三角形全等的判定ASA-AAS及尺規(guī)作圖五種基本作圖

1、回首往事：回首往事：SSS SAS邊邊邊公理邊邊邊公理：三邊三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。邊角邊公理邊角邊公理：兩邊兩邊和它們和它們夾角夾角對(duì)應(yīng)相等對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。的兩個(gè)三角形全等。1.什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。即：形狀、大小都相同的的兩個(gè)三角形。即：形狀、大小都相同的的兩個(gè)三角形。2.判斷三角形全等有哪些方法？判斷三角形全等有哪些方法？小明不小心將一塊三角形玻璃打碎了，他是小明不小心將一塊三角形玻璃打碎了，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能否可以只帶其中的一塊碎

2、片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形玻璃呢？如果可配一塊與原來一樣的三角形玻璃呢？如果可以，帶哪塊去合適？以，帶哪塊去合適？ 生活中的數(shù)學(xué)生活中的數(shù)學(xué)CBEAD 先任意畫出一個(gè)先任意畫出一個(gè)ABC，再畫一個(gè)，再畫一個(gè)A/B/C/，使使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等)。把畫好的把畫好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它們?nèi)葐?？上，它們?nèi)葐?？探究探?畫法：畫法：1、畫、畫A/B/AB；2、在、在 A/B/的同旁畫的同旁畫DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于點(diǎn)交于點(diǎn)C/。通過實(shí)驗(yàn)?zāi)?/p>

3、發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？通過實(shí)驗(yàn)?zāi)惆l(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ACBABCED已知：任意已知：任意 ABC，畫一個(gè)，畫一個(gè) A/B/C/，使使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ： A/B/C/就是所要畫的三角形。就是所要畫的三角形。 有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。兩角兩角和它們的和它們的夾邊夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等歸 納：三角形全等判定3簡記為 (A.S.A.) 或角邊角CBAFED符符 號(hào)號(hào) 語語 言言ABCDEFB= E( BC=EF(C= F(ABC DEFA.S.A.在和中已知）已知）已知）（） 鞏固練習(xí)：書本書本P33 ：4 、5 如圖：如圖： 在在ABC

4、和和DEF中，中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC與與DEF全等嗎？全等嗎？ 能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？探究6ABCDEF證明：證明： ABC=180oDEF=180o C=F又又 A=D， B=E 在在ABC和和DEF中中B=EC=FBC=EF ABC DEF （ASA） 有有兩個(gè)角兩個(gè)角和和其中一個(gè)角的對(duì)邊其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等？的兩個(gè)三角形是否全等？兩個(gè)角兩個(gè)角和和其中一個(gè)角的對(duì)邊其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。個(gè)三角形全等。 三角形全等判定方法三角形全等判定方法4 4ABCDEF用符號(hào)語言表

5、達(dá)為：用符號(hào)語言表達(dá)為：在在ABC和和DEF中中 ABC DEF （AAS）A= DBC=EFB = E(簡寫成簡寫成“角角邊角角邊”或或“AAS”）例題講解例題講解例例3.如圖：如圖：已知已知BAD= CAD，B=C。 求證：求證：AB=AC證明證明 ：在在ABD和和ACD中中BAD= CAD （已知已知）B=C （已知已知）AD=AD（公共邊公共邊）ABD ACD（AAS）AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）ABCD若若ABD不動(dòng)，將不動(dòng)，將ACD繞著繞著A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)的角度等于且轉(zhuǎn)動(dòng)的角度等于CAD的度數(shù)，的度數(shù)， 此時(shí)圖形會(huì)怎么樣呢？此時(shí)圖形

6、會(huì)怎么樣呢？我們一起來看到：我們一起來看到：變式：變式：已知：已知：AB=AC，B=C， BE和和CD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O 求證：求證：AD=AE; 證明證明 ：在在ADC和和AEB中中A=A（公共角公共角）AC=AB（已知已知）C=B（已知已知）ACD ABE（ASA）AD=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）DBEAOCBD=CEBD=CE嗎？嗎？又又AB=AC（已知已知） BD=CE課后思考：若將課后思考：若將ADC繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，圖形又怎樣？若題中的條件不變，能得到同樣的結(jié)圖形又怎樣？若題中的條件不變，能得到同樣的結(jié)論嗎？論嗎？ （ASA）

7、（AAS） 到目前為止到目前為止, ,我們一共探索出判定三我們一共探索出判定三角形全等的四種規(guī)律，它們分別是角形全等的四種規(guī)律，它們分別是: :1 1、邊邊邊、邊邊邊 ( (SSS)3 3、角邊角、角邊角 ( (ASA) )4 4、角角邊、角角邊 (AAS)2 2、邊角邊、邊角邊 (SAS)兩個(gè)三角兩個(gè)三角形中相等形中相等的邊或角的邊或角是否全等（全等畫是否全等（全等畫“”，不全等畫，不全等畫“”公理或推公理或推論（簡寫）論（簡寫）三條邊三條邊兩邊一角兩邊一角兩邊夾角兩邊夾角兩邊與一兩邊與一邊對(duì)角邊對(duì)角兩角一邊兩角一邊兩角夾邊兩角夾邊兩角與一兩角與一角對(duì)邊角對(duì)邊三三 個(gè)個(gè) 角角SSSSASAS

8、AAAS小結(jié)小結(jié)n在幾何里在幾何里, ,把限定用把限定用( (沒有刻度的沒有刻度的) )直尺和圓規(guī)來畫直尺和圓規(guī)來畫圖的圖的, ,稱為稱為尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖. .最基本最基本, ,最常用的尺規(guī)作圖最常用的尺規(guī)作圖, ,通常稱通常稱基本作圖基本作圖. . 五種基本作圖：五種基本作圖： 1.作一條線段等于已知線段。作一條線段等于已知線段。 2.作一個(gè)角等于已知角。作一個(gè)角等于已知角。 3.作已知角的平分線。作已知角的平分線。 4.經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線。經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線。5.作已知線段的垂直平分線。作已知線段的垂直平分線。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是

9、由基本作圖組成的. .基本作圖基本作圖1、“作一條線段等于已知線段。作一條線段等于已知線段?！盇BAB 作作射線射線AC ；AC AAC BAB即即Ba,使使線段線段a線段線段AB=2a練習(xí)：練習(xí)：求作一條線段求作一條線段AB,AB,使使AB=2a.AB=2a.基本作圖基本作圖2、“作一個(gè)角等于已知角。作一個(gè)角等于已知角?！弊C明： ,由作法可知 COD COD(SSS), COD=COD(全等三角形的對(duì) 應(yīng)角相等)， 即AOB=AOB。OABCDBOACD練習(xí)練習(xí)（1）以）以O(shè) 為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA 于于C 點(diǎn)，交點(diǎn)，交OB 于于D 點(diǎn)；點(diǎn)；OBAP

10、（3）作射線）作射線OP ， 則：射線則：射線OP即為所求即為所求.21（2）分別以）分別以C、D 為為圓心，以大于圓心，以大于 CD 長為半長為半 徑畫弧，兩弧相交于徑畫弧，兩弧相交于P 點(diǎn)；點(diǎn)；CD基本作圖基本作圖3 3 平分已知角平分已知角.A證明：證明：由作圖過程知：由作圖過程知：ABAC，BDCD又又ADADABD ACD（SSS）BADCADAD是是BAC的平分線的平分線CBD1. 1.如圖，已知如圖，已知AA，試畫，試畫BB1/21/2A.A.（不寫畫法，保留作圖痕跡）（不寫畫法，保留作圖痕跡）. . (第 1 題) 2、試把下圖所示的角四等分、試把下圖所示的角四等分AOB3 3

11、. .畫出圖中三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分畫出圖中三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線線. .（不寫畫法，保留作圖痕跡）（不寫畫法，保留作圖痕跡） （第 2 題） （1 1）、如圖，點(diǎn)）、如圖，點(diǎn)C C在直線上，試過點(diǎn)在直線上，試過點(diǎn)C C畫出直畫出直線的垂線。線的垂線。（2 2）、如圖，如果點(diǎn)）、如圖，如果點(diǎn)C C不在直線上，試和同學(xué)不在直線上，試和同學(xué)討論，應(yīng)采取怎樣的步驟，過點(diǎn)討論，應(yīng)采取怎樣的步驟，過點(diǎn)C C畫出直線的畫出直線的垂線？垂線？ 基本作圖基本作圖4. 經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線 DBAl 1. 1.以以C C為圓心，任一線段的長為半徑畫弧，為圓心，任一線段的長為

12、半徑畫弧， 交交L L于于A A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn). .2.2.分別以分別以A A、B B為圓心，以大于為圓心，以大于 的長為的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D.D.3.3.作直線作直線CD.CD.則直線則直線CDCD即為所求。即為所求。（1 1）. .如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)C C在直線在直線l l上，上， 試過點(diǎn)試過點(diǎn)C C畫出直線畫出直線l l的垂線的垂線作法：作法： CDBAl C（2 2）的作法：）的作法：（1 1）任取一點(diǎn)）任取一點(diǎn)M M，使點(diǎn)，使點(diǎn)M M和點(diǎn)和點(diǎn)C C在直線在直線L L的兩側(cè)；的兩側(cè)；（2 2）以）以C C為圓心，以為圓心，以CMCM長為半徑畫弧，交長為半

13、徑畫弧，交L L于于A A、B B兩點(diǎn)；兩點(diǎn)；（3 3）分別以）分別以A A、B B兩點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)為圓心，以大于 長為半徑畫弧，兩弧相交于長為半徑畫弧，兩弧相交于D D點(diǎn)；點(diǎn)；（4 4）作直線）作直線CD.CD. 則直線則直線CDCD就是所求。就是所求。M練習(xí)：練習(xí)：1 1、如圖，過點(diǎn)、如圖，過點(diǎn)P P畫畫O O 兩邊的垂線兩邊的垂線. . (第 1 題) 2 2、如圖，畫、如圖，畫 ABC ABC 邊邊 BC BC 上的高上的高. . （第2題） ABCD基本作圖基本作圖5“5“作已知線段的垂直平分線作已知線段的垂直平分線.”已知：線段已知：線段AB，求作：線段求作：線段AB的的垂直平分線垂直平分線CD.作法：作法：1、分別以點(diǎn)、分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于為圓心，以大于 的的 長為半徑畫??；兩弧相交于長為半徑畫??；兩弧相交于C、D. 2、作直線、作直線CD，則直線則直線CD即為所求即為所求n什么叫線段的垂直平分線？什么叫線段的垂直平分線？ 過線段的中點(diǎn)，垂直這條線段的直線。過線段的中點(diǎn)，垂直這條線段的直線。 ( (也叫中垂線。也叫中垂線。) )n線段垂直平分線有哪些特征？線段垂直平分線有哪些特征？ 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；反過來，到線段兩端點(diǎn)點(diǎn)的距離相等；反過來，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。距離相