大學(xué)物理實驗

1、2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系大學(xué)物理實驗大學(xué)物理實驗測量誤差與實驗數(shù)據(jù)處理測量誤差與實驗數(shù)據(jù)處理2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系測量與誤差測量與誤差就是借助一定的儀器或量具，通過一定的實驗方法將待就是借助一定的儀器或量具，通過一定的實驗方法將待測量與一個選作單位的同類量進(jìn)行比，其倍數(shù)即為該待測量與一個選作單位的同類量進(jìn)行比，其倍數(shù)即為該待測量的測量值測量的測量值。測量值測量值= =讀數(shù)值讀數(shù)值( (有效數(shù)字有效數(shù)字)+)+單位單位測量值測量值單位單位單位：采用國際單位制（單位：采用國際單位制（SISI制制-1971-1971）長度（米長度（米/m）、質(zhì)量

2、（千克）、質(zhì)量（千克/kg）、時間（秒）、時間（秒/s）電流強度（安培電流強度（安培/A）、溫度（開爾文）、溫度（開爾文/K）、物質(zhì)的量（摩爾）、物質(zhì)的量（摩爾/mol）、）、發(fā)光強度（坎德拉發(fā)光強度（坎德拉/cd） 平面角（弧度平面角（弧度/rad）、立體角（球面度）、立體角（球面度/sr）2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校錦州師范高等專科學(xué)校錦州師范高等專錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系科學(xué)校物理系 直接測量：直接測量： 直接將待測物理量與選定的同類物理量的標(biāo)準(zhǔn)單位相比較得到直接將待測物理量與選定的同類物理量的標(biāo)準(zhǔn)單位相比較得到測量值。比如用游標(biāo)卡尺測量某一圓柱體的外徑；用秒表測量時測

3、量值。比如用游標(biāo)卡尺測量某一圓柱體的外徑；用秒表測量時間等。間等。間接測量：間接測量： 利用直接測量的量與被測量之間的已知函數(shù)關(guān)系，求得該被測利用直接測量的量與被測量之間的已知函數(shù)關(guān)系，求得該被測物理量。例如，通過測量流過某一電阻的電流和其兩端的電壓而求物理量。例如，通過測量流過某一電阻的電流和其兩端的電壓而求得的電阻值即為間接測量量，而電流和電壓為直接測量量。得的電阻值即為間接測量量，而電流和電壓為直接測量量。直接測量和間接測量的關(guān)系直接測量和間接測量的關(guān)系 對某一物理量進(jìn)行測量時，采用一種方法時，可能為直接測量對某一物理量進(jìn)行測量時，采用一種方法時，可能為直接測量量，而采用另一種方法是由可

4、謂間接測量量。當(dāng)時用萬用表測量電量，而采用另一種方法是由可謂間接測量量。當(dāng)時用萬用表測量電阻時得到的測量值就為直接測量值，而非間接測量值了。阻時得到的測量值就為直接測量值，而非間接測量值了。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 在相同的條件下，對某一物理量在相同的條件下，對某一物理量 進(jìn)行多次測量得到的一組進(jìn)行多次測量得到的一組測量值測量值 稱作等精度測量。稱作等精度測量。XnXXXX、321指同一時間地點、同一人、相同的測量儀器和指同一時間地點、同一人、相同的測量儀器和 測量環(huán)境等條件。測量環(huán)境等條件。在不同測量的條件下，對某一物理量進(jìn)行多次測量，所得的在不同測量的條件下，對某

5、一物理量進(jìn)行多次測量，所得的測量值的精確程度不能認(rèn)為是相同的，稱作非等精度測量。測量值的精確程度不能認(rèn)為是相同的，稱作非等精度測量。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系三、誤差及其分類三、誤差及其分類誤差定義：測量值與真實值之差稱為誤差定義：測量值與真實值之差稱為誤差誤差， 即即 誤差誤差 測量值真值測量值真值 0NN N測量誤差又稱測量誤差又稱絕對誤差絕對誤差。真實值無法知曉？1.根據(jù)誤差的表示方式，誤差分為：根據(jù)誤差的表示方式，誤差分為：（1 1）絕對誤差：絕對誤差：（2 2）相對誤差：相對誤差：把絕對誤差與真實值之比叫把絕對誤差與真實值之比叫相對誤差相對誤差，即，即%100

6、0NNEr2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因及誤差的性質(zhì)分為：根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因及誤差的性質(zhì)分為：1.1.系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：2.2.隨機誤差（偶然誤差）隨機誤差（偶然誤差）3.3.過失誤差（粗差）過失誤差（粗差） 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系(4)(4)系統(tǒng)誤差服從的規(guī)律系統(tǒng)誤差服從的規(guī)律不變的系統(tǒng)誤差不變的系統(tǒng)誤差: :誤差的符號和大小都固定不變誤差的符號和大小都固定不變 線性變化的系統(tǒng)誤差線性變化的系統(tǒng)誤差: :誤差值隨某些因素作線性變化的誤差值隨某些因素作線性變化的系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差

7、周期性變化的系統(tǒng)誤差周期性變化的系統(tǒng)誤差: :測量值隨某些因素按周期性變測量值隨某些因素按周期性變化的誤差，稱為周期性變化化的誤差，稱為周期性變化復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差: :誤差是按確定的且復(fù)雜規(guī)律誤差是按確定的且復(fù)雜規(guī)律變化變化 如電阻與溫度的關(guān)系可用下式表述如電阻與溫度的關(guān)系可用下式表述 式中，式中， 為溫度為為溫度為 時的電阻；時的電阻； 為溫度為溫度 為時的電阻；為時的電阻； 和和 分分別為電阻的一次和二次溫度系數(shù)。別為電阻的一次和二次溫度系數(shù)。220)20()20(ttRRRt20R020 C2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系(5)(5)系統(tǒng)誤差

8、的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)在測量過程中形成系統(tǒng)誤差的因素是復(fù)雜的，目前還沒有能夠適用于在測量過程中形成系統(tǒng)誤差的因素是復(fù)雜的，目前還沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法，只有根據(jù)具體測量過程和測量儀器進(jìn)發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法，只有根據(jù)具體測量過程和測量儀器進(jìn)行全面的仔細(xì)分析，針對不同情況合理選擇一種或幾種方法加以校驗，行全面的仔細(xì)分析，針對不同情況合理選擇一種或幾種方法加以校驗，才能最終確定有無系統(tǒng)誤差。常用方法有：才能最終確定有無系統(tǒng)誤差。常用方法有： 實驗對比法：實驗對比法： 主要適用于發(fā)現(xiàn)固定系統(tǒng)誤差，其基本思想是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，主要適用于發(fā)現(xiàn)固定系統(tǒng)誤差，其基本思想是改變產(chǎn)生

9、系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量。進(jìn)行不同條件的測量。 理論分析法：理論分析法： 主要進(jìn)行定性分析來判斷是否有系統(tǒng)誤差。如分析儀器所要求的工作條件主要進(jìn)行定性分析來判斷是否有系統(tǒng)誤差。如分析儀器所要求的工作條件是否滿足，實驗依據(jù)的理論公式所要求的條件在測量過程中是否滿足，如果是否滿足，實驗依據(jù)的理論公式所要求的條件在測量過程中是否滿足，如果這些要求沒有滿足，則實驗必有系統(tǒng)誤差。這些要求沒有滿足，則實驗必有系統(tǒng)誤差。 數(shù)據(jù)分析法：數(shù)據(jù)分析法： 主要進(jìn)行定量分析來判斷是否有系統(tǒng)誤差。一般可采用殘余誤差觀察法、主要進(jìn)行定量分析來判斷是否有系統(tǒng)誤差。一般可采用殘余誤差觀察法、殘余誤差校驗法、不同公式

10、計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法、計算數(shù)據(jù)比較法、檢驗法、殘余誤差校驗法、不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法、計算數(shù)據(jù)比較法、檢驗法、秩和檢驗法等方法。秩和檢驗法等方法。2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系 由于測量方法、測量對象、測量環(huán)境及測量人員不盡相同，因而沒有一由于測量方法、測量對象、測量環(huán)境及測量人員不盡相同，因而沒有一個普遍適用的方法來減小或消除系統(tǒng)誤差。下面介紹幾種減小和消除系統(tǒng)個普遍適用的方法來減小或消除系統(tǒng)誤差。下面介紹幾種減小和消除系統(tǒng)誤差的方法和途徑誤差的方法和途徑。 這是消除系統(tǒng)誤差最根本的方法，通過對實驗過程中的各個環(huán)節(jié)進(jìn)行這是消除系統(tǒng)誤差最根本的方法，通過對實驗過程中的各個環(huán)節(jié)

11、進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各種因素。認(rèn)真仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各種因素。從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源根源上消除上消除 措施：措施： 采用近似性較好又比較切合實際的理論公式，盡可能滿足理論公式采用近似性較好又比較切合實際的理論公式，盡可能滿足理論公式所要求的實驗條件；選用能滿足測量誤差所要求的實驗儀器裝置，嚴(yán)格所要求的實驗條件；選用能滿足測量誤差所要求的實驗儀器裝置，嚴(yán)格保證儀器設(shè)備所要求的測量條件；采用多人合作，重復(fù)實驗的方法。保證儀器設(shè)備所要求的測量條件；采用多人合作，重復(fù)實驗的方法。引入修正項消除系統(tǒng)誤差引入修正項消除系統(tǒng)誤差 采用能消除系統(tǒng)誤差的方法進(jìn)行測量采用能

12、消除系統(tǒng)誤差的方法進(jìn)行測量 對于某種固定的或有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，可以采用交換法、抵消法、對于某種固定的或有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，可以采用交換法、抵消法、補償法、對稱測量法、半周期偶數(shù)次測量法等特殊方法進(jìn)行清除。補償法、對稱測量法、半周期偶數(shù)次測量法等特殊方法進(jìn)行清除。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系對稱性。對稱性。測量值與真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。測量值與真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。有界性。有界性。在一定的測量條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限度。在一定的測量條件下，誤差的絕對值不會超過一定的

13、限度。抵償性。抵償性。隨機誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加越來越小。隨機誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加越來越小。單峰性。單峰性。測量值與真值相差越小，在測量中出現(xiàn)的可能性越大；測量值與真值相差越小，在測量中出現(xiàn)的可能性越大；測量值與真值相差越大，則出現(xiàn)的可能性越小。如圖測量值與真值相差越大，則出現(xiàn)的可能性越小。如圖1 1所示，當(dāng)誤差所示，當(dāng)誤差呈現(xiàn)正態(tài)分布、矩形分布和三角分布時，隨機誤差具有單峰性。呈現(xiàn)正態(tài)分布、矩形分布和三角分布時，隨機誤差具有單峰性。 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 上面分別單獨討論了系統(tǒng)誤差和隨機誤差，即在不考慮隨機誤差的情況下上面分別單獨討論了系統(tǒng)

14、誤差和隨機誤差，即在不考慮隨機誤差的情況下研究系統(tǒng)誤差，和在不考慮系統(tǒng)誤差的情況下研究隨機誤差。然而在實際情況研究系統(tǒng)誤差，和在不考慮系統(tǒng)誤差的情況下研究隨機誤差。然而在實際情況下，對于任何一次實驗，既存在著系統(tǒng)誤差又存在著隨機誤差，只存在一種誤下，對于任何一次實驗，既存在著系統(tǒng)誤差又存在著隨機誤差，只存在一種誤差的實驗是不存在的。當(dāng)然在有些實驗中，以系統(tǒng)誤差為主，有些實驗中以隨差的實驗是不存在的。當(dāng)然在有些實驗中，以系統(tǒng)誤差為主，有些實驗中以隨機誤差為主。機誤差為主。 系統(tǒng)誤差的特點是具有恒定性或規(guī)律性，隨機誤差的特點是隨機性，系統(tǒng)誤差的特點是具有恒定性或規(guī)律性，隨機誤差的特點是隨機性，就其

15、特點而言，似乎這兩類誤差是可絕然分開的，實際上并非完全如此。比如就其特點而言，似乎這兩類誤差是可絕然分開的，實際上并非完全如此。比如分析用刻度不均勻的米尺測量長度時帶來的誤差。對于米尺上某一確定位置的分析用刻度不均勻的米尺測量長度時帶來的誤差。對于米尺上某一確定位置的刻度值與真值間的誤差，不論測量多少次都不會改變，顯然這個誤差是系統(tǒng)誤刻度值與真值間的誤差，不論測量多少次都不會改變，顯然這個誤差是系統(tǒng)誤差；但對于米尺各處來講，每個確定位置的刻度值與真值之間的誤差的大小和差；但對于米尺各處來講，每個確定位置的刻度值與真值之間的誤差的大小和方向都是不確定的，具有隨機性，顯然是隨機誤差。再比如某實驗人

16、員在讀數(shù)方向都是不確定的，具有隨機性，顯然是隨機誤差。再比如某實驗人員在讀數(shù)時總是習(xí)慣偏向一方，產(chǎn)生的誤差是系統(tǒng)誤差；而另一實驗人員在讀數(shù)時沒有時總是習(xí)慣偏向一方，產(chǎn)生的誤差是系統(tǒng)誤差；而另一實驗人員在讀數(shù)時沒有偏向一邊的習(xí)慣，而是有時偏左，有時偏右，產(chǎn)生的誤差無疑是隨機誤差。系偏向一邊的習(xí)慣，而是有時偏左，有時偏右，產(chǎn)生的誤差無疑是隨機誤差。系統(tǒng)誤差和隨機誤差的這種關(guān)系反映出這種分類方式的缺陷，實驗不確定度（見統(tǒng)誤差和隨機誤差的這種關(guān)系反映出這種分類方式的缺陷，實驗不確定度（見第四節(jié)）就可以克服這種缺陷。第四節(jié)）就可以克服這種缺陷。 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 在測量

17、中還可能出現(xiàn)錯誤，如讀數(shù)錯誤、記錄錯在測量中還可能出現(xiàn)錯誤，如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤、操作錯誤、計算錯誤等，由此產(chǎn)生的誤差稱作誤、操作錯誤、計算錯誤等，由此產(chǎn)生的誤差稱作。這種錯誤已不屬于正常的測量工作范疇，實。這種錯誤已不屬于正常的測量工作范疇，實驗中應(yīng)當(dāng)盡量避免。克服錯誤的方法，除端正工作態(tài)驗中應(yīng)當(dāng)盡量避免。克服錯誤的方法，除端正工作態(tài)度、保證操作方法無誤外，可用與另一次測量結(jié)果相度、保證操作方法無誤外，可用與另一次測量結(jié)果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)并糾正。含有過失誤差的測量值往往比較的辦法發(fā)現(xiàn)并糾正。含有過失誤差的測量值往往較大地偏離正常測量值，稱作壞值，應(yīng)當(dāng)在數(shù)據(jù)分析較大地偏離正常測量值，稱作壞值，

18、應(yīng)當(dāng)在數(shù)據(jù)分析處理過程中給予剔除。處理過程中給予剔除。 2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系 精密度是指重復(fù)測量所得的結(jié)果相互接近（或離散）的程度，精密精密度是指重復(fù)測量所得的結(jié)果相互接近（或離散）的程度，精密度的高低反映隨機誤差的大小。即精密度越高，數(shù)據(jù)越接近，隨機誤差度的高低反映隨機誤差的大小。即精密度越高，數(shù)據(jù)越接近，隨機誤差越?。环粗S機誤差就越大。越??；反之隨機誤差就越大。 正確度是指測量值或?qū)嶒灲Y(jié)果與真值的符合程度，它的高低反映系正確度是指測量值或?qū)嶒灲Y(jié)果與真值的符合程度，它的高低反映系統(tǒng)誤差的大小。即正確度越高，測量值越接近真值，系統(tǒng)誤差就越小；統(tǒng)誤差的大小。即正確

19、度越高，測量值越接近真值，系統(tǒng)誤差就越小；反之，系統(tǒng)誤差就越大。反之，系統(tǒng)誤差就越大。 準(zhǔn)確度（又稱精確度）是精密度準(zhǔn)確度（又稱精確度）是精密度和正確度的綜合反映。當(dāng)隨機誤差小和正確度的綜合反映。當(dāng)隨機誤差小到可以忽略不計時，準(zhǔn)確度等于正確到可以忽略不計時，準(zhǔn)確度等于正確度；當(dāng)系統(tǒng)誤差小到可以忽略或得到度；當(dāng)系統(tǒng)誤差小到可以忽略或得到修正消除時，準(zhǔn)確度等于精密度。兩修正消除時，準(zhǔn)確度等于精密度。兩者都高，準(zhǔn)確度就高；兩者之一低或者都高，準(zhǔn)確度就高；兩者之一低或都低，則準(zhǔn)確度低。都低，則準(zhǔn)確度低。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系：絕對誤差和相對誤差。絕對誤差和相對誤差。 表示測

20、量結(jié)果表示測量結(jié)果 與真值與真值 間的相差范圍，正負(fù)號間的相差范圍，正負(fù)號“”表示測量結(jié)果表示測量結(jié)果 可能比可能比 大或者比大或者比 小。由測量結(jié)果及其絕對誤小。由測量結(jié)果及其絕對誤差可以看出，真值所在的可能范圍為差可以看出，真值所在的可能范圍為 ，或簡寫為，或簡寫為 。：表示絕對誤差在所測物理量中所占的比重，一般用百分比表示。表示絕對誤差在所測物理量中所占的比重，一般用百分比表示。 ( (單位單位) ) XXXXXXX 100%rXXEXXXXXXXXX()XXX 100%rXEX2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系一、單次直接測量的誤差估計在一般情況下，可用儀器一、單次直接

21、測量的誤差估計在一般情況下，可用儀器誤差誤差儀儀 ( (儀器出廠時的檢定儀器出廠時的檢定) )作為絕對誤差。作為絕對誤差。1.1.對于連續(xù)讀數(shù)儀表，誤差取最小分度值的一半；對于連續(xù)讀數(shù)儀表，誤差取最小分度值的一半；2.對于有游標(biāo)的量具和非連續(xù)讀數(shù)的儀表，誤差對于有游標(biāo)的量具和非連續(xù)讀數(shù)的儀表，誤差儀儀取最小分度值；取最小分度值；3.對于某些儀器，其不確定度限值對于某些儀器，其不確定度限值儀儀需要計算需要計算：（a）指針式電表的）指針式電表的等于量程與等級的乘積等于量程與等級的乘積（b）電阻箱的）電阻箱的等于示值乘以等級再加上零值電阻等于示值乘以等級再加上零值電阻（c）用天平測量物體質(zhì)量的）用天

22、平測量物體質(zhì)量的等于各砝碼不確定度之和等于各砝碼不確定度之和2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 等精度測量：等精度測量： 是指測量條件完全相同的多次測量。相同的條件是是指測量條件完全相同的多次測量。相同的條件是指相同的觀測者、相同的儀器、相同的測量環(huán)境等等。指相同的觀測者、相同的儀器、相同的測量環(huán)境等等。 12111()nniiXXXXXnnniXXXX，21nX假設(shè)對某一物理量進(jìn)行了假設(shè)對某一物理量進(jìn)行了次等精度測量，其測量次等精度測量，其測量 值分別為值分別為，則，則的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 因真值不可知，故將測量值的算術(shù)平均值作為測得值因真值不可知，故將測量值的算術(shù)平均值

23、作為測得值的最佳估計值。的最佳估計值。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系設(shè)每一次測量值與算術(shù)平均值的差值為設(shè)每一次測量值與算術(shù)平均值的差值為1122nnXX =XX =XX =， ，在普通物理實驗中，通常采用算術(shù)平均誤差作為絕對誤差范圍在普通物理實驗中，通常采用算術(shù)平均誤差作為絕對誤差范圍121()nXnXXX它表示對物理量它表示對物理量 做任意一次測量，測量誤差出現(xiàn)在做任意一次測量，測量誤差出現(xiàn)在 到到之間的概率為之間的概率為5858 相對誤差相對誤差100%rXEX2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù) 無限多時，各測量值無限多時，各測量值

24、 的誤差的誤差 平方平均值的平方根，稱作平方平均值的平方根，稱作，用用 表示，即表示，即 iiXX iXn222221211().nniiniiXXnnn X2222212111()111ninniXiiddddXXnnnXXdii2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系標(biāo)準(zhǔn)偏差的物理意義標(biāo)準(zhǔn)偏差的物理意義 多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布，那么任意一次測量，測量多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布，那么任意一次測量，測量值誤差落在值誤差落在 到到 之間的可能性為之間的可能性為68.368.3，或者說，對某，或者說，對某一次測量結(jié)果，真值在區(qū)間一次測量結(jié)果，真值在區(qū)間 內(nèi)到內(nèi)到 的概率為的概

25、率為68.368.3。XXXXXXOx68.3%)(XfXXXXXXX295.4%XX2XX3XX399.7%399.7%極限極限誤差誤差2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系經(jīng)理論推導(dǎo)測量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差經(jīng)理論推導(dǎo)測量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 為：為： X21()(1)niiXXXXnnnn1nXX平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是 次測量中任一次測量值標(biāo)準(zhǔn)誤差的次測量中任一次測量值標(biāo)準(zhǔn)誤差的 倍。倍。其物理意義是，在多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布的條件下，對多其物理意義是，在多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布的條件下，對多次測量結(jié)果，真值在區(qū)間次測量結(jié)果，真值在區(qū)間 內(nèi)的概率

26、為內(nèi)的概率為68.368.3。2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系例例1 1用用 型電位差計測量某一電阻的端電壓型電位差計測量某一電阻的端電壓6 6次，測量次，測量數(shù)據(jù)列入下表，試表達(dá)測量結(jié)果。數(shù)據(jù)列入下表，試表達(dá)測量結(jié)果。 31UJ 次數(shù)次數(shù) 1 12 23 34 45 56 6( (電壓電壓) )15.52615.52615.52915.52915.53015.53015.52815.52815.52715.52715.52815.5286111(15.52615.52915.53015.528 15.52715.528)15.52866iiVV解：其算術(shù)平均值為解：其算術(shù)平

27、均值為12345615.526 15.5280.00215.529 15.5280.00115.530 15.5280.00215.528 15.5280.00015.527 15.5280.00115.528 15.5280.000dddddd；平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：2222222641()(212010 ) 105.16 10(1)6(61)niiVVVn n15.5280.001VVV0.001100%100%0.006%15.528VrEV2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系直接測量所得的結(jié)果都是有誤差的，顯然由直接測量值直接測量所得的結(jié)果都是有誤差的，

28、顯然由直接測量值經(jīng)過運算而得到的間接測量值也有誤差。由直接測量值的誤差估算經(jīng)過運算而得到的間接測量值也有誤差。由直接測量值的誤差估算間接測量誤差的方法叫做誤差傳遞。間接測量誤差的方法叫做誤差傳遞。 設(shè)：設(shè)：),(21nXXXfNnXXX,21NN 若各直接測量值的絕對誤差分別為若各直接測量值的絕對誤差分別為 ，則間接測量，則間接測量值值 的絕對誤差為的絕對誤差為 ，其計算方法如下：，其計算方法如下：將上式求全微分，得將上式求全微分，得nndXXfdXXfdXXfdXXfdN332211nnXXfXXfXXfXXfN332211),(321nXXXXfNNNE2008.12008.1錦州師范高等

29、?？茖W(xué)校物理系21XXN2221XXN21XXN2221XXN21XXN2221)()(21XXNXXN21XXN 2221)()(21XXNXXNnXN XnNXNnXN XnNXN1XNXcosXNXsinXlnN XXNsinXN XcosN 運算關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系1232222123()()()()nNXXXXnffffXXXX若各直接測量值的絕對誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)誤差若各直接測量值的絕對誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)誤差 則間接測量值的誤差估算需要用誤差的方根合成，即則間接測量值的誤差估算需要用誤差的方根合成，即),(321nNNrXXXXfNE20

30、08.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系例例2 2 某一長度，某一長度， ，其中，其中， ； ； 試計算其結(jié)果及誤差。試計算其結(jié)果及誤差。 4321XXXXLmm.X05000501mm.X0500542mm.X05063123mm.X005001314 解：解：mm.L3234)003163120540050(mmmmL09. 0005. 005. 005. 005. 02222mmLLL)09. 032.34(%3 . 0%10032.3409. 0LELr2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系例例3 3：用螺旋測微器分別測量某圓柱體不同部位的直徑用螺旋測微器分別測量某圓

31、柱體不同部位的直徑 和不同部位的高和不同部位的高 各各8 8次，得到下列數(shù)據(jù)，表示出結(jié)果。次，得到下列數(shù)據(jù)，表示出結(jié)果。dh/nd/cmcmh/( (次數(shù)次數(shù)) )1 12 23 34 45 56 67 78 8平均值平均值( (直直徑徑) )1.64991.64991.65911.65911.64761.64761.65861.65861.64791.64791.64821.64821.64921.64921.64891.64891.64871.6487( (高高) )2.00042.00041.99931.99932.00002.00002.00102.00102.00102.00102.

32、00152.00151.99951.99951.99901.99902.00022.0002cmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmd0002. 06487. 16489. 10005. 06487. 16492. 10005. 06487. 16482. 10008. 06487. 16479. 10001. 06487. 16486. 10011. 06487. 16476. 10004. 06487. 16491. 10012. 06487. 16499. 187654321，解：各測量值偏差的絕對值分別為解：各測量值偏差的絕對值分別為2008.12

33、008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系180002. 00005. 00005. 00008. 00001. 00011. 00004. 00012. 0222222221)(12nddniid同理可以求出同理可以求出cmh0009. 0圓柱體的體積圓柱體的體積hdV241cmcm0002. 2)6487. 1 (14159. 3412327024cm.VEVr%1 . 00002. 20009. 06487. 10008. 0222222hdhd33004. 0%1 . 02702. 4cmcmVErV3)004. 0270. 4(cmVVV測量結(jié)果為：測量結(jié)果為：2008.12008.1錦州

34、師范高等專科學(xué)校物理系 即使采用了正確的測量方法，由于測量儀器和測量者的問題，即使采用了正確的測量方法，由于測量儀器和測量者的問題，測量結(jié)果仍不可能是絕對準(zhǔn)確的，它必然有不確定的成分。實際測量結(jié)果仍不可能是絕對準(zhǔn)確的，它必然有不確定的成分。實際上，這種不確定的程度是可以用一種科學(xué)的、合理的、公認(rèn)的方上，這種不確定的程度是可以用一種科學(xué)的、合理的、公認(rèn)的方法來表征，這就是法來表征，這就是“不確定度不確定度”的評定，在測量方法正確的情況的評定，在測量方法正確的情況下，不確定度愈小，表示測量結(jié)果愈可靠。下，不確定度愈小，表示測量結(jié)果愈可靠。 不確定度必須正確評價。評價得過大，在實驗中會懷疑結(jié)果的不確

35、定度必須正確評價。評價得過大，在實驗中會懷疑結(jié)果的正確性而不能果斷地作出判斷，在生產(chǎn)中會因測量結(jié)果不能滿足要正確性而不能果斷地作出判斷，在生產(chǎn)中會因測量結(jié)果不能滿足要求而需再投資，造成浪費；評價得過小，在實驗中可能得出錯誤的求而需再投資，造成浪費；評價得過小，在實驗中可能得出錯誤的結(jié)論；在生產(chǎn)中則產(chǎn)品質(zhì)量不能保證，造成危害。結(jié)論；在生產(chǎn)中則產(chǎn)品質(zhì)量不能保證，造成危害。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 不確定度是表征測量結(jié)果具有分散性的一個參數(shù)，不確定度是表征測量結(jié)果具有分散性的一個參數(shù)，它是被測量的真值在某一量值范圍內(nèi)的一個評定。它是被測量的真值在某一量值范圍內(nèi)的一個評定。

36、不確定度根據(jù)其性質(zhì)和估算方法不同，可分為不確定度根據(jù)其性質(zhì)和估算方法不同，可分為A A類類不確不確定度和定度和B B類類不確定度。不確定度。A A類類不確定度是被測量列能用統(tǒng)計不確定度是被測量列能用統(tǒng)計方法估算出來的不確定度分量，用實驗標(biāo)準(zhǔn)差表征，即方法估算出來的不確定度分量，用實驗標(biāo)準(zhǔn)差表征，即為為 ；B B類類不確定度則是不能用統(tǒng)計方法估算的所有不不確定度則是不能用統(tǒng)計方法估算的所有不確定度分量，用確定度分量，用 表示。表示。ABuA A類類不確定度分量的估算，直接由測量列平均值的標(biāo)不確定度分量的估算，直接由測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式來計算。即準(zhǔn)誤差公式來計算。即211()(1)nAiXi

37、XXn nn2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系 B B類類不確定度分量的估算，最常用的方法是不確定度分量的估算，最常用的方法是采用近似標(biāo)準(zhǔn)差估算非統(tǒng)計不確定度。采用近似標(biāo)準(zhǔn)差估算非統(tǒng)計不確定度。 當(dāng)非統(tǒng)計不確定度相應(yīng)的估計誤差為高斯當(dāng)非統(tǒng)計不確定度相應(yīng)的估計誤差為高斯分布時有：分布時有： 當(dāng)非統(tǒng)計不確定度相應(yīng)的估計誤差為均勻分當(dāng)非統(tǒng)計不確定度相應(yīng)的估計誤差為均勻分 布布( (方法、環(huán)境、數(shù)字儀表等誤差分布方法、環(huán)境、數(shù)字儀表等誤差分布) )時有：時有：3Bu3Bu儀儀器器為非統(tǒng)計不確定度相應(yīng)的估計誤差限，通常為非統(tǒng)計不確定度相應(yīng)的估計誤差限，通常2008.12008.1錦州師范

38、高等?？茖W(xué)校物理系合成不確定度，即合成不確定度，即A A類和類和B B類不確定度的總和，其合類不確定度的總和，其合成公式為：成公式為：kjjkjju1212式中，式中， 為合成不確定度；為合成不確定度； 為任一為任一A A類不確定度分量，類不確定度分量， 為任為任一一B B類類不確定度分量。不確定度分量。jju 上式為合成不確定度的計算公式，它是由多個彼此間相上式為合成不確定度的計算公式，它是由多個彼此間相互獨立的統(tǒng)計和非統(tǒng)計不確定度的方根和。合成不確定度互獨立的統(tǒng)計和非統(tǒng)計不確定度的方根和。合成不確定度表明在測量過程中所有不確定度因素對測量結(jié)果的合成影表明在測量過程中所有不確定度因素對測量結(jié)

39、果的合成影響。響。2008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 是以確定的置信概率所給出的與合成不確定度成是以確定的置信概率所給出的與合成不確定度成正比的置信區(qū)間。即正比的置信區(qū)間。即CU 式中，式中， 為總不確定度；為總不確定度； 為置信因子；為置信因子； 為合成不確定度。為合成不確定度。 UC 總不確定度即在一定置信概率下所對應(yīng)的置信區(qū)間的范圍?？偛淮_定度即在一定置信概率下所對應(yīng)的置信區(qū)間的范圍。當(dāng)置信概率為當(dāng)置信概率為68.368.3時，置信因子時，置信因子 為為1 1；當(dāng)置信概率為；當(dāng)置信概率為95.495.4時，時，置信因子置信因子 為為2 2；當(dāng)置信概率為；當(dāng)置

40、信概率為99.799.7時，置信因子時，置信因子 為為3 3。一般物。一般物理實驗中取與標(biāo)準(zhǔn)差相對應(yīng)的置信概率理實驗中取與標(biāo)準(zhǔn)差相對應(yīng)的置信概率68.368.3，故總不確定度就，故總不確定度就等等于合成不確定度。于合成不確定度。CCC2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 由直接測量量的不確定度引起的間接測量量的不由直接測量量的不確定度引起的間接測量量的不確定度傳遞公式，如同標(biāo)準(zhǔn)差傳遞公式一樣。設(shè)間接確定度傳遞公式，如同標(biāo)準(zhǔn)差傳遞公式一樣。設(shè)間接測量量測量量N N的函數(shù)為的函數(shù)為 ，則，則,CBAf232221)()()(321XXXNXfXfXf232221)()()(1321X

41、XXNXfXfXfNN用總不確定度表示測量結(jié)果的形式為用總不確定度表示測量結(jié)果的形式為NNUP=( )(單位) (寫出置信度 值) 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 當(dāng)置信度當(dāng)置信度 時，時， ，則，則 ( (單位單位) ( ) ( ，可不寫，可不寫) )當(dāng)置信度當(dāng)置信度 時，時， ，則，則 ( (單位單位) ( ) ( )當(dāng)置信度當(dāng)置信度 時，時， ，則，則 ( (單位單位) ( ) ( )683. 0PU NN683. 0P2U954. 0P9970.P 954. 0P2 NN3U3 NN997. 0P2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系一、有效數(shù)字的概念一

42、、有效數(shù)字的概念 在測量數(shù)據(jù)的各數(shù)字中，既有沒有誤差的可靠數(shù)字，又有含有誤差的可疑數(shù)字。 我們把可靠數(shù)字和數(shù)據(jù)最末的一位可疑數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。 一般規(guī)定，數(shù)值中的可靠數(shù)字與所保留的1位(或2位)可疑數(shù)字，統(tǒng)稱為有效數(shù)字。測量結(jié)果用有效數(shù)字表示，可以反映測量的準(zhǔn)確度。 (1)一個物理量的測量值和數(shù)字的一個數(shù)有著不同的意義； (2)對于十進(jìn)制單位變換，只涉及小數(shù)點位置改變，而不允許改變有效位數(shù)； (3)實驗結(jié)果的最后1位數(shù)字應(yīng)與絕對誤差對齊，絕對誤差最多寫2位，相對誤差也是如此。 2008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系錦州師范高等專科學(xué)校物理系 （1 1）非測量值（如公式中的常數(shù)，實驗次數(shù)等）不

43、是有效數(shù)字，）非測量值（如公式中的常數(shù)，實驗次數(shù)等）不是有效數(shù)字，如如，e e等不是有效數(shù)字。等不是有效數(shù)字。 （2 2）在測量數(shù)據(jù)中，左邊第一位非零數(shù)字之前的零不是有效數(shù)）在測量數(shù)據(jù)中，左邊第一位非零數(shù)字之前的零不是有效數(shù)字，但數(shù)據(jù)中間和末尾的零應(yīng)算為有效數(shù)字。字，但數(shù)據(jù)中間和末尾的零應(yīng)算為有效數(shù)字。 （3 3）記錄數(shù)據(jù)時，不可隨便增（減）零。對測量數(shù)據(jù)而言，盡）記錄數(shù)據(jù)時，不可隨便增（減）零。對測量數(shù)據(jù)而言，盡管它們在數(shù)字上相等，管它們在數(shù)字上相等， 8.605cm8.6050cm8.605cm8.6050cm。要特別強調(diào)的是：。要特別強調(diào)的是：記錄原始測量數(shù)據(jù)時，一定要反映出測量器具的測

44、量精度。記錄原始測量數(shù)據(jù)時，一定要反映出測量器具的測量精度。 （4 4）在換算單位時應(yīng)保持有效數(shù)字位數(shù)不變。）在換算單位時應(yīng)保持有效數(shù)字位數(shù)不變。 （5 5）注意科學(xué)計數(shù)法的正確形式。即把數(shù)據(jù)寫成小數(shù)點前只保）注意科學(xué)計數(shù)法的正確形式。即把數(shù)據(jù)寫成小數(shù)點前只保留一位整數(shù)，后面再乘以留一位整數(shù)，后面再乘以1010的方冪的形式的方冪的形式 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 （6 6）表示測量值最后結(jié)果的有效數(shù)字尾數(shù)與不確定度的尾數(shù)表示測量值最后結(jié)果的有效數(shù)字尾數(shù)與不確定度的尾數(shù)一定要取齊。同時，我們規(guī)定：普通物理實驗中的最終測量量一定要取齊。同時，我們規(guī)定：普通物理實驗中的最終測

45、量量（待測量）的不確定度取一位；相對誤差取兩位。（待測量）的不確定度取一位；相對誤差取兩位。xxx%?xE保留1位尾數(shù)對齊保留2位2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系CBAYcm.A)503302(cm.B)012064223(cm.C)00505641 (例例1 1已知已知 ， ，試問計算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?=302.3+23.6-1.4=324.5=302.3+23.6-1.4=324.5Y(cm)Ycm=(324.50.5) =0.15YY2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系？5208345.看一下具體的運算過程便一目了然。見運算式，因為一個數(shù)字與一個可疑數(shù)字

46、相乘，其結(jié)果必然是可疑數(shù)字，所以，由上面的運算過程可見，小數(shù)點前面第1位的“9”及其以后的數(shù)字都是可疑數(shù)字。按照保留1位可疑數(shù)字的原則，計算結(jié)果應(yīng)寫成110，為3位有效數(shù)字。2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系，如，如 31723331772133761.BBAANN2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系例題3. 用千分尺、游標(biāo)卡尺、物理天平作為測量器件測量一小圓柱體的物質(zhì)密度。D游標(biāo)卡尺VmHrm2HDm24物理天平H2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系次數(shù)n12345D(mm)H(mm)mm004. 0千mm02. 0游g05. 0天m(g)2008

47、.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系.5iDD.152DDSiD.22千DDS.152HHSiH.22游HHSmm gm05. 0天.42HDm%?)()()2(222mHDEmHD保留2位.E尾數(shù)對齊5iHH2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系3.3.乘方運算乘方運算乘方運算的有效數(shù)字位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。乘方運算的有效數(shù)字位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。4.4.對數(shù)、三角函數(shù)和次方運算對數(shù)、三角函數(shù)和次方運算它們的計算結(jié)果必須按照誤差傳遞公式來決定有效數(shù)字它們的計算結(jié)果必須按照誤差傳遞公式來決定有效數(shù)字位數(shù)，而不可以用前面所述的簡算方法。位數(shù)，而不可以用前面所述的簡算方法。yln A30008 0063676yln A=ln.120 00073000yA.A 0007. 00064. 8lnAy0 009y.%y例例4 4已知已知A A300030002 2，計算，計算解：由計算器算：解：由計算器算：按照誤差傳遞公式可得按照誤差傳遞公式可得結(jié)果為結(jié)果為 2008.12008.1錦州師范高等專科學(xué)校物理系 2008.12008.1錦州師范高等?？茖W(xué)校物理系 3104100 000345 1