次函數(shù)與三角形的存在性問題的解法

1、二次函數(shù)與三角形的存在性問題一、預(yù)備知識1、坐標(biāo)系中或拋物線上有兩個點為 P (x1, y), Q (x2, y)x(1)線段對稱軸是直線x1 x22(2)AB兩點之間距離公式:PQ.(Xi X2)2 (yi y2)2xiX2 yiy2中點公式：已知兩點2 、兩直線的解析式為y kix bi與y k2x b2如果這兩天兩直線互相垂直，則有 ki k2i3、平面內(nèi)兩直線之間的位置關(guān)系：兩直線分別為：Li: y=kix+bi L2 : y=k2x+b2(I)當(dāng) ki=k2, biwb2 , Li / L2(2)當(dāng) ki wk2, Li 與 L2 相交(3) Kixk2= -i 時，Li 與 L2

2、垂直二、三角形的存在性問題探究：三角形的存在性問題主要涉及到的是等腰三角形，等邊三角形，直角三角形(一)三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿足勾股定理的三邊關(guān)系，斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個角相等且等于60，三

3、線合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸上三個角相等，有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形?？偨Y(jié)：（1）已知A、B兩點，通過“兩圓一線”可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求的點（不與A、 B 點重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上（ 2） 已知A、 B 兩點， 通過 “兩線一圓”可以找到所有滿足條件的直角三角形，要求的點 （不與A、B點重合）即在圓上以及在兩條與直徑 AB垂直的直線上。（二）關(guān)于等腰三角形找點（作點）和求點的不同，1 、等腰三角形找點（作點）方法：以已知邊為邊長，作等腰三角形，運用兩園一線法，在圖 上找出存在點的個數(shù)，只找不求。2 、等腰三角形

4、求點方法：以已知邊為邊長，在拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸上找點，與已知點構(gòu)成等腰三角形，先設(shè)所求點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式求出三點間的線段長度，然后分頂點進行討論，如：已知兩點A B,在拋物線上求一點C,使得三角形ABC為等腰三角形解法：這是求點法：先運用兩點間的距離公式分別求出線段AB BC AC 的長度，第二步，作假設(shè)，（1）以點A為頂點的兩條腰相等，即AB=AC（2）以點B為頂點的兩條腰相等，即BA=BC （3）以點C為頂點的兩條腰相等，即 CA=CB第三步，根據(jù)以上等量關(guān)系，求出所求點的坐標(biāo)第四步進行檢驗，這一步是非常重要的，因為求出的有些點是不符合要求的。如：已知兩點A B,在拋物

5、線上求一點C,使得三角形ABC為等腰三角形解法：這是求點法：先運用兩點間的距離公式分別求出線段AB BC AC的長度，第二步，作假設(shè)，(1)以點A為頂點的兩條腰相等，即AB=AC(2)以點B為頂點的兩條腰相等，即BA=BC(3)以點C為頂點的兩條腰相等，即CA=CB第三步，根據(jù)以上等量關(guān)系，求出所求點的坐標(biāo)第四步，進行檢驗，這一步是非常重要的，因為求出的有些點是不符合要求的。(三)關(guān)于直角三角形找點和求點的方法1、直角三角形找點(作點)方法：以已知邊為邊長，作直角三角形，運用兩線一園法，在圖 上找出存在點的個數(shù)，只找不求。所謂的兩線就是指以已知邊為直角邊，過已知邊的兩個端點分 別作垂線與拋物線

6、或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸的交點，就是所求的點；一圓就是以已知邊為直徑，以已知 邊的中點作圓，與拋物線或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ軸的交點即為所求的點。2、具體方法(1) ki k2 1 ；(2)三角形全等(注意尋找特殊角，如30、60、45、90 )(3)三角形相似；經(jīng)常利用一線三等角模型(4)勾股定理；當(dāng)題目中出現(xiàn)了特殊角時，優(yōu)先考慮全等法三、二次函數(shù)的應(yīng)用：1 、應(yīng)用類型一、利用二次函數(shù)求實際問題中的最大(小)值：這類問題常見有面積、利潤銷售量的最大(小)值，一般這類問題的解題方法是：先表示出二次 函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題來求解即可。2、應(yīng)用類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題 ：3、應(yīng)用類型三

7、、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實際問題；四、等腰三角形的例題解析例題1、(揚州)已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (-1 , 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三點，直線 l是拋物線的對稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng) PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點M使MAM等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)將A (-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)代入拋物線y=ax2+bx+c中，得到拋物線的解析式：y=-x 2+2x+3.(2)二點A、B關(guān)于直線l對稱，連接B

8、C直線BC與直線l的交點為P; p點即為所求的點。設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b (k*0),將B (3, 0), C (0, 3)代入上式，得：直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3;當(dāng)x=1時，y=2,即P的坐標(biāo)(1, 2).(3)拋物線的對稱軸為：x=1,設(shè)M (1, mj),已知A (-1 , 0)、C (0, 3),則：MA=m2+4 MC2= (m -3) 2+1=m-6m+10, AC 2=10;(1) MA=MC 則 mA=M。得：m2+4=m6m+10,得：m=1若 MA=AC 則 MA=AC,得：m2+4=10,得：m=，6;若 MC=AC 則 MC=AC,得：m6m+10=1

9、Q 得：m1=0 m2=6設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1 (k*0),將A (-1 , 0), C (0, 3)代入上式，得Y=3x+3,與直線x=1的交點坐標(biāo)為(1,6),所以：當(dāng)m=6時，M A C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的 M點，且坐標(biāo)為M (1, 1), (1, -V6 ), (1, V6), (1, 0).易錯點及方法總結(jié)：當(dāng)以C為頂點的兩條腰相等時，求出的點M有可能與AC共線，所以要進 行檢驗，這一點非常關(guān)鍵。以其它兩點為頂點的兩條腰相等時，不可能存在共線問題，所以不用 檢驗。五、直角三角形存在性問題匯總例1、如圖：A(0, 1) B(4

10、, 3)是直線y=1/2x+1上的兩點，點p是x軸上一點，若 ABP是 直角三角形，則點p的坐標(biāo)是多少？解：(1)當(dāng)/BAP為90時，因為LAB: y=1/2x+1 LAP1: y=-2x+1所以 pl (1/2 , 0)(2)當(dāng) / PBA=90 時，因為 LAB:y=1/2x+1 LAP2: y=-2x+11所以 p2 (11/2, 0)B作BDLX軸于D(3)當(dāng)/ APB=90時，如圖過點例2、(攀枝花)如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A (-3, 0),B (1, 0),C (0, -3).(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)八 PAC的面積為S,求

11、S的最大值并求出此時 點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的頂點為D, DHx軸于點E,在y軸上是否存在點M,使得AADM直角三角 形？若存在，請直接寫出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (-3, 0), B (1, 0),可設(shè)拋物線的解析式為:y=a (x+3) (x-1 ),將 C點坐標(biāo)(0,-3)代入，得：a (0+3) (0-1 ) =-3,解得 a=1 ,則y= (x+3) (x-1 ) =x2+2x-3 ,所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3 ;(2)過點P作x軸的垂線，交AC于點N.設(shè)直線AC的解析式為y=kx+mi,由題意，得直線AC

12、的解析式為：y= -x-3 . 設(shè)P點坐標(biāo)為(x, x2+2x-3),則點N的坐標(biāo)為(x, -x-3 ),. PN=(-x-3) - (x2+2x-3) =-x2-3x.11f h % W 3丫S = PN OA=-x5(-x -3xl=： X+- +vS；A PAGSA PAh+SA PCN .二 22翡 力當(dāng)x=-2/3 時，S有最大值27/8,此時點P的坐標(biāo)為(-3/2 , - 15/4 );(3)在y軸上是存在點M能夠使得 ADMfe直角三角形.理由如下：. y=x2+2x-3=y= (x+1) 2-4 , .頂點 D的坐標(biāo)為(-1 , -4),. A (-3, 0), .aD= (-

13、1+3) 2+ (-4-0) 2=20.設(shè)點M的坐標(biāo)為(0, t),分三種情況進行討論：(1)A為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得 aM+aD=dM,即(0+3) 2+ (t-0 ) 2+20= (0+1) 2+ (t+4) 2,解得t=3/2 ,所以點M的坐標(biāo)為(0, 3/2);當(dāng)d為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得dM+aD=aM,即(0+1) 2+ (t+4) 2+20= (0+3) 2+ (t-0 ) 2,解得t=- 7/2 ,所以點M的坐標(biāo)為(0, - 7/2 );當(dāng)M為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得AM+D認(rèn)AD,即(0+3) 2+ (t-0 ) 2+ (0+1) 2+ (

14、t+4) 2=20,解得t=-1或-3,所以點M的坐標(biāo)為(0, -1 )或(0, -3);綜上可知，在y軸上存在點M能夠使得 ADM直角三角形，此時點M的坐標(biāo)為(0, 3/2)或(0, - 7/2 )或(0, -1 )或(0, -3).例3、如圖，拋物線y x2 2x k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C (0, 3).在拋物線上求點Q,使BCQ1以BC為直角邊的直角三角形.分析：定解法：有45可以考慮幾何法。代數(shù)法雖然可以，但求解太麻煩，還有四次方解法 1: (1): / BCQ=90 ;作 Q口 y 軸因為：OC=OB=3,zOBE等腰直角三角形。所以：/ OCB=45 ; / FCQ=

15、45。則 QF=CF.設(shè) Q (x, x 2-2x-3 )，則-(x2-2x-3 ) -3=x ,解得：x1 1；x2 0(舍去)所以 Q(1,-4)(2): /CBQ=90 ;作QFx軸 易得：/ QBF=45 ;則 QF叨等腰直角三角形設(shè) Q （mi m2-2m-3） , m2-2m-3=3-m,解彳mi m1=3倍去）m2=-2 Q（-2,5）綜上所述： Q1（ -2， 5） 、 Q2（ 1， -4） 2解法 2: Q（x，x 2x 3）BC232 32 182222QC2 x2 （2x x2）22222QB2 （3 x）2 （x2 2x 3）2后面利用勾股定理建立方程（過程略）解法3

16、:如圖，過點B作BQLBC,交拋物線于點 Q1、交y軸于點E,連接Q1Cv / CBO=45 ,. / EBO=45 , BO=OE=3.二點E的坐標(biāo)為（0, 3）. 直線BE的解析式為y x 3. 12分yx3，?x1= - 2,?x2 =3,由 yx2x3 解得?yi= 5；?y2=0.點Q1 的坐標(biāo)為（-2 , 5）.13 分如圖14 （4）,過點C作CF,CB交拋物線于點 Q2交x軸于點F,連接BQ2v / CBO=45 ,. / CFB=45 , OF=OC=3.二點F的坐標(biāo)為（-3, 0）.直線CF的解析式為y x 3. 14分yx3,敘=0,?& =1,由 yx22x3 解得 ?

17、y1= - 3；?y2 =- 4點Q2的坐標(biāo)為（1, -4）.綜上，在拋物線上存在點 Q1 （-2, 5）、Q2 （1,-4）,使4BCQ1 zBCQ犯以BC為直角邊的直角三角形.點睛：（1）解法1在設(shè)點Q的坐標(biāo)時，要考慮長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)時，坐標(biāo)所處的象限。（2）解法3 :關(guān)鍵抓住點Q是直線和拋物線的交點，所以可以聯(lián)立兩個解析式求交點坐標(biāo)。（值得學(xué)習(xí)的一種求交點的方法。）例 4、 （東營）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2） ，點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2-ax-2 經(jīng)過點B（ 1）求點 B 的坐標(biāo)；（ 2）求拋物線的解析式；（

18、3）在拋物線上是否還存在點P （點B除外），使ACP0然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)過點B作BCLx軸，垂足為D,/ BCD+ ACO=90 , / AC0吆 OAC=90 ,/ BCD= CAO又BDCh COA=90 , CB=AC . .BDC COABD=OC=1CD=OA=2；點 B 的坐標(biāo)為(3, 1);(2)二.拋物線 y=ax2-ax-2 過點 B (3, 1), . 1=9a-3a-2 ,解得：a=1,拋物線的解析式為y=x2-x-2 ;(3)假設(shè)存在點P,使彳# ACP是等腰直角三角形,若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC得到等腰直角三角形 ACP1過點P1作P1MLx軸，如圖(1),v CP1=BC / MCP1= BCD / P1MC = BDC=90 , .MP1窿ADB(C a CM=CD=2P1M=BD=1，P1 (-1 , -1),經(jīng)檢驗點P1在拋物線y=x2-x-2上；若以AC為直角邊，點A為直角頂點