(2)過點P作PD x軸，垂足為D ,過點C作CE x軸，垂足為E ,證PODOCE可彳導OE PD ,進一步得出m與t的函數(shù)關系式；(3)過點O作直線OT AB ,交直線BM于點Q ,垂足為點T ,連接QP ,先證出QTB PTO ；再證出 K

30、PB BPN ；設 KPB x ,通過計算證出 PO PM ;再過點P作PDx軸，垂足為點 D ,根據(jù)tan OPD tan BMO得到OD -BO ,PD MO列式可求得t=4;所以OM=8進一步得出四邊形BOCM是平行四邊形，最后可得其面積為32.【詳解】解：(1)把x 0代入yBO 4,1” 一- AO BO 4, AO 4, 2 A( 4,0),把 x 4, y 0 代入 y kx 4,得 0 4k 4,解得k 1.故答案為1；解：把x t代入y x 4 , y t 4,P(t,t 4)如圖，過點P作PD x軸，垂足為D,過點C作CEx軸，垂足為E ,PDO CEO 90 ,POD O

31、PD 90 ,二線段OP繞點O順時針旋轉90至線段OC ,POC90 , OP OC,PODEOC 90 ,OPDEOC,PODOE PDm t 4.故答案為mt 4.交直線BM于點Q ,垂足為點T ,連接QP ,(3)解：如圖，過點 O作直線OT AB,由（1）知，AO BO 4, BOA 90 ABO為等腰直角三角形,ABOBAO 45 ,BOT 90ABO 45BT TO ,BTO 90 ,TPO TOP 90 , PO BM ，BNOBQTQTBQT TPPOPQTQPT PO PKQB PKQKKQPKPQPQTKQP QPT KPQ ,TQB TPK ,KPB設 KPBBPNPMB

32、 2 KPB ,PMB 2x ,POM PAO APO 45 x , NMO 90 POM 45 x , PMO PMB NMO 45 x POM , PO PM ,過點P作PD x軸，垂足為點D,OM 2OD 2t,OPD 90 POD 45 x BMO ,tan OPD tan BMO ,OD BO t 4，,PD MO t 4 2tti 4, t22 (舍) OM 8,由(2)知，m t 4 8 OM ,CM P y軸，. PNM POC 90 , BM POC ,，四邊形BOCM是平行四邊形，. Sybocm bo OM 4 8 32.故答案為32.【點睛】本題考查了一次函數(shù)和幾何的綜

33、合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，添加適 當?shù)妮o助線構造全等三角形是本題的關鍵.10.如圖，在平面直角坐標系 xOy中，點P是。C外一點，連接 CP交。C于點Q,點P關 于點Q的對稱點為P',當點P在線段CQ上時，稱點P為。C友好點”.已知A(1, 0),B(0, 2), C(3, 3)(1)當。的半徑為1時，點A, B, C中是。O友好點”的是;已知點M在直線V= x+2上，且點M是。O友好點”，求點M的橫坐標m的取值3范圍；(2)已知點D(2，3, 0),連接BC, BD, CD, OT的圓心為T(t, - 1),半彳仝為1,若在 BCD 上存在一點N,使點N是。T友好點

34、”，求圓心T的橫坐標t的取值范圍.【答案】 B； 0WmwJ3； (2)-4+3J3&V3 J3.【解析】【分析】(1)限據(jù) 友好點”的定義，OB= <2r=2,所以點B是。友好點”;設M(m, - m+2 )，根據(jù) 友好點”的定義，OM = Jm23m 222，由此求解即可；N是。T友好點"，NT<r=(2)B(0, 2), C(3, 3), D(2®, 0), OT 的圓心為 T(t, - 1),點BD交于點2,所以點N只能在線段BD上運動，過點T作TNLBD于N,作TH/y軸，與H,易知 /BDO= 30 °, ZOBD= 60 

35、6;, NT= HI-,直線 BD： y= - - x+2,可知 H(t,-231+2),繼而可得NT=- It + H3,由此可得關于t的不等式，解出t的范圍即可.322【詳解】.1=1,，根據(jù)友好點”的定義，OB= <2r=2,.點B是。O友好點”，-OC= J32 32 =3 72>2r=2, .點 C 不是 0 ° 友好點A(1, 0)在。上，不是。友好點”，故答案為B;如圖，設M（m,一夸 m+2 ），根據(jù) 友好點”的定義,.OM =m2 3m 222,整理，得 2m2- 21y3mWQ解得o&y3 ； ，點M的橫坐標m的取值范圍：0葡 V3 ;(2)蛻

36、0, 2), Q3, 3), D(2j3, 0), OT 的圓心為 T(t, - 1),點 N 是。T 友好點”,-NT<r=2,，點N只能在線段 BD上運動，過點 T作TNBD于N,作TH/ y軸，與BD交于點H.22), D(2W, 0),.B(0,，直線BD： y= -x+2,3 H 點H(t,BD上，-1+2),3HT=- -1+2 _ (_ 1)= -1+3, OB 2.3tan / BDO= ，OD 2,33/ BDO=30 ;/ OBD= 60 ;/ THN=Z OBD=60 ；.NT= HT?sin/ THN=HT,，NT=®HT=立（®+3） 1t

37、+述，223221t+越. 22t - 4 + 3 y/3 ,當H與點D重合時，點T的橫坐標等于點 D的橫坐標，即t=3j3, 此時點N不是友好點”，. .t<3 73,故圓心T的橫坐標t的取值范圍：-4+3j3q3j3.【點睛】本題是圓的綜合題，正確理解友好點”的意義，熟練運用相似三角形的性質(zhì)與特殊三角函數(shù)是解題的關鍵.11. 2018年12月10日，鄭州市城鄉(xiāng)規(guī)劃局網(wǎng)站掛出鄭州都市區(qū)主城區(qū)停車場專項規(guī) 劃，將停車納入城市綜合交通體系，計劃到 2030年，在主城區(qū)新建停車泊位33.04萬個，2019年初，某小區(qū)擬修建地下停車庫，如圖是停車庫坡道入口的設計圖，其中MN是水平線，MN/AD

38、,ADDE,CFL AB,垂足分別為 D,F,坡道AB的坡度為1 :J3 ,DE=3米，點C在DE上，CD= 0.5米，CD是限高標志屏的高度（標志牌上寫有：限高米）， 如果進入該車庫車輛的高度不能超過線段CF的長，則該停車庫限高多少米？（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)J2 = 1.41 向=1.73限高一米M SN【答案】該停車庫限高約為2.2米.【解析】據(jù)題意得出tanB 立 3得出/ 1的正切值，再在【分析】,即可得出tanA,在RtADE中，根據(jù)勾股定理可求得DE,即可鼻CEF中，設EF= x,即可求出x,從而得出CF= J3x的長.解：由題意得，tanB. MN / AD,/ A= /

39、 B,tanA=3 .DEXAD,在 RtA ADE 中，tanA= DE ，AD .DE=3,又 DC= 0.5,.CE= 2.5,.CU AB, / FCE/ CEF- 90 ； .DEXAD,/ A+Z CEF= 90 ；/ A= / FCE, c 、,3 tanZ FCE= .3在 RtCEF中，設 EF= x, CF=舟(x>0) , CE= 2.5,5 一 一 一代入得(5) 2 = x2+3x2,2解得 x= 1.25,.CF=、,3x= 2.2，該停車庫限高約為 2.2米.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，坡面坡角問題和勾股定理，解題的關鍵是坡度等于坡角 的正切值.1

40、2.已知：如圖，AB為。的直徑，AC與。相切于點 A,連接BC交圓于點D,過點D 作。的切線交AC于E.(1)求證：AE= CE(2)如圖，在弧 BD上任取一點F連接AF,弦GF與AB交于H,與BC交于M,求證：/FA諭/ FBM= / EDC.(3)如圖，在(2)的條件下，當 GH= FH, HM = MF 時，tanZ ABC= 3 , DE=竺時，N44為圓上一點，連接 FN交AB于L,滿足/ NFH+Z CAF= / AHG,求LN的長.【解析】(2)詳見解析；(3) NL 40A13【分析】(1)由直徑所對的圓周角是直角，得/ADC= 90°,由切線長定理得 EA= ED,

41、再由等角的余角相等，得到/C/EDC進而得證結論.(2)由同角的余角相等，得到 /BAD=/C,再通過等量代換，角的加減進而得證結論.(3)先由條件得到 AB=26,設HM = FM = a, GH= HF=2a, BH= -a,再由相交弦定理3得到GH?HF= BH?AH,從而求出 FH, BH, AH,再由角的關系得到 HFOHAF,從而求出HL, AL, BL, FL,再由相交弦定理得到 LN?LF= AL?BL,進而求出LN的長. 【詳解】解：(1)證明：如圖1中，連接AD.圖1, AB是直徑，/ ADB= / ADC= 90 °, EA、ED是。的切線，EA= ED,/ E

42、AD= / EDA, Z C+Z EAD= 90 °, / EDC+Z EDA= 90 °, / O / EDC,.ED=EC,.AE= EC.(2)證明：如圖2中，連接AD.AC是切線，AB是直徑，/ BAG= / ADB= 90 ；b / BAD+Z GAD= 90 °, / GAD+Z G= 90 °,/ BAD= / G, / EDG= / G,/ BAD= / EDQ / DBF= / DAF, / FBM+Z FAB= / FBM+Z DAF= / BAD,(3)解：如圖3中,由(1)可知, / FA9/ FBM= / EDG39DE= AE

43、= EG DE=,4.-.AG=電,3 AG . tanZ ABG=-=4 AB393 _2_，4 AB.AB=26, . GH=FH, HM = FN,設 HM = FM=a, GH=HF= 2a, BH= 4a, 3 .GH?HF= BH?AH,(26 4 a)3 .FH=12, BH= 8, AH=18, .GH= HF, ABXGF,/ AHG= 90 ； / NFH+Z CAF= Z AHG, / NFH+Z CAF= 90 °, / NFH+Z HLF= 90 ;/ HLF= / CAF, . AC/ FG,/ CAF= /AFH,/ HLF= / AFH, / FHL=

44、 / AHF, .HFLAHAF, .FH2=HL?HA, .122=HL?18,.HL=8, AL=10, BL= 16, FL= VfHHL7 =4而， LN?LF= AL?BL,.4 13 ?LN= 10?16,.ln=4LJ1 .13【點睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及到的知識有：切線的性質(zhì)；切線長定理；圓周角定理；相 交弦定理；相似三角形性質(zhì)與判定等，熟練掌握圓的相關性質(zhì)是解題關鍵13.如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且 / PDA=/ PBD.延長PD 交圓的切線BE于點E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由；(2)如果 / BED=60°

45、, PD=J3,求 PA 的長；(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段 DF,點F正好在圓O上，如圖2,求證：四 邊形DFBE為菱形.【答案】(1)證明見解析；(2) 1; (3)證明見解析.【解析】【分析】(1)連接OD,由AB是圓O的直徑可得/ADB=90,進而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直線PD為。的切線；(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得/ P=30。，再由PD為。的切線，得 /PDO=90 ；根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根據(jù)題意可證得 /ADF=/ PDA=/ PBD=/ ABF,由AB是圓O的直徑，得 Z

46、 ADB=90 , 設/ PBD我，則可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出 x 的值，可得出4BDE是等邊三角形.進而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接OD, .AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 點D在。O上， 直線PD為。O的切線；(2) BE是。的切線，/ EBA=90 ,° / BED=60 ；/ P=30 ; .PD為。的切線,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD=y3 ,。 OD -，tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2 - 1=1;(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=/ PBD/ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF,.AB是圓O的直徑， / ADB=9。；設 / PBD=x ,貝U / DAF=Z PAD=90