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文檔簡介
1、函數(shù)模型及其應用函數(shù)模型及其應用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型幾類不同增長的函數(shù)模型在教科書第三章的章頭圖中,有一大群喝水、嬉戲的在教科書第三章的章頭圖中,有一大群喝水、嬉戲的兔子,但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋兔子,但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋18591859年,有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛年,有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且沒有兔子的天敵,兔子數(shù)量不斷增加,的牧草,而且沒有兔子的天敵,兔子數(shù)量不斷增加,不到不到100100年,兔子們占領了整個澳大利亞,數(shù)量達到年,兔子們占領了整個澳大利亞,數(shù)量達到7575億只可愛的兔子變得可惡起來,億只可愛的
2、兔子變得可惡起來,7575億只兔子吃掉億只兔子吃掉了相當于了相當于7575億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭痛不已,他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十痛不已,他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十世紀五十年代,科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之世紀五十年代,科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔,澳大利亞人才算松了一口氣九十的野兔,澳大利亞人才算松了一口氣 材料:澳大利亞兔子數(shù)材料:澳大利亞兔子數(shù)“爆炸爆炸”例例1 、 假設你有一筆資金用于投資,現(xiàn)在有假設你有一筆
3、資金用于投資,現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:如下:方案一、每天回報方案一、每天回報40元;元;方案二、第一天回報方案二、第一天回報10元,以后每天比前一元,以后每天比前一天多回報天多回報10元;元;方案三、第一天回報方案三、第一天回報0.4元,以后每天的回報元,以后每天的回報比前一天翻一番。比前一天翻一番。請問,你會選擇哪種投資方案?請問,你會選擇哪種投資方案?下面我們先來看兩個具體問題。下面我們先來看兩個具體問題。分析:分析:2、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型?、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型?1、依據(jù)什么標準來選取投資方案?
4、日回報效益,、依據(jù)什么標準來選取投資方案?日回報效益,還是累計回報效益?還是累計回報效益?解:設第解:設第x天所得回報是天所得回報是y元元方案一可以用函數(shù)方案一可以用函數(shù) 進行描述;進行描述;方案二可以用函數(shù)方案二可以用函數(shù) 進行描述;進行描述;方案三可以用函數(shù)方案三可以用函數(shù) 進行描述進行描述.40()yxN1*0.4 2()xyxN3、三個函數(shù)模型的增減性如何?、三個函數(shù)模型的增減性如何?4、要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情、要對三個方案作出選擇,就要對它們的增長情況進行分析,如何分析?況進行分析,如何分析?)(10*Nxxy表表1y(元)y(元) 增加量增加量(元元)y(元)y(
5、元) 增加量增加量(元元) y(元)y(元) 增加量增加量(元元)140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4x(天)x(天)方案一方案一方案二方案二方案三方案三 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4圖-1我們看到,底為我們看到,底為2的指數(shù)函數(shù)模的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快型增長
6、速度要快得多。從中你對得多。從中你對“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”的的含義有什么新的含義有什么新的理解?理解?函數(shù)圖象是分析問題函數(shù)圖象是分析問題的好幫手。為了便于的好幫手。為了便于觀察,我們用虛線連觀察,我們用虛線連接離散的點。接離散的點。由表由表-1和圖和圖-1可知,方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù),可知,方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù),方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù),但是方案方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù),但是方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不同。三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不同。可以看到,盡管方案一、方案二在第可以看到,盡管方案一、方案二在第1 1天所得回天所得回報分別是方案三的報分別是方案三的100
7、100倍和倍和2525倍,但它們的增長倍,但它們的增長量是成倍增加的,從第量是成倍增加的,從第7 7天開始,方案三比其他天開始,方案三比其他兩個方案增長得快得多,這種增長速度是方案一兩個方案增長得快得多,這種增長速度是方案一方案二所方案二所 無法企及的,從每天所得回報看,在無法企及的,從每天所得回報看,在第第1414天,方案一最多,在天,方案一最多,在5858天,方案二最多;天,方案二最多;第第9 9天開始天開始 ,方案三比其他兩個方案所得回報多,方案三比其他兩個方案所得回報多得多,到第得多,到第3030天,所得回報已超過天,所得回報已超過2 2億元。億元。根據(jù)以上的分析,你應當作出根據(jù)以上的
8、分析,你應當作出什么樣的選擇?什么樣的選擇?投資投資5天以下先方案一天以下先方案一投資投資58天先方案二天先方案二投資投資8天以上先方案三天以上先方案三0100200300400500600051015方案一 回報(元)方案二 回報(元)方案三 回報(元)線性 (方案一回報(元)多項式 (方案二 回報(元)指數(shù) (方案三回報(元) 因此,投資因此,投資8天以下天以下(不含不含8天天),應選擇第一種投資方,應選擇第一種投資方案;投資案;投資810天,應選擇第天,應選擇第二種投資方案;投資二種投資方案;投資11天天(含含11 天天)以上,剛應選擇第三以上,剛應選擇第三種投資方案。種投資方案。表-2
9、表-2 累計回報效益累計回報效益回報(元)回報(元) 回報(元)回報(元) 回報(元)回報(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x(天)x(天)方案二方案二
10、方案三方案三方案一方案一例例 2、某公司為了實現(xiàn)、某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,準備制定一萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元單位:萬元)隨銷售利潤隨銷售利潤(單位:萬元)的增加而增加,但資金總數(shù)不超過(單位:萬元)的增加而增加,但資金總數(shù)不超過5萬元,萬元,同時獎金總數(shù)不超過利潤的同時獎金總數(shù)不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個獎勵模型:現(xiàn)有三個獎勵模型:其中哪個模型能符合公司的要求?其中哪個模型能符合公司的要求?,002. 1 1log
11、 25. 07xyxyxy,分析:某個獎勵模型符合公司要求,就是依據(jù)這個模型進行獎勵時,分析:某個獎勵模型符合公司要求,就是依據(jù)這個模型進行獎勵時,x獎金總數(shù)不超過獎金總數(shù)不超過5萬元,萬元, 由于公司總由于公司總的利潤目標為的利潤目標為1000萬元,所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的萬元,所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。利潤。同時獎金不超過利潤的同時獎金不超過利潤的25%, 于是,只需在區(qū)間于是,只需在區(qū)間10,1000上,檢驗三個模型是否符合公上,檢驗三個模型是否符合公司要求即可。司要求即可。 注意:注意:X的取值范圍,即函數(shù)的定義域的取值范圍,即函數(shù)的定義域要滿足哪些條件?要
12、滿足哪些條件?通過圖象說明選用哪個函數(shù)模型?通過圖象說明選用哪個函數(shù)模型?為什么?為什么?不妨先作出函數(shù)圖象,通過觀察函不妨先作出函數(shù)圖象,通過觀察函數(shù)的圖象,得到初步的結論再通過數(shù)的圖象,得到初步的結論再通過具體計算,確認結果。具體計算,確認結果。解:解: 借助計算機作出函數(shù)借助計算機作出函數(shù)的圖象的圖象,25. 0, 5xyy xyxy002. 1, 1log7解:解: 借助計算機作出函數(shù)借助計算機作出函數(shù) 的圖象的圖象(圖圖3.2-2)。5, 0.25 , yyx1.002xy 7log1, yx 觀察圖象發(fā)現(xiàn),在區(qū)間觀察圖象發(fā)現(xiàn),在區(qū)間10 ,1000上,模型上,模型 的圖象都有一部分
13、在直線的圖象都有一部分在直線 的上方,只有的上方,只有模型模型 的圖象始終在的圖象始終在 的下方,這說明只的下方,這說明只有按模型有按模型 進行獎勵時才符合公司的要求,下進行獎勵時才符合公司的要求,下面通過計算確認上述判斷。面通過計算確認上述判斷。 ,25. 0 xy 5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1 它在區(qū)間它在區(qū)間 10 ,1000 上上遞增,而且當遞增,而且當 時時 , ,所以它符合獎金總數(shù),所以它符合獎金總數(shù)不超過不超過5萬元的要求。萬元的要求。 ,由函數(shù)圖象,并利用計算,由函數(shù)圖象,并利用計算器,可知在區(qū)間器,可知在區(qū)間 內有一個點內有一個點 滿足滿足,由于它在區(qū)
14、間,由于它在區(qū)間 10 ,1000上遞增,因此當上遞增,因此當 時,時, 因此該模型也不符合要求;因此該模型也不符合要求;對于模型對于模型 , 它在區(qū)間它在區(qū)間10 ,1000上遞增,上遞增,當當 時,時, 因此該模型不符合要求;因此該模型不符合要求;首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬。萬。對于模型對于模型 ,對于模型對于模型 , xy25. 0 xy002.11log7xy)1000,20(x5 y)806,805(0 x5002. 10 x0 xx 5 y1000 x, 555. 41log10007xy令令 。 利用計利用計算機作出函數(shù)算機作出函數(shù) 的圖
15、象的圖象 ( 圖圖3.2.1例例2.gsp),由圖象可),由圖象可知它是遞減的,因此知它是遞減的,因此即即所以當所以當 時,時, 。 說說明按模型明按模型 獎金不會超過利潤的獎金不會超過利潤的25%。再計算按模型再計算按模型 獎勵時,獎金是否獎勵時,獎金是否不超過利潤的不超過利潤的25%,即當,即當 時,是否時,是否有有 成立。成立。1log7xy1000,10 x25. 01log7xxxy1000,10,25. 01log)(7xxxf)(xf, 03167. 0)10()( fxfxx25.01log725. 01log7xx1000,10 x1log7xy綜上所述,模型 確實能很符合公
16、司要求。1log7xy小結與反思:小結與反思:通過實例和計算機作圖體會、認識直通過實例和計算機作圖體會、認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義,認識數(shù)學的函數(shù)模型的增長的含義,認識數(shù)學的價值,認識數(shù)學與現(xiàn)實生活、與其他價值,認識數(shù)學與現(xiàn)實生活、與其他學科的密切聯(lián)系,從而體會數(shù)學的實學科的密切聯(lián)系,從而體會數(shù)學的實用價值,享受數(shù)學的應用美用價值,享受數(shù)學的應用美 1、四個變量四個變量 隨變量隨變量 變化的數(shù)據(jù)如下表:變化的數(shù)據(jù)如下表:43,21,yyyyx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050 x1y2y3y4y51037. 67102 . 181028. 2關于關于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是 。2y 2、某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的,如、某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的,如果某臺計算機感染上這種病毒,那么每輪病毒發(fā)作時,這果某臺計算機感染上這種病毒,那么每輪病毒發(fā)作時,這臺計算機都可能感染沒被感染的臺
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