歷年文科高考橢圓題-帶解析

1、第六節(jié) 橢圓 強(qiáng)化訓(xùn)練當(dāng)堂鞏固1.若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:由2a,2b,2c成等差數(shù)列,所以2b=a+c. 又 所以. 所以.所以. 2.已知橢圓0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上,且軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P.若,則橢圓的離心率是( ) A.B. C.D. 答案:D 解析:對于橢圓,則, a=2c. 3.已知橢圓0)的左、右焦點(diǎn)分別為、若橢圓上存在一點(diǎn)P使則該橢圓的離心率的取值范圍為 . 答案: 解析:因?yàn)樵谥?由正弦定理得 則由已知,得即a|=c|. 由橢圓的定義知|+|=2a, 則|+|=2

2、a,即| 由橢圓的幾何性質(zhì)知|<a+c,則a+c,即 所以解得或. 又故橢圓的離心率. 4.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、點(diǎn)P在橢圓上,若|=4,則|= ;的大小為 . 答案:2 120 解析: . |. 又|=4,|+|=2a=6, |=2. 又由余弦定理,得cos ,故應(yīng)填2,120. 5.已知橢圓0)的離心率連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0). 若|AB|求直線l的傾斜角; 若點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上,且=4.求的值. 解:(1)由得.再由解得a=2b. 由題意可知即ab=2. 解方程

3、組 得a=2,b=1. 所以橢圓的方程為. (2)由(1)可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0).設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k(x+2). 于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理,得 . 由得.從而. 所以|AB|. 由|AB|得. 整理得即解得. 所以直線l的傾斜角為或. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,由得M的坐標(biāo)為. 以下分兩種情況: ()當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸,于是.由=4,得. ()當(dāng)時(shí),線段AB的垂直平分線方程為. 令x=0,解得. 由 整理得.故 所以. 綜上或.課后作業(yè)鞏固提升見課后作業(yè)A 題組一 橢圓的離心率問題 1.橢圓0

4、)的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F,則橢圓離心率的取值范圍是( ) A.B. C.D. 答案:D 解析:|AF|而|PF| 所以 即解得. 2.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若是等腰直角三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是( ) A.B. C.D. 答案:C 解析:根據(jù)題意:1=0,又. 3.設(shè)橢圓n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,離心率為則此橢圓的方程為( ) A.B. C.D. 答案:B 解析:由題意可知:c=2,且焦點(diǎn)在x軸上.由可得m=4,.故選B. 題組二 橢圓的定義 4.設(shè)P是橢圓上的點(diǎn).若是

5、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則|+|等于( ) A.4B.5 C.8D.10 答案:D 解析:因?yàn)閍=5,所以|+|=2a=10. 5.設(shè)直線l:2x+y-2=0與橢圓的交點(diǎn)為A、B,點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則使PAB面積為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( ) A.1B.2C.3D.4 答案:D 解析:聯(lián)立方程組 消去y整理解得: 或 |AB| 結(jié)合圖象知P的個(gè)數(shù)為4. 題組三 橢圓的綜合應(yīng)用 6.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率為且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為 . 答案: 解析:6,b=3,則所求橢圓方程為. 7.已知、是橢圓C:0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且.若的面積為9

6、,則b= . 答案:3 解析:依題意,有 可得即b=3. 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中為橢圓0)的四個(gè)頂點(diǎn),F為其右焦點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為 . 答案: 解析:直線的方程為:; 直線的方程為:;二者聯(lián)立解得點(diǎn) 則OT中點(diǎn)在橢圓0)上, 10e-3=0, 解得. 9.已知橢圓C:的兩焦點(diǎn)為點(diǎn)滿足則|+|的取值范圍為,直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 . 答案: 0 解析:延長交橢圓C于點(diǎn)M,故|+|<|+|=2a, 即|+|; 當(dāng)時(shí)直線為x=與橢圓C無交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),直線為代入中有. 直線與橢圓無交點(diǎn). 10.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)

7、,B是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的延長線交C于點(diǎn)D,且則橢圓C的離心率為 . 答案: 解析:如圖,不妨設(shè)B(0,b)為上頂點(diǎn),F(c,0)為右焦點(diǎn),設(shè)D(x,y).由得(c,-b)=2(x-c,y), 即 解得 . 由可得| 又由橢圓第二定義知,|. 由解得即. 11.如圖,橢圓C:的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為|. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)n為過原點(diǎn)的直線,l是與n垂直相交于P點(diǎn).與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線,|=1.是否存在上述直線l使成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由. 解:(1)由|知 由知a=2c, 又 由,解得故橢圓C的方程為. (2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為假設(shè)使成立的直

8、線l存在, 當(dāng)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+m, 由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|=1得 即. 由得. 將y=kx+m代入橢圓方程,得 由求根公式可得 . 將代入上式并化簡得 . 將代入并化簡得矛盾. 即此時(shí)直線l不存在. 當(dāng)l垂直于x軸時(shí),滿足|=1的直線l的方程為x=1或x=-1, 則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或(-1 當(dāng)x=1時(shí); 當(dāng)x=-1時(shí) 此時(shí)直線l也不存在. 綜上可知,使成立的直線l不存在. 12.如圖,已知橢圓（a>b>0)過點(diǎn)離心率為左 、右焦點(diǎn)分別為F 、F.點(diǎn)P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn),直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè)直線,PF的斜率分別為,k. ()證明:. ()問直線l上是否存在點(diǎn)P,使得直線OA k,k,k,k滿足?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);存不存在,說明理由. 解:(1)因?yàn)闄E圓過點(diǎn) 所以. 又 所以1. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)()證明:方法一:由于,F,PF的斜率分別為,k且點(diǎn)P不在x軸上, 所以. 又直線的方程分別為 聯(lián)立方程解得 所以. 由于點(diǎn)P在直線x+y=2上, 所以. 因此 即結(jié)論成立. 方法二:設(shè)則. 因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上,所以. 又 所以. 因此結(jié)論成立. ()設(shè). 聯(lián)立直線與橢圓的方程得 化簡得 因此 由于OA,OB的斜率存在,