人教版高數(shù)選修22定積分的概念與微積分基本定理教師版

1、定積分的概念與微積分基本定理 掌握定積分的計(jì)算，了解定積分的物理意義，會(huì)利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積. 一、定積分的概念：從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過程發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都?xì)w結(jié)為求一個(gè)特定形式和的極限， 事實(shí)上，許多問題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限1定積分的概念 一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：當(dāng)）時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為： 即=其中函數(shù)叫做 ，叫做 變量，區(qū)間為 區(qū)間，積分 ，積分 。說明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù) （2）用定義

2、求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程2定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)連續(xù)且恒有。那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。 3定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）說明：推廣： 推廣: 性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)12、 微積分基本定理：變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（）

3、，則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達(dá)，即 =而。 對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計(jì)算在上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故 -=C（） 其中C為某一常數(shù)。 令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-=令，有 類型一：定積分的概念：例1計(jì)算下列定積分1 2.； 3.。解：1. 2.因?yàn)?，所以?. 因?yàn)椋?。?計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線

4、所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：1.作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。練習(xí)：1.若則（）A.B.C.D.1答案:B2.定積分的值為（）答案：C3若則的大小關(guān)系為（）ABCD答案：B4已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值答案：C5：已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則

5、的最小值為（）ABCD答案：C二、定積分求面積1直線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）A.B.C.D.4答案：2直線過拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直,則與所圍成的圖形的面積等于（）AB2CD答案：C3已知函數(shù)的圖象是折線段，其中、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為_答案：一、選擇題（共4小題，每小題10分，共40分）1. 下列各定積分的值等于1的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】理解定積分符號(hào)表示的幾何意義，我們結(jié)合圖象可以得解。2. 將和式的極限表示成定積分（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由求和式極限，我們知道求和式可以表示為，故可以知道被積函數(shù)為，積分區(qū)間為0，

6、13. 求由圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間為（）A.0，B.0，2C.1，2D.0，1【答案】B【解析】根據(jù)作圖來判定積分區(qū)間。4. 如下圖，陰影部分的面積為（）A. dxB. dxC dxD. dx【答案】B【解析】利用定積分的幾何意義和定積分的運(yùn)算性質(zhì)可以得到。二、填空題（每題10分，共40分）5. 由定積分的幾何意義分析，則=_【答案】【解析】理解積分表示的幾何意義，由x=3,x=-3,y=0和函數(shù)圍成的面積，結(jié)合圖形我們知道，所求的面積是圓面積的一半。6. 將和式表示為定積分_【答案】【解析】根據(jù)和式變形我們可以得到這樣我們就可以找到原來的函數(shù)7. 按萬有引力定律

7、，兩質(zhì)點(diǎn)間的吸引力，為常數(shù)，為兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為兩質(zhì)點(diǎn)間距離，若兩質(zhì)點(diǎn)起始距離為，質(zhì)點(diǎn)沿直線移動(dòng)至離的距離為b處，試求所做的功是（ba）_【答案】【解析】運(yùn)用以不變代變的思想，將區(qū)間a,b分割為n等分，然后取近似值求和，取極限可以得到解。8. 由及軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分形式應(yīng)表達(dá)為_【答案】【解析】作出余弦函數(shù)圖象，我們可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間與上，而在區(qū)間與上，這樣我們結(jié)合定積分的運(yùn)算性質(zhì)可以把其合并為三、解答題（共20分）9. 利用定義求定積分的值。【答案】【解析】解：因?yàn)閤2在區(qū)間上連續(xù)，所以存在把區(qū)間分成n等份，每份長(zhǎng)，各分點(diǎn)是：,_基礎(chǔ)鞏固一、選擇題 求由曲線,直

8、線及軸所圍成的圖形的面積錯(cuò)誤的為（）A BC D【答案】C 若函數(shù),則的值為（）ABCD【答案】C 如圖,已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則圖中陰影部分的面積等于（）ABCD 【答案】C 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則它與軸所圍圖形的面積為（）yxO第題圖ABCD【答案】解析:根據(jù)圖像可得: ,再由定積分的幾何意義,可求得面積為. 如圖所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為（）ABCD【答案】C【解析】,故,答案C 6函數(shù)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為（）AB1C2D【答案】A【解析】根據(jù)積分的應(yīng)用可求面積為 ,選A若,則實(shí)數(shù)的值為（）ABCD 【答案】B拋物

9、線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的體積是（）A1B8CD【答案】B (陜西省西安中學(xué)2012屆高三下學(xué)期第三次月考試題)如圖,設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域,E是D內(nèi)函數(shù)y=x2圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域.向D中隨機(jī)投一點(diǎn),則該點(diǎn)落入E中的概率為（）ABCD【答案】C若,則a的值是（）A2B3C4D6【答案】A一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度(的單位:,的單位:)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位;)是（）ABCD【答案】C解:令,則.汽車剎車的距離是,故選C直線l過拋物線C

10、: x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于（）AB2CD【答案】C 的方程是,所求面積相當(dāng)于一個(gè)矩形面積減去一個(gè)積分值:. 二、填空題 _.【答案】 由曲線,直線及軸所圍成的圖形的面積為_.【答案】【解析】由,解得,即,所以所求面積為 能力提升計(jì)算_. 【答案】 若_.【答案】3 解: 計(jì)算定積分_.【答案】 【解析】本題考查有關(guān)多項(xiàng)式函數(shù),三角函數(shù)定積分的應(yīng)用. . 設(shè)函數(shù),若, 其中,則=_.【答案】設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則_.【答案】【解析】由已知得,所以,所以.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)圍成的圖形的面積等于_.【答案】如圖,圓內(nèi)的正弦曲線與軸圍成的區(qū)域記為(圖中陰影部分),隨機(jī)往圓內(nèi)投一個(gè)點(diǎn),則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是_.【答案】已知函數(shù)的圖像是折線段ABC,若A(0,0),B(,1),C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為_.【答案】解析 如圖1, xyABC11圖1(O)NxyODM1P圖2所以,易知,y