2022年中考數(shù)學(xué)必考考點專題18解直角三角形問題含解析202222061160

1、專題18 解直角三角形問題 專題知識回顧 一、勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。 3.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。 4.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；(4

2、)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形(2) 兩銳角互余的三角形是直角三角形(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形二、銳角三角函數(shù)1.各種銳角三角函數(shù)的定義（1）正弦：在abc中，c=90°把銳角a的對邊與斜邊的比值叫做a的正弦，記作sina （2）余弦：在abc中，c=90°，把銳角a的鄰邊與斜邊比值的叫做a的余弦，記作cosa （3） 正切：在abc中，c=90°，把銳角a的對邊與鄰邊的比值叫做a的正切，記作ta

3、na 2.特殊值的三角函數(shù)：sincostancot0°010不存在30°45°1160°90°10不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1仰角：視線在水平線上方的角；2俯角：視線在水平線下方的角。3坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。四、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sina=cos(90°a)，cosa=sin(90°a)tana=cot(90°a)，cota=tan(90°a)（2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tan

4、atan(90°a)=1（4）弦切關(guān)系 tana=專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北省鄂州市）如圖，已知線段ab4，o是ab的中點，直線l經(jīng)過點o，160°，p點是直線l上一點，當apb為直角三角形時，則bp 【答案】2或2或2【解析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2c2分apb90°、pab90°、pba90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可aoob2，當bp2時，apb90°，當pab90°時，aop60°，apoatanao

5、p2，bp2，當pba90°時，aop60°，bpobtan12，故答案為：2或2或2【例題2】（2019湖南長沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔c的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島a出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔c的南偏東45°方向上的b處，這時輪船b與小島a的距離是（）a30nmileb60nmilec120nmiled（30+30）nmile【答案】d 【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線過點c作cdab，則在rtacd中易得ad的長，

6、再在直角bcd中求出bd，相加可得ab的長過c作cdab于d點，acd30°，bcd45°，ac60在rtacd中，cosacd，cdaccosacd60×30在rtdcb中，bcdb45°，cdbd30，abad+bd30+30答：此時輪船所在的b處與燈塔p的距離是（30+30）nmile【例題3】（2019江蘇連云港）如圖，海上觀察哨所b位于觀察哨所a正北方向，距離為25海里在某時刻，哨所a與哨所b同時發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置c位于哨所a北偏東53°的方向上，位于哨所b南偏東37°的方向上（1）求觀察哨所a與走私船所在的位置c的距離；

7、（2）若觀察哨所a發(fā)現(xiàn)走私船從c處以16海里/小時的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時，恰好在d處成功攔截（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：sin37°cos53°，cos37°sin53°，tan37°，tan76°4）【答案】（1）觀察哨所a與走私船所在的位置c的距離為15海里；（2）當緝私艇的速度為6海里/小時時，恰好在d處成功攔截【解析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出acb90°，再解rtabc，利用正弦函數(shù)定義得出ac即可；在abc中，acb180°

8、;bbac180°37°53°90°在rtabc中，sinb，acabsin37°25×15（海里）答：觀察哨所a與走私船所在的位置c的距離為15海里；（2）過點c作cmab于點m，易知，d.c.m在一條直線上解rtamc，求出cm、am解rtamd中，求出dm、ad，得出cd設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，根據(jù)走私船行駛cd所用的時間等于緝私艇行駛ad所用的時間列出方程，解方程即可過點c作cmab于點m，由題意易知，d.c.m在一條直線上在rtamc中，cmacsincam15×12，amaccoscam15×9在

9、rtamd中，tandam，dmamtan76°9×436，ad9，cddmcm361224設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，則有，解得x6經(jīng)檢驗，x6是原方程的解答：當緝私艇的速度為6海里/小時時，恰好在d處成功攔截 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1（2019渝北區(qū)）如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，則能組成直角三角形的是（）a1，2b1，3，4c2，3，6d4，5，6【答案】a【解析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可a.12+（）222，故是直角三角形，故此選項正確；b.12+3242，故不是直角三角形，故此選項錯誤；c.22+3262，故不是直角三角

10、形，故此選項錯誤；d.42+5262，故不是直角三角形，故此選項錯誤2（2019巴南區(qū)）下列各組數(shù)據(jù)中，能夠成為直角三角形三條邊長的一組數(shù)據(jù)是（）a，b32，42，52cd0.3，0.4，0.5【答案】d【解析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理看看能否組成三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理逐個判斷即可a.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；b.（32）2+（42）2（52）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；c.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；d.0.032+0.0420.052，即三角形是直角三角形，故本選項符合題意。3.（2

11、019廣西省貴港市）將一條寬度為的彩帶按如圖所示的方法折疊，折痕為，重疊部分為（圖中陰影部分），若，則重疊部分的面積為abcd 【答案】【解析】過作于，則，依據(jù)勾股定理得出的長，進而得到重疊部分的面積如圖，過作于，則，中，重疊部分的面積為，故選：4.（2019貴州省畢節(jié)市） 如圖，點e在正方形abcd的邊ab上，若eb1，ec2，那么正方形abcd的面積為（）ab3cd5【答案】b【解析】勾股定理四邊形abcd是正方形，b90°，bc2ec2eb222123，正方形abcd的面積bc23故選：b5（2019南岸區(qū)）如圖，在rtabc中，a90°，c30°，bc的垂

12、直平分線交ac于點d，并交bc于點e，若ed3，則ac的長為（）a3b3c6d9【答案】d【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到dcdb，debc，求出bddc2de3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可de是線段bc的垂直平分線，dcdb，debc，c30°，bddc2de3，dbcc30°，在abc中，a90°，c30°，abc60°，abd60°30°30°，adbd3，acdc+ad96（2019西藏）如圖，在o中，半徑oc垂直弦ab于d，點e在o上，e22.5°，ab2，則半徑ob等于（）a1bc2d2

13、【答案】b 【解析】直接利用垂徑定理進而結(jié)合圓周角定理得出odb是等腰直角三角形，進而得出答案半徑oc弦ab于點d，eboc22.5°，bod45°，odb是等腰直角三角形，ab2，dbod1，則半徑ob等于：7.（2019江蘇蘇州）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓的高度，將測角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為，測得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是（ ）abcd【答案】c 【解析】考察角的三角函數(shù)值，中等偏易題目過作交于，在中，8.（2019湖南長沙）如圖，abc中，abac10，tana2，beac于點e，d是線段be上的一個動點，則cd+b

14、d的最小值是（）a2b4c5d10【答案】b【解析】如圖，作dhab于h，cmab于m由tana2，設(shè)aea，be2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明dhbd，推出cd+bdcd+dh，由垂線段最短即可解決問題如圖，作dhab于h，cmab于mbeac，abe90°，tana2，設(shè)aea，be2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），be2a4，abac，beac，cmac，cmbe4（等腰三角形兩腰上的高相等）dbhabe，bhdbea，sindbh，dhbd，cd+bdcd+dh，cd+dhcm，cd+bd4，cd+bd的最小值為4二、填空題9.（2019&

15、#183;貴州安順）如圖，在rtabc中，bac90°，且ba3，ac4，點d是斜邊bc上的一個動點，過點d分別作dmab于點m，dnac于點n，連接mn，則線段mn的最小值為 【答案】【解析】bac90°，且ba3，ac4，bc5，dmab，dnac，dmadnabac90°，四邊形dman是矩形，mnad，當adbc時，ad的值最小，此時，abc的面積ab×acbc×ad，ad，mn的最小值為。10. （2019貴州省畢節(jié)市） 三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手將一對直角三角板如圖放置，點c在fd的延長線上，點b在ed上，abcf，facb90&

16、#176;，e45°，a60°，ac10，則cd的長度是 【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理過點b作bmfd于點m，在acb中，acb90°，a60°，ac10，abc30°，bc10×tan60°10 ，abcf，bmbc×sin30°10×5，cmbc×cos30°15，在efd中，f90°，e45°，edf45°，mdbm5 ，cdcmmd155 故答案是：15511. (2019海南)如圖,將rtabc的斜邊ab繞

17、點a順時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到ae,直角邊ac繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到af,連接ef,若ab3,ac2,且+b,則ef_.【答案】【解析】+b,eafbac+b90°,aef是直角三角形,且aeab3,afac2,ef12.（2019黑龍江哈爾濱）如圖將abc繞點c逆時針旋轉(zhuǎn)得到abc,其中點a與a是對應(yīng)點,點b與b是對應(yīng)點,點b落在邊ac上,連接ab,若acb=45°,ac=3,bc=2,則ab的長為 【答案】：【解析】將abc繞點c逆時針旋轉(zhuǎn)得到abc，aca'c3，acbaca

18、'45°a'cb90°a'b13.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30°，腰長為2，則它的周長是_【答案】【解析】如圖，過a作adbc于d，則adbadc90°，abac2，b30°，adab，由勾股定理得：bd3，同理cd3，bc6，abc的周長為bc+ab+ac6+2+26+414.（2019浙江寧波）如圖，某海防哨所o發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的a處有一艘船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的b處，則此時這艘船與哨所的距離ob約為 米（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.41

19、4，1.732）【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角的問題此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想通過解直角oac求得oc的長度，然后通過解直角obc求得ob的長度即可如圖，設(shè)線段ab交y軸于c，在直角oac中，acocao45°，則acocoa400米，ocoacos45°400×200（米）在直角obc中，cob60°，oc200米，ob400456（米）故答案是：45615.（2019海南省）如圖，將rtabc的斜邊ab繞點a順時針旋轉(zhuǎn)（0°90

20、6;）得到ae，直角邊ac繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)（0°90°）得到af，連結(jié)ef若ab3，ac2，且+b，則ef 【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得aeab3，acaf2，由勾股定理可求ef的長由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得aeab3，acaf2，b+bac90°，且+b，bac+90°eaf90°ef16（2019山東臨沂）如圖，在abc中，acb120°，bc4，d為ab的中點，dcbc，則abc的面積是 【答案】8【解析】根據(jù)垂直的定義得到bcd90°，得到長cd到h使dhcd，由線段中點的定義得到adbd，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ahbc

21、4，hbcd90°，求得cd2，于是得到結(jié)論dcbc，bcd90°，acb120°，acd30°，延長cd到h使dhcd，d為ab的中點，adbd，在adh與bcd中，adhbcd（sas），ahbc4，hbcd90°，ach30°，chah4，cd2，abc的面積2sbcd2××4×28，故答案為：8三、解答題17.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在abc中，abbc，adbc于點d，beac于點e，ad與be交于點f，bhab于點b，點m是bc的中點，連接fm并延長交bh于點h（1）如圖所示，若ab

22、c30°，求證：dfbh bd；（2）如圖所示，若abc45°，如圖所示，若abc60°（點m與點d重合），猜想線段df，bh，bd之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明圖圖圖【答案】見解析?！窘馕觥織l件中有等腰三角形abc，故考慮用等腰三角形的性質(zhì)；條件中有30°角，且有adbc，故可以找到與bd有關(guān)的的數(shù)量關(guān)系，即adbd；條件中有中點，故考慮構(gòu)造全等三角形.結(jié)合以上信息，再結(jié)合問題中的df,bh兩條線段，因此連接cf，問題可解.對于圖和圖，可仿照（1）的思路求解.（1）證明：連接cf，ab=bc，abc=30°，bac=ac

23、b=75°.adbc，adb=90°，bad=60°，dac=15°ab=bc，beac，be垂直平分ac，af=cf，acf=dac=15°，bcf=75°-15°=60°，bhab，abc=30°，cbh=60°，cbh=bcf=60°.在bhm和cfm中，cbh=bcf，bm=cm，bmh=cmf，bhmcfm，bh=cf,bh=af，ad=df+af=df+bh.在rtadb中，abc=30°，ad=bd,dfbhbd.（2）圖猜想結(jié)論：dfbhbd；圖猜想結(jié)論：df

24、bhbd18.（2019廣西池河）如圖，在河對岸有一棵大樹a，在河岸b點測得a在北偏東60°方向上，向東前進120m到達c點，測得a在北偏東30°方向上，求河的寬度（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732【答案】見解析?！窘馕觥窟^點a作ad直線bc，垂足為點d，在rtabd和rtacd中，通過解直角三角形可求出bd，cd的長，結(jié)合bcbdcd120，即可求出ad的長過點a作ad直線bc，垂足為點d，如圖所示在rtabd中，tanbad，bdadtan60°ad；在rtacd中，tancad，cdadtan30°adbcbdcdad120，ad1

25、03.9河的寬度為103.9米19. （2019湖南懷化）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸b處測得對岸a處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達c處，此時測得柳樹位于北偏東30°方向，試計算此段河面的寬度【答案】這條河的寬度為30米【解析】如圖，作ad于bc于d由題意可知：bc1.5×4060米，abd30°，acd60°，bacacdabc30°，abcbac，bcac60米在rtacd中，adacsin60°60×30（米）答：這條河的寬度為30

26、米20.（2019四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點d在河的右側(cè)，紅軍路ab與某橋bc互相垂直某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在c處測得點d位于西北方向，又在a處測得點d位于南偏東65°方向，另測得bc414m，ab300m，求出點d到ab的距離（參考數(shù)據(jù)sin65°0.91，cos65°0.42，tan65°2.14）【答案】點d到ab的距離是214m【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵如圖，過點d作deab于e，過d作dfbc于f，則四邊形ebfd是矩形，設(shè)dex，在rtad

27、e中，aed90°，tandae，ae，be300，又bfdex，cf414x，在rtcdf中，dfc90°，dcf45°，dfcf414x，又becf，即：300414x，解得：x21421.（2019湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形abcd中，ab5，bc3，ac2（1）求平行四邊形abcd的面積；（2）求證：bdbc【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強（1）作ceab交ab的延長線于點e，如圖：設(shè)bex，ceh在rtceb中：x2+h29在rtcea中：（5+x）2+h252聯(lián)立解得：x，h平行四邊形abcd的面積abh12；（2）作dfab，垂足為fdfaceb90°平行四邊形abcdadbc，adbcdafcbe又dfaceb90°，adbcadfbce（aas）afbe，bf5，dfce在rtdfb中：bd2df2+bf2（）2+（）216bd4bc3，dc5cd2db2+bc2bdbc22.（2019廣東深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度bc，ad=600米，adbc，施工隊站在點d處看向b，測得仰角45°，再由d走到e處測量，deac，de=500米，測得仰角為53°，求隧道bc長.（sin53°，cos