2021版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第10章第8節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題Word版含答案

1、第八節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題最新考綱能從研究對(duì)象中獲取數(shù)據(jù)，會(huì)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分 析和推斷，構(gòu)建模型等.考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一股類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于 特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率(2019廣州一模)某商場(chǎng)以分期付款方式銷售某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買該商品選擇分期付款的期數(shù) 己的分布列為234P0.4ab其中 0<

2、a<1,0< b< 1.(1)求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為200 元；若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為250元；若顧客選擇分4期付 款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為 300元.商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲得的利潤(rùn)記為 X(單 位：元).求X的分布列；若P(X<500)>0.8,求X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值.解(1)設(shè)購(gòu)買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為刀，依題意得 “B(3,0.4),則 P(尸 2) = C3(0.4)2 X (1 0.4) = 0.288,購(gòu)買該商品的

3、3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)依題意X的取值分別為400,450,500,550,600P(X = 400) = 0.4X0.4= 0.16,P(X=450) = 2 x 0.4a= 0.8a,P(X= 500) = 2 x 0.4b+ a2 = 0.8b+ a2,P(X=550) = 2ab,P(X = 600)=b2，- X的分布列為：X400450500550600P0.160.8a0.8b+ a22abb2P(X0 500)= P(X+ 400)+ P(X= 450)+ P(X= 500)2= 0.16+ 0.8(a+b)+a ,根據(jù) 0.4+a+b= 1

4、,得 a+b = 0.6, . . b= 0.6 a,v P(X< 500)>0.8,0.16+ 0.48+ a2>0.8,解彳3a>0.4或a0 0.4,. a>0,a>0.4,. b>0, .0.6 a>0,解得 a<0.6, .aC 0.4,0.6),E(X) =400X 0.16 +450 X 0.8a + 500(0.8b + a2)+ 1 100ab + 600b2 = 520 100a,當(dāng)a= 0.4時(shí)，E(X)的最大值為480,.X的數(shù)學(xué)期望E(X)的最大值為480.本例融概率、分布列、函數(shù)于體，體現(xiàn)了高考命題的最新動(dòng)向，求

5、解時(shí)可先借助分布列的性質(zhì)及題設(shè)條件 “P(XW500)0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學(xué)期望公式建立關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，并通過二次函數(shù)求得數(shù)學(xué)期望 EX的最大值.(2019九江二模)某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售.已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn) 的廢品率只有兩種可能10%或者20%,兩種可能對(duì)應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品 正品每件市場(chǎng)價(jià)格為100元，廢品不值錢.現(xiàn)處理價(jià)格為每箱 8 400元，遇到廢 品不予更換.以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為決策依據(jù).(1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購(gòu)買；現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取 2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).若此

6、箱出現(xiàn)的廢品率為20%,記抽到的廢品數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué) 期望；若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以 購(gòu)買.解(1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為：E © 100X (1-0.2)X 100X 0.5+ 100X (1 0.1) X 100X 0.5= 8500>8400,在不開箱檢驗(yàn)的情況下，可以購(gòu)買.(2)X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=C0X0 20X0 82 = 0.64,P(X=1)=C2x0 21X0 81=0.32,P(X = 2)=C2X0 82X0 20 = 0.04,，- X的分布列為：X012P

7、0.640.320.04E(X) = 0X 0.64+ 1 X 0.32 + 2X 0.04= 0.4.設(shè)事件A:發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則，、 J 一一 一一 一一 J 一， 一一 一一 一一P(A)= C2x 0.2X0.8X 0.5+c2x 0.1 X 0.9X 0.5= 0.25,一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價(jià)格的期望值為“，則“=8 000,9 000,事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則,P(q= 8000)= P(B1 A)=P AB1C2X0.2X0.8X 0.5P A =025= 0.64，事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P AB2 C2X0.1X

8、0.9X0.5P(9000)= P(B2|A) =05= 0.36,E( = 8000X 0.64+ 9000X 0.36= 8360V 8400,已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購(gòu)買.參考點(diǎn)2概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn). 它與其他知識(shí)融合、滲 透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性. 統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、 樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí) 際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來， 只有這樣才能有效地解決問題.從某技術(shù)公司開

9、發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值（記為Z）,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:公司規(guī)定：當(dāng)Z> 95時(shí)，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時(shí)，產(chǎn)品為次品.公司每 生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利 90元；若是次品，則虧損30元.記己為 生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤(rùn)，求隨機(jī)變量己的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，Z服從正態(tài)分布N(內(nèi)(2),其中以近似為樣 本平均數(shù)7,(2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).利用該正態(tài)分布，求 P(87.8<Z<112.2);某客戶從該公司購(gòu)買了 500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中

10、該項(xiàng) 質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求 E(X).附：150=122若 ZN(內(nèi)(2),貝U P(n MZ< 什 3 = 0.682 7, P(廣2(<Z< 葉2 3 = 0.954 5.解(1)由頻率估計(jì)概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.033+ 0.024+0.008 + 0.002)X10=0.67,所以隨機(jī)變量己的分布列為90-30P0.670.33所以 E( 9 = 90X0.67+ (30)X0.33=50.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣 本方差s2分別為7 = 70X 0.02+ 80X

11、0.09+ 90X0.22+ 100X 0.33+ 110X 0.24+ 120X 0.08 +130X0.02= 100,s2=( 30)2X 0.02+ (20)2X0.09+ ( 10)2X0.22+ 02X0.33+ 102X0.24 + 202X0.08+302X0.02= 150.因?yàn)閆N(100,150),從而 P(87.8<Z<112.2)= P(100 12.2<Z<100+ 12.2)=0.682 7.由知，一件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.6827,依題意知 XB(500,0.682 7),所以 E(X)= 50

12、0X 0.682 7= 341.35.本題以統(tǒng)計(jì)圖表為載體，將正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起， 體現(xiàn)了知識(shí)的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義，掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、 各類概率的計(jì)算方法及均值與方差的運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損 300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所 示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了 130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X（單位：t,100wX0150） 表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該

13、農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).將T表示為X的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需 求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若需求量XC 100,110）,則取X=105,且X= 105的概率等于需求量落入100,110）的頻率）, 求T的均值.解當(dāng) xe 100,130)時(shí)，T=500X 300(130 X)=800X 39 000.當(dāng) XC 130,150時(shí),T=500X 130=65 000.800X- 39 000, 100< X<130,所以T=65 000, 130< X&

14、lt;150.(2)由知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)1200X<150.由直方圖知需求量XC 120,150的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 E(T)=45 000X 0.1 + 53 000X 0.2+61 000X 0.3+ 65 000X0.4=59 400.修考點(diǎn)3概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生

15、的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能 力及應(yīng)用意識(shí).（2019武漢二模）某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購(gòu)買二手房情況，首先隨機(jī)抽 樣其中200名購(gòu)房者，并對(duì)其購(gòu)房面積 m（單位：平方米，60wm0130）進(jìn)行了一 次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市 2018年1 月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y（單位：萬(wàn)元/平方米），制成了如圖2 所示的散點(diǎn)圖（圖中月份代碼113分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月）(1)試估計(jì)該市市民的平均購(gòu)房面積 m ;(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購(gòu)買二手房的市民中任取 3 人，

16、用頻率估計(jì)概率，記這3人購(gòu)房面積不低于100平方米的人數(shù)為X,求X的 分布列與數(shù)學(xué)期望；A A A AAA(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇y=a+ b/Xfty = c+dln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程，分別為 y = 0.9369+0.0285/X和y= 0.9554+ 0.03061n x,并 得到一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：y - 0. 936 9 + f-0,955 4 +0. 028 5 &0.030 611n，0.000 5910.000 164f*0,006 050 t=i'請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模 型預(yù)測(cè)201

17、9年6月份的二手房購(gòu)房均價(jià)(精確到0.001).參考數(shù)據(jù)：In 2=0.69, In 3=1.10, In 7=2.83, In 19 = 2.94,也=1.41,仙 = 1.73, 折=4.12, 如=4.36.n,2 yyii =1參考公式：R2 : 1 n解(1)m = 65X 0.05+75X0.1+85X0.2 + 95X0.25+ 105X 0.2+ 115X 0.15 + 125X 0.05= 96.(2)每一位市民購(gòu)房面積不低于100平方米的概率為0.20+0.15+ 0.05 = 0.4,. X B(3,0.4), .P(X=k) = c3x0 4kx 0 6屋k, (k=0

18、,1,2,3),P(X=0)= 0.63 = 0.216,P(X=1)=C3X0.4X 0 62=0.432,P(X = 2)=C2 X 0 42 X 0.6= 0.288,P(X= 3)=0.43 = 0.064,X0123P0.2160.4320.2880.064 .E(X) = 3X0.4=12(3)設(shè)模型 y= 0.936 9+ 0.028 5vx和y= 0.955 4+ 0.030 6ln x 的相關(guān)指數(shù)w 20.000 591 o0.000 164川 R1 = 1 0.006 05，R2 = 1 0.00 605 '模型y = 0.955 4+ 0.030 6ln x的擬合

19、效果更好,2019年6月份對(duì)應(yīng)的x= 18,二 y= 0.955 4+ 0.030 61n18= 0.955 4+ 0.030 6(ln 2+ 21n 3產(chǎn) 1.044 萬(wàn)元/平方米.在兩個(gè)變量的回歸分析中要注意以下2點(diǎn)(1)求回歸直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算.(2)借助散點(diǎn)圖，觀察兩個(gè)變量之間的關(guān)系.若不是線性關(guān)系，則需要根據(jù) 相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系.(2019鐵東區(qū)校級(jí)三模)一家大型超市委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該超市的顧客使用移動(dòng)支付的情況.調(diào)查人員從年齡在20至60的顧客中，隨機(jī)抽取了 200人，調(diào)查結(jié)果如圖：(1)為推廣移動(dòng)支付，超市準(zhǔn)備對(duì)使用移動(dòng)支付的每位顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)

20、 物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有10000人購(gòu)物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)，該超市當(dāng)天應(yīng) 準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋?填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為使用移動(dòng)支 付與年齡有關(guān)?年齡 40年齡40小計(jì)使用移動(dòng)支1寸不使用移動(dòng)支1寸小計(jì)200(3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在55,60的人中，隨機(jī)抽取2人，記這兩人中使用移動(dòng)支付的顧客為X人，求X的分布列.2nadbc2附：k2 -a+b c+ d a+c b+d2、P(K2>k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計(jì)概率，根據(jù)已知可預(yù)計(jì)該超市顧客使用移

21、動(dòng)支付的概率為:20+ 25+ 25+15+ 15+ 10+ 8+ 7200=8,所以超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備的環(huán)保購(gòu)物袋個(gè)數(shù)為:10 000X 5= 6 250.由知列聯(lián)表為:年齡< 40年齡40小計(jì)使用移動(dòng)支1寸8540125不使用移動(dòng)支1寸106575小計(jì)95105200假設(shè)移動(dòng)支付與年齡無關(guān)，則K2= _ 2200 85X65 40X10 2125X 75X95X 105= 56.17,56.17> 10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為使用移動(dòng)支付與年齡有關(guān).(3)X可能取值為0,1,2,C22 33P(X=0戶 C9= 58,c22c7 11PX：1戶番=29,C23P(X=2

22、)=C19= 58,所以X的分布列為:X012P33581129358課外素養(yǎng)提升數(shù)據(jù)分析一一數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與建模求解數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識(shí)的過程.主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論.在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)， 養(yǎng)成 通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積極依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).概率匕頻率分布的綜合應(yīng)用【例11 （2019濟(jì)寧一模）某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué) 生中隨機(jī)抽取了 100人的體重?cái)?shù)據(jù)，結(jié)

23、果這100人的體重全部介于45公斤到75 公斤之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為 6組：第一組45,50）,第二組50,55）,， 第六組70,75）,得到如圖所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這 100人中，其體重低 于55公斤的有15人，這15人體重在（40,50）公斤白有2人，50,55）公斤白有13 人，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）求頻率分布直方圖中a, b, c的值；（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在55,65）的人數(shù)，求X的 概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重 士近似服從正態(tài)分布N（內(nèi) （2）,其中 尸60,（2 = 25若P（廠24葉2（

24、）0.9545,則認(rèn)為該校學(xué)生的體 重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常？并說明理由.解由題知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人,2用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為而0=0.02,0.020.004,在50,55)上有13人，該組的頻率為 0.13, WJ b=若 =0.026, 51-2X0.02-2X0.13所以 2c=0.14,即 c= 0.07.5(2)用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重在55,65)的概率為0.07X10=0.7,隨機(jī)抽取3人，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(3,0.7),則 P(X=0)

25、 = C30.700.33 = 0.027,P(X= 1)= C30.710.32=0.189,P(X = 2) = C20.720.31 = 0.441,P(X= 3) = C30.730.30= 0.343,所以，X的概率分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)=3X 0.7= 2.1.由N(60,25)得戶5由圖(1)知 P* 2 o< & 什2 3=P(50& R 70)=0.96>0.954 5.所以可以認(rèn) 為該校學(xué)生的體重是正常的.評(píng)析本題以學(xué)生體重情況為背景，設(shè)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)、正態(tài)分布的綜合應(yīng) 用.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模(用頻率估計(jì)

26、概率、正態(tài)分布卜數(shù)學(xué)運(yùn)算(求平均數(shù)、方差、求概率)、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數(shù)方差，由正態(tài)分布求概率及期望)的學(xué)科素養(yǎng)；培養(yǎng)了統(tǒng)計(jì)意識(shí)，經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)一整理數(shù)據(jù)一分析數(shù)據(jù)一 作出推斷”的全過程.概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合【例2】為了解當(dāng)代中學(xué)生喜歡文科、理科的情況，某中學(xué)一課外活動(dòng)小組在學(xué)校高一年級(jí)文、理分科時(shí)進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共 100道題，每題1分， 總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了 200名學(xué)生的問卷成績(jī)(單位：分)進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照0,20), 20,40), 40,60), 60,80), 80,100分成 5 組，繪制的 頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于 60分的稱為“文科意向”學(xué)