2018級高二理科數學期末復習試題選修1

1、高二理科數學期末復習試題選彳 2-1 第三章選擇題（共 12 小題）1 .已知(2,-3,1),b=(4,2,x),且則實數 x 的值是(A.-2B.2C 昆 D.332 .如圖：在平行六面體 ABCAA1B1GD1中，M 為 A1C1與 B1D1的交點.若燕二，菽幾，和二，則下列向量中與麗相等的向I-IT-A.-+22C-一百一/二 D.我髀3 .已知空間四邊形 OABCM 在 AO 上，滿足幽=L,N 是 BC 的中點，且菽 S,AB=b,M02前二用 a,b,c 表示向量皿為（A-/+F8 抖 F 與 A 一鏟苧亭 D 支，中4 .G,E,q是空間的一個單位正交基底，喂在基底 G,工,下

2、的坐標為（2,1,5）,則 P 在基底（a+b,b+c,a+c）下的坐標為（A.(1,2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(-3,2,1)5 .已知 A、B、C 是不共線的三點，O 是平面 ABC 外一點，則在下列條件中，能得到點M 與 A、B、C 一定共面的條件是6 .若平面 a 外的直線 l 的方向向量為平面 a 的法向量為；，則能使*TTtA.5=(1,-3,5),u=(1,0,1)B.昨(1,0,0),(2,0,0)B.一+B. CM=OA+OB+OCD.OM=2OA-OB-OCl/a 的是（）C.5=(0,2,1),u=(1,0,1)D.己=(1,1,3),u=(0,

3、3,1)7.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4）,C（1,-4,1）,則向量品與正的夾角為-5,1）,C 是線段 AB 上一點，且_1紅，則 C 點的坐國 I3標為（A.(，J-,5)B.(且，3,2)22239.ABC 的三個頂點分別是 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則 AC邊上的高 BD 長為()A.5B*1C.4D.10 .正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 AB=2,AA1=1,若則點 A 到平面 A1BC 的距離為（A,昱B.昱C,D-D,藍42411 .已知正四棱柱 ABCD-A1B1GD1中，AA=2AB,則 CD 與平面 BDC 所成角的

4、正弦值等于（）A.二 B=C.D.333312.在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BCMAA1,P、Q 分別是棱CDCC 上的動點，如圖.當 BC+QD1的長度取得最小值時，二面角 B1-PQ-D1的余弦值的取值范圍為（）A.0,1B.0,鳴C.|,喟D.暗，1二.填空題（共 4 小題）-4413.a=（2,3,m）,b=（2n,6,8）Ha/bJ11m+n=一，T*T4一：一,13.在二棱錐 P-ABC 中，G 為 AABC 的重心，設 PA=a,PB=b,PC=c,則 PG 用 a,b,4Tc 可表示為 PG=14.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則

5、平面 ABC 的一個單位法向量是.16.如圖，在五面體 ABCDEN,FA!平面 ABCDAD/BC/FEABAD,AF=AB=BC=FE=AD,點 M 在線段 CE 上，且直線 AM 與平面$3CDE所成角的正弦值為當,則黑=一A. 30B. 45C. 60D. 908.已知 A(4,1,3),B(2,Dd三.解答題(共 6 小題)17 .如圖，在平行六面體 ABCAAiBiGDi中，AB=4,AD=4,AA1=5,/BAD=90,/BAA=/DAA=60.(1)求 AG 的長；(2)設直線 AG 與平面 AiDB 交于點 G,求證：AGAC1(3)求證：BD_AC1A18 .如圖，在長方體

6、 ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA=1,AB=2點 E 在棱 AB 上移動.(1)證明：D1EA1D;(2)當 E 為 AB 的中點時，求點 E 到面 ACD 的距離；(3)AE 等于何值時，二面角 D1-EC-D 的大小為二.419 .如圖，在三棱臺 DEF-ABC 中，AB=2DEG,H 分別為 AC,BC 的中點.(I)求證:BD/平面 FGH(H)若 CF1 平面 ABC,ABBC,FGH與平面 ACF 所成的角(銳角)CF=DE/BAC=45,求平面的大小.20 .如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AD/BC,/ADC 之 PAB=9(J,BC=CD=-AD.E 為棱2AD

7、的中點，異面直線 PA 與 CD 所成的角為 90.(I)在平面 PAB 內找一點 M,使得直線 CM/平面 PBE 并說明理由；(II)若二面角 P-CD-A 的大小為 45,求直線 PA 與平面 PCE 所成角的正弦值.21 .如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB/CD,且/BAP=/CDP=90.(1)證明：平面 PABL 平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC/APD=90,求二面角 A-PB-C 的余弦值.22 .在直角梯形 ABCD 中，AD/BC,BC=2AD=2AB=22,/ABC=90,如圖 1.把 4ABD沿 BD 翻折，使得平面 ABDXT 面 BCD,如圖 2

8、.(I)求證：CDAB;(H)若點 M 為線段 BC 中點，求點 M 到平面 ACD 的距離；(m)在線段 BC 上是否存在點 N,使彳#AN 與平面 ACD 所成角為 60?若存在，求出黑的值；若不存在，說明理由.晉江二中2016級高二理科數學期末復習試題選修2-1第三旗參考答案與試題解析一.選擇題(共 12 小題)1 .已知前(2,-3,1),b=(4,2,x),且則實數 x 的值是()A.-2B.2C 三 D.33【解答】解：Va=(2,-3,1),b=(4,2,x),且！，E,.一=0,8-6+x=0;x=-2;故選 A.2 .如圖：在平行六面體 ABCD-A1B1GD1中，M 為 A

9、iCi與 BiDi的交點.若 7S 與，AD=b,甌二，則下列向量中與而相等的向量是(【解答】解：由題意，而京+西+彳=丘+西卷 CA；一 11 一 1 一_,1-1-*-*=BC+CC下(AB+BC)=AB-kBC+CCpya-Hyb+c；A.B.百亨+，c.一首一針+3_1T17 一D.a-b+c22-+：.+22故選 A.3 .已知空間四邊形 OABCM 在 AO 上，滿足瞿 N 是 BC 的中點，且菽:，靛 V,MU士乩=。用 a,b,c 表示向量 MN 為(N 是 BC 的中點,且詬二，AB=b,AC=c,4 .G,）是空間的一個單位正交基底，W 在基底 G.E,下的坐標為（2,1,

10、5）,則 P 在基底a+b,b+c,a+c）下的坐標為（）A.（1,2,3）B.（1,-2,3）C.（1,2,-3）D.（-3,2,1）【解答】解：G，E,芝）是空間的一個單位正交基底，限在基底 G,E,&下的坐標為（2,1,5）,一=TT=2 二+5,設 P 在基底a+b.b+c,a+c下的坐標為（x,y,z）,A.尹/十羅 B.pjbjcC.-二十工於 D.女士二【解答】解：二.空間四邊形 OABCM 在 AO 上，滿足322M-l=ir；.-：L（菽-靛）故選：C.貝 Up=x(a+b)+y(b+c)+z(a+c),-2a+b+5c=x(a+b)+y(b+c)+z(a+c)=(x

11、+z)a+(x+y)b+(y+z)c,2=x+zlr+y,解得 x=-1,y=2,z=3,萬二 y+w.g 在基底 G+E，E+2W+q)下的坐標為(-1,2,3).故選：A.5.已知 A、B、C 是不共線的三點，O 是平面 ABC 外一點，則在下列條件中，能得到點M 與 A、B、C 一定共面的條件是OB-kyOB-kj-OC；匚 DT-【解答】解：由題意 A,B,C 三點不共線，點 O 是平面 ABC 外一點，對于 A 由于向量的系數和是 5,不是 1,故此條件不能保證點 M 在面 A,B,C 上;對于 B,等號右邊三個向量的系數和為 3,不滿足四點共面的條件，故不能得到點 M 與A,B,C

12、 一定共面對于 C,等號右邊三個向量的系數和為 1,滿足四點共面的條件，故能得到點 M 與 A,B,C 一定共面對于 D,等號右邊三個向量的系數和為 0,不滿足四點共面的條件，故不能得到點 M與A,B,C 一定共面綜上知，能得到點 M 與 A,B,C 一定共面的一個條件為 C 故選 C6.ABC 的三個頂點分別是 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則 AC邊上的高 BD 長為()A.5BV/C.4D.工【解答】解：設而二川灰，貝 1而=禰+入正=（1,1,2）+入（0,4,-3）=（1,1+4%2-3,BD=OD-OB=(4,5+4X,-3?),VBD1AC,.前正=

13、0+4(5+4X)+9 入=0解得人5筋=1,W),55D二廠.i?)2.-1廣=5.V55故選：A.7.若平面 a 外的直線 l 的方向向量為 a,平面 a 的法向量為；，則能使 l/a 的是(A.a=(1,3,5),；=(1,0,1)B.最(1,0,0),；=(2,0,0)C.W=(0,2,1),1=(T,0,1)D.,=(1,-1,3),u=(0,3,1)【解答】解：若耐 a,貝度?1=0,而 A 中 G?工=6,B 中二？i=-2,C 中二？i=1,D 選項中?1=0.故選：D.8.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,A.300B.450C.600D.90所以靛正一

14、0X(-1)+3X1+3X0=3,并且|屈|二班，|AC|=/2,-4,1),則向量商與正的夾角為【解答】解：因為 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),所以二一二 J.：一，一.0),:屈與正的夾角為 60。故選 C.的正方向建立空間直角坐標系,所以 cos=AB*ACIABIIACIW2V2-2,9.已知 A(4,1,3),B(2,5,1),C 是線段 AB 上一點，且U 紅,，則 C 點的坐|AB|3標為（A.（1，-A,1）B.（&,-3,2）2223【解答】解：黑與工毒或ADJJ二：I-二二二：產 mOOO0故選 C.C.(妝，-1，1)D.(3,332

15、，！，,=一,10.已知正四棱柱 ABCAAiBiGDi 中，AAi=2AB,則 CD 與平面 BDC 所成角的正弦值等【解答】解：設 AB=1,則 AAi=2,分別以京,DC；%D6 的方向為 x 軸、y 軸、z 軸則 D(0,0,B=(1,1,2),G(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),0),西二(1,0,-2),DC=(1,0,0),如下圖所示:CBix設 U(x,y,z)為平面 BDC 的一個法向量，則 E 咤 0,即(尸,；=(2,-(n，DC 產 0U_2z=02,1),故選 A.11 .在長方體 ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=AAi,P、Q 分別是棱

16、CDCC 上的動點,如圖.當BQ+QDi的長度取得最小值時，二面角 Bi-PQ-Di的余弦值的取值范圍為（A.0,1B.0,瞎C.1,粵D.唱，i【解答】解：設 AAi=i,則 AB=BC=2,設 CQ=x,則 CiQ=i-x,則BQ=I，：一二=一QDi=1 二一=.：一,則BQ+QDi=,+：=：,：-：二二+i，：-一設 M（x,0）,N（0,-亞）,K（i,V2）,則BQ+QDi=+：=：工：.：.+一_一：_的幾何意義是|MN|+|MK|的距離，則當三點 M,N,K 共線時，BQ+QDi的長度取得最小值，此時亞衛(wèi) 2 二 2.得 x,即 Q 是 CC 的中點，1-7.12建立以 Di

17、為坐標原點，DiAi,DiCi,DiD 分別為 x,y,z 軸的空間直角坐標系如圖則 Q（0,加,鼻 B（灰,V2,0）,設 P（0,t,i）,0tV2則彳=（一血，0,乩用=（一血，ti）,則平面 PQD 的法向量為 7=（i,0,0）,設 CD 與平面 BDG 所成角為 9,則 sinn-DCKID：二,設平面 BiPQ 的法向量為口=（x,y,z）,當 t 二網時，二面角 Bi-PQ-Di的為直二面角，此時二面角 Bi-PQ-Di的余弦值為 0,當 0tV2W,即 W=(V2,卷,4),V2-t設面角 Bi-PQ-Di的余弦值 cos9,.0tV2,12 .正三棱柱 ABC-AiBiCi

18、中，若 AB=2,AAi=i,若則點 A 到平面 AiBC 的距離為（A.-B.-CD,三424n*BiQ=0由、_L則，n*BiP=0Az=2V2KV2rv？T/2K+(t/2)y+z=0,令 x=/2,貝 Uy=/,z=4,V2-t貝 Ucos0-FlImIInI-i2+16+wTF3Fcos0-iJ18-FV2=4(t2)一為減函數,則當 t=0 時，函數取得最大值 cos8 三13+2-V2010故二面角 Bi-PQ-Di的余弦值的取值范圍為0,故選：B.【解答】解：設點 A 到平面 AiBC 的距離為 h,第 11 頁（共 23 頁）辦煙二%A產，:一，二，,1BJ解得 h=,2二.

19、填空題（共 4 小題）13.已知平面 B 的法向量是（2,3,-1）,直線 l 的方向向量是（4,%-2）,若 1/就則人的值是-犯.【解答】解：二.平面 B 的法向量是（2,3,-1）,直線 1 的方向向量是（4,入-2）,1II3（2,3,-1）?（4,入，-2）=8+3 葉 2=0,解得人一此.3故答案為：-.314 .己知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面 ABC 的一個單位法向量是【解答】解：元=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),設平面 ABC 的一個法向量為 n=（x,y,z）,(r+V=O,取 X(1,1,1).L-x+z=OmrIfn*AB=

20、O則:一，Ln-AC=OIP-故選：B.15 .如圖，在五面體 ABCDEF 中，FA，平面 ABCD,AD/BC/FE,ABAD,AF=AB=BC=FE=AD,點 M 在線段 CE 上，且直線 AM 與平面 CDE 所成角的正弦值為逅,33則 CM=_L 比2【解答】解：建立如圖所示的直角坐標系，不妨設 AB=1,則 A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),E(0,1,1),設平面 CDE 的一個法向量為尸(x,y,z),CD=(-1,2,0),徐(0,-2,1),n=(2,1,2),設點 M(p,q,r),由而=近，得 p=1 一入 q=1,r=4 即 M(1入 1,力,M=

21、(1-入,1,力，直線 AM 與平面 CDE 所成角的正弦值為當，.|cos|一史史,得人看，故點 M 為 CE 中點時，直線 AM 與平面 CDE 所成角的正弦值為害,V1此時CMJCE.W故答案為：CE.2zk則平面 ABC 的一個單位法向量 T-In|由nTCD=-x+2y=0nDB=-2y+z=Q令 y=1,得 x=z=2,)16 .我們把在平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系 xOy中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點 A(-3,4),且其法向量為 n=(1,-2)的直線方程為 1X(x+3)+(-2)X(y-4)=0,化簡得 x-2y+11=0.類比上

22、述方法， 在空間坐標系 O-xyz中，經過點 A(1,2,3),且其法向量為 G=(-1,-1,1)的平面方程為 x+y-z=0.【解答】解：根據法向量的定義知，當 7 為平面 a 的法向量時，na,任取平面 a 內一點 P(x,y,z),則.PA=(1-x,2-y,3z),X(T,T,1);.PA?n=-1?(1-x)-1?(2-y)+1?(3-z)=0,化簡得 x+y-z=0.故答案為：x+y-z=0.三.解答題(共 6 小題)17 .如圖，在平行六面體 ABCAA1B1GD1中，AB=4,AD=3,AA1=5,/BAD=90,/BAA=/DAA=60.(1)求 AG 的長；(2)設直線

23、AC 與平面 AIDB 交于點 G,求證：【解答】解法(一)：(1)證明：:AEX 平面 AAiDDi,ADLADi,.AiDDiE(2)設點 E 到面 ACD 的距離為 h,在 AACD 中，AC=Ct5=Vs,第 15 頁(共 23 頁)【解答】(1)解：藺 7+菽+國不丁=,/=50，.I;1=5:(2)證明：由 A,G,Ci三點共線知，存在入CR,使得.、；:由 B,D,Ai,G 四點共面知，存在 x,y,zR,使得正二乂族+屈+匕函，且 x+y+zh 由空間向量基本定理，得 x=y=z=A.-k1*-AG 吟18.如圖，在長方體 ABCD-AiBiCiDi中，AD=AA=1,AB=2

24、,點(1)證明：DiELAiD;(2)當 E 為 AB 的中點時，求點 E 到面 ACD 的距離；(3)AE 等于何值時，二面角 Di-EC-D 的大小為馬.E 在棱 AB 上移動.ADi=V2,故 S皿昌，5 勺!，而%-ABCK 遼杷 CwDDi=ySAADiC，h，,yxl=Txh，h=(3)過 D 作 DHLCE 于 H,連 DiH、DE,貝 UDiHCEL,./DHD 為二面角 Di-EC-D 的平面角.設 AE=K貝 UBE=2x 在 RtDiDH 中，v/DHD， DH=1.在 RtADE 中，DEj+.Z,在 RtADHE 中，EH=x 在 RtDHC 中 CH=;,在 RtA

25、CBE 中 CE=s2_4y+5.K+VWJ+5=Q2-我.AE=2-丑時，二面角 Di-EC-D 的大小為三4解法（二）：以 D 為坐標原點，直線 DA,DC,DD 分別為 x,y,z 軸，建立空間直角坐標系，設AE=x則 Ai(i,0,i),Di(0,0,i),E(i,x,0),A(i,0,0)C(0,2,0)(i)因為西印=(i，0,i)?(i,x,-i)=0,所以而，邛.(2)因為 E 為 AB 的中點， 則 E(i,i,0),從而庠二(1,1,T),正二(-1,公0),畫;L0,1),設平面 ACD 的法向量為二 3，b,c),IDiEpnI二:2b-c=0 人/.令 b=i,c=2

26、,a=2-x,Q+bQ-2)=0.X(2r,1,2).則悟。也叫n*ADt=0-a+2b=0 衿a+c 二 0a=2ba=,從而二（2,L2）,所以點 E 到平面 ADiC 的距（3）設平面 DiEC 的法向量口二（b,而二 CL,x-20).D(O.2,-1),DDp(0,0,1),npDiC=0由ln-CE=0=，K=2H（不合，舍去），x2=2/3,.AE=2M 時，二面角 Di-EC-D 的大小為19.如圖，在三棱臺 DEF-ABC 中，AB=2DEG,H 分別為 AC,BC 的中點.（I）求證：BD/平面 FGH（H）若 CF1 平面 ABC,ABBC,CF=DE/BAC=45,求平

27、面 FGH 與平面 ACFD 所成的角（銳角）的大小.【解答】解：（I）證明：根據已知條件，DF/AC,EF/BC,DE/AB;DEMAABC,又 AB=2DEBC=2EF=2BH四邊形 EFHB 為平行四邊形；BE/HF,HF?平面 FGHBE?平面 FGH.BE/平面 FGH同樣，因為 GH 為 4ABC 中位線，.二 GH/AB;又 DE/AB;DE/GH;DE/平面 FGH,DEABE=E平面 BDE/平面 FGHBD?平面 BDEBD/平面 FGH;(H)連接 HE,則 HE/CF;vCF1 平面 ABC;1HE，平面 ABC,并且 HGHC;2 .HC,HG,HE 三直線兩兩垂直，

28、分別以這三直線為 x,y,z 軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設 HC=1,則：H(0,0,0),G(0,1,0),F(1,0,1),B(-1,0,0);連接 BG,根據已知條件 BA=BCG 為 AC 中點；BGAC;又 CF1 平面 ABC,BG?平面 ABC;BGCF,ACACF=CBG，平面 ACFD;向量前二(1,1,0)為平面 ACFD 的法向量;設平面 FGH 的法向量為 2(或，v，z),則:Bn*HF=x+z=0，取 z=1,貝 0 二(一 1,0,1)；LnHG二尸0設平面 FGH 和平面 ACFD 所成的銳二面角為0,:cos0|=cos|vwr-2;平面 FGH 與平面

29、 ACFD 所成的角為 60.20.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，ADIIBC,/ADC 之 PAB=9(J,BC=CD=AD.E 為棱 2AD 的中點，異面直線 PA 與 CD 所成的角為 90.(I)在平面 PAB 內找一點 M,使得直線 CM/平面 PBE 并說明理由；(H)若二面角 P-CD-A 的大小為 45,求直線 PA 與平面 PCE 所成角的正弦值.【解答】解：(I)延長 AB 交直線 CD 于點 M,二點 E 為 AD 的中點，AE=ED=AD,2.AD/BC,即 ED/BC.四邊形 BCDE 為平行四邊形，即 EB/CD.ABnCD=M,MCD,.CM/BE,.BE?平

30、面 PBE.CM/平面 PBEvMAB,AB?平面 PABMC 平面 PAB 故在平面 PAB 內可以找到一點 M(M=ABACD),使得直線 CM/平面PBE(II)如圖所示，=/ADC=ZPAB=90,異面直線 PA 與 CD 所成的角為 90,ABACD=M,.APL 平面 ABCDCDPD,PALAD.因此/PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角，大小為 45.PA=AD不妨設 AD=2,WJBC=CD=AD=1.P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),.二前二(T,1,0),西=(0,1,-2),AP=(0,0,2),設平面 PCE 的法向量為；=(x,y,z),則

31、)上二,可得：/r：n-EC=OvBC=CD=AD2.ED=BCP令 y=2,則 x=2,z=1,.n=(2,2,1).設直線 PA 與平面 PCE 所成角為 9,21.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB/CD,且/BAP=/CDP=90.（1）證明：平面 PABL 平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC/APD=90,求二面角 A-PB-C 的余弦值.【解答】（1）證明：./BAP=/CDP=90,.PALAB,PDCD,.AB/CD,.ABPD,又;PAHPD=P,且 PA?平面 PAD,PD?平面 PAR.AB,平面 PAD 又 AB?平面 PAB,平面 PAB,平面 PAD;（2）解：vAB/CD,AB=CD.四邊形 ABCD 為平行四邊形，由（1）知 AB,平面 PAD,.ABAD,則四邊形 ABCD 為矩形，在 4APD 中，由 PA=PD/APD=90,可得PAD 為等腰直角三角形，設 PA=AB=2a 貝 UAD=2V2a.sinAP,nl=|AP|n|炳又23P取 AD 中點 O,BC 中點 E,連接 POOE,以 O 為坐標原點，分別以 OA、OE、OP 所在