空間解析幾何雙曲拋物面學(xué)習(xí)教案

1、空間空間(kngjin)解析幾何雙曲拋物面解析幾何雙曲拋物面第一頁，共19頁。2. 雙曲拋物面雙曲拋物面定義定義(dngy) 2 在直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系下，由方程系下，由方程zbyax22222（2）所表示的曲面叫做雙曲拋物面，方程（所表示的曲面叫做雙曲拋物面，方程（2）叫）叫做雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中做雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中 為任意的正為任意的正常數(shù)常數(shù).ba, 顯然曲面（顯然曲面（2）關(guān)于）關(guān)于 面，面， 面與面與 軸軸 對稱，但是它沒有對稱中心對稱，但是它沒有對稱中心.xOzyOzz對稱性對稱性第1頁/共19頁第二頁，共19頁。002222zbyax用

2、坐標(biāo)平面用坐標(biāo)平面 曲截割曲面，就得曲截割曲面，就得0z（5）zbyax22222與坐標(biāo)與坐標(biāo)(zubio)面的面的截線截線是什么是什么(shn me)曲線？曲線？這是一對這是一對(y du)相交于原點(diǎn)的直線，相交于原點(diǎn)的直線，方程可以進(jìn)一步寫為：方程可以進(jìn)一步寫為：第2頁/共19頁第三頁，共19頁。00zbyax與與00zbyax（5）其次用坐標(biāo)平面其次用坐標(biāo)平面 與與 來截割曲面來截割曲面0y0 x0222yzax（6）與與0222xzby（7）分別分別(fnbi)得方程得方程zbyax22222兩拋物線兩拋物線.這兩拋物線叫做這兩拋物線叫做(jiozu)雙曲拋物面的雙曲拋物面的主拋物線主

3、拋物線.第3頁/共19頁第四頁，共19頁。主拋物線的特點(diǎn)主拋物線的特點(diǎn)(tdin).有相同有相同(xin tn)的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)與對稱軸與對稱軸.0222yzax（6）0222xzby（7）它們所在的平面互相它們所在的平面互相(h xing)垂直，垂直，0y 但兩拋物線的開口方向不同，拋物但兩拋物線的開口方向不同，拋物 線（線（6）沿）沿z 軸軸方向開口，而拋物線（方向開口，而拋物線（7）的開口方向卻與）的開口方向卻與 z 軸軸方向相反方向相反.xyzo0 x 第4頁/共19頁第五頁，共19頁。xyzo雙曲拋物面主截線雙曲拋物面主截線22222xyzabz=0 x=0y=0第5頁/共19頁第六頁，

4、共19頁。)0( hhzhzhbyhax1222222（8）與坐標(biāo)面平行與坐標(biāo)面平行(pngxng)的平的平面的截口面的截口如果如果(rgu)用平行于用平行于 xoy面的平面面的平面zbyax22222來截割曲面來截割曲面(qmin)截線方程為截線方程為:總是雙曲線總是雙曲線.0h當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，與與x軸平行，軸平行，雙曲線（雙曲線（8）的實(shí)軸）的實(shí)軸虛軸與虛軸與 y 軸平行，軸平行，xyzo第6頁/共19頁第七頁，共19頁。), 0 ,2(hha當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0hhzhbyhax1222222（8）h0時(shí)頂點(diǎn)時(shí)頂點(diǎn)(dngdin)雙曲線（雙曲線（8）的實(shí)軸）的實(shí)軸0222yzax（6）虛軸與虛

5、軸與x軸平行軸平行(pngxng)，與與y軸平行軸平行(pngxng)，頂點(diǎn)頂點(diǎn)),2, 0(hhb 在主拋物線（在主拋物線（7）上）上0222xzby（7）在主拋物線（在主拋物線（6）上）上xyzo第7頁/共19頁第八頁，共19頁。 因此因此(ync)，曲面被，曲面被 xoy平面分割成上下兩部分，平面分割成上下兩部分，下半部沿下半部沿 y 軸的兩個(gè)軸的兩個(gè)(lin )方向下降，方向下降，上半部沿上半部沿x軸的兩個(gè)方向軸的兩個(gè)方向(fngxing)上升，上升，所以雙曲拋物面也叫做所以雙曲拋物面也叫做馬鞍曲面馬鞍曲面.曲面的大體形狀象一只曲面的大體形狀象一只馬鞍子，馬鞍子，雙曲拋物面的形狀比較復(fù)

6、雜，為了進(jìn)一步明確它的結(jié)構(gòu)，雙曲拋物面的形狀比較復(fù)雜，為了進(jìn)一步明確它的結(jié)構(gòu)，我們再來觀察用平行于我們再來觀察用平行于xoz面的一組平行平面面的一組平行平面 ty 來截割曲面來截割曲面xyzo第8頁/共19頁第九頁，共19頁。所得所得(su d)的截線方程的截線方程tybtzax)2(22222（9）zbyax22222用平行于用平行于xoz面的一組平行平面面的一組平行平面 ty 來截割曲面來截割曲面這時(shí)截線仍然這時(shí)截線仍然(rngrn)為拋物線為拋物線與主拋物線與主拋物線(6)比較比較(bjio)0222yzax（6）1.與拋物線（與拋物線（6）是全等的，）是全等的，2.平行于這個(gè)主拋物線所

7、在平行于這個(gè)主拋物線所在的平面的平面xozyxoz第9頁/共19頁第十頁，共19頁。tybtzax)2(22222（9）3.頂點(diǎn)頂點(diǎn)(dngdin)2, 0 (22btt 在另一主拋物線（在另一主拋物線（7）上）上0222xzby（7）即即: 拋物線拋物線(9)的頂點(diǎn)在的頂點(diǎn)在(7)上上, 開口、大小開口、大小(dxio)與（與（6）相）相同且平行同且平行. 它這樣移動(dòng)就生成整個(gè)馬鞍面它這樣移動(dòng)就生成整個(gè)馬鞍面(雙曲拋物面雙曲拋物面看下面看下面(xi mian)的的演示演示yxoz第10頁/共19頁第十一頁，共19頁。用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0y

8、 = 0截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用x = bx = b截曲面截曲面(qmin)(qmin)xzy022222xyzab平行截割法平行截割法（馬鞍面）（馬鞍面）雙曲拋物面雙曲拋物面 第11頁/共19頁第十二頁，共19頁。平行平行(pngxn(pngxng)g)截割法截割法.雙曲拋物面雙曲拋物面（馬鞍（馬鞍(m n)面）面）xzy0用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面22222xyzab第12頁/共19頁第十三頁，共19頁。平行平行(pngxng)(pngxng)截割法截割法.雙曲拋物面雙曲拋物面（馬鞍（馬鞍

9、(m n)面）面）xzy0用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面22222xyzab第13頁/共19頁第十四頁，共19頁。 橢圓拋物面與雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面，它們橢圓拋物面與雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面，它們都沒有都沒有(mi yu)對稱中心，所以又叫做無心二次曲面。對稱中心，所以又叫做無心二次曲面。第14頁/共19頁第十五頁，共19頁。第15頁/共19頁第十六頁，共19頁。第16頁/共19頁第十七頁，共19頁。例例1 作出球面作出球面 與旋轉(zhuǎn)拋物面與旋轉(zhuǎn)拋物面 的交線。的交線。8222zyxzyx222解解兩曲面兩曲面(qmin)的交線為的交線為zyxzyx2822222（1）（2）（2）代入（）代入（1）得）得0822 zz即即0)2)(4(zz24zz或由（由（2）知）知 ，所以取，所以取 ，因此交線方