2018年福建高一數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1、福建省高一數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(考試時間：5 月 11 日上午 8:30-11:00)一、選擇題(每小題 6 分，共 36 分)1 .已知集合 A=x|x1|0 時，A=(1a,1+a),B=(0,4。由 AcBA知，AJB。41-a*0,解得 0aE1。1a4，-a 的取值范圍為(-0%1。2.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為 2 冗A 逑冗B.32&C.2727【答案】A【解答】設(shè)圓錐底面半徑為 R,母線長為21又”/、2”。因此IR圓錐的軸截面是邊長為2的正二角形。所以，其內(nèi)切球半徑.1速工2=昱,其體積 V=4nx(電)3=邈兀。32333273.函數(shù) y=x+4-x2

2、的值域為()A.一-2 后,2 石B.一2,2 夜 1C.一-1,四D.尬，尬【答案】B【解答由 y-x=,4-x2,知 y22xy+x2=4x2,2x22yx+y24=0。=4y2-8(y2-4)肛-272y2720又 y 之 x 之2,因此，2MyM2&。值域為-2,2 亞 L的半圓面, 則該圓錐內(nèi)切球的體積為(l貝（J1M2川=2nR,l=2R。4.給出下列命題:設(shè)l,m是不同的直線，a是一個平面，若 l_Lo(,l/m,則 m_Lo(。a,b是異面直線，P為空間一點，過P總能作一個平面與a,b之一垂直，與另在正四面體ABCD中，AC與平面BCD所成角的余弦值為由3其中正確的命題

3、的個數(shù)為(設(shè) AB=BC=a,則 CO=?Mea=*a,cos/ACO=323(4)取BD中點 O,則 OA=OC=，3。由O、2故，(4)正確。5 .已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x時，f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點個數(shù)為()A.6 個 B.7 個 C.8 個 D.9 個【答案】D【解答】由 f(x)=ln(x2x+1)=0 知，x2x+1=1,x=0或x=1。33，-f(x)在區(qū)間(0,3)內(nèi)有唯一零點 1。結(jié)合f(x)為奇函數(shù)知，f(x)在區(qū)間(-一，0)內(nèi)22有唯一零點-1。39又由f(x+3)=f(x)知，f(x)在區(qū)間(3,3)內(nèi)有唯

4、一零點2;在區(qū)間(3,9)內(nèi)有唯一零點22.、94;在區(qū)間(，6)內(nèi)有唯一零點 5。(1)(2) 一條平行,(3)(4)在空間四邊形ABCD中，各邊長均為1,若BD=1,則AC的取值范圍是(0,萬)。A.1 個【答案】CB.2 個C.3 個D.4 個【解答】(1)顯然正確。(2)若存在平面 a,使得 alet,b/a,(3)作AO_L平他D成角。于O,則O為正三角形BCD的中心,b是未必垂直。故不正確。NACO是AC與平面BCD所。故，(3)正確。A、C構(gòu)成三角形知，ACw(0,6)。3f(-2)=f(一332”(2)知,39f(2)=0，2又f(6)=f(3)=f(0)=0。f(x)在區(qū)間

5、0,6上的零點個數(shù)為 9。6.已知函數(shù) f(x)=Jx2-6x+13-Jx2-10 x+29。給出下列四個判斷：(1)f(x)的值域是|0,2;(2)f(x)的圖像是軸對稱圖形；(3)f(x)的圖像是中心對稱圖形；(4)方程 ff(x)=J 西-a3 有解。其中正確的判斷有()A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個【答案】B【解答】設(shè)A(3,2),B(5,2),P(x,0),貝 Uf(x)=7(x-3)2+4-7(x-5)2+4=|PAPB。(1)Vf(x)=|PA-PB|AB|=2,AB與x軸不相交(即P、A、B三點不共線)。等號不成立，f(x)的值域是0,2)。(1)不正確。(2)

6、vf(4x)=7(1-x)2+4-V(-1-x)2+4=J(x-1)2+4-J(x+1)2+4,f(4+x)=J(1+x)2+4-J(1+x)2十 4 二 J(x-1)2+4-(x+1)2+4f(4-x)=f(4+x),f(x)的圖像關(guān)于直線x=4對稱。(或從幾何圖形上看，當(dāng)Q與P關(guān)于點(4,0)對稱時，|PA-PB|=|QA|-|QB|)0(2)正確。(3)顯然不正確。(若(3)正確，則結(jié)合(2)可得f(x)為周期函數(shù)，矛盾。)(4)vf(0)=|A病|=729而，又 0 亡 f(x)的值域 10,2),方程 ff(x)=后-而有解(x=4 是方程的解)。(4)正確。、填空題（每小題 6 分

7、，共 36 分）集合A=(x,y)(x-2014)2(y-2014)21:B=（x,y）|x-2014|+2|y-2014|、一,一一一、.一 aa0,且圓心到直線(x2014)+2(y2014)=2的距離=1。1222a:508.如圖，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4,D、E分別為AC、AB的中點。 將4ADE沿DE折起， 使得折起后二面角A-DE-B為60支則折起后四棱錐A-DEBC的體積為?！敬鸢浮俊敬鸢浮?,3【解答】【解答】由條件知，在四棱錐A-DEBC中，ED1DA,DE_LDC0/ADC二面角A-DE的平面角，且D 曰曰_ _平面 AD./ADC=60口，且面 ADC，面

8、 DEBC。作AF_LCD 于 F,則 AF，面 DEBC。由DA=DC=2知，4ADC為正三角形，AF=J3。四棱錐A-DEBC的體積V=1父向父2+4父2=2百329.已知函數(shù)f(x)=log2(2x-1.）的圖像關(guān)于點A對稱，則點xA的坐標(biāo)為【解答】1由函數(shù)止義域為（-0,0）=（,+*）；值域為（*,1）=（1,+,+叼叼。21猜測點A坐標(biāo)為A（1,1）。4卜面給出證明:.1-f(4x)%-%-刈刈= =也也( (12x-12二 x4)lOg2(2 一、?-2、-8x-2x）=l0g2（1 之）啕式二）1f(x)的圖像關(guān)于點A(,1)對稱。410.ABC中，已知 AB=4,若CA|=T

9、3|CB，則4ABC面積的最大值為【答案】【答案】43【解答】【解答】以AB中點O為坐標(biāo)原點，直線AB為 x 軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2,0),B(2,0)設(shè)C(x,y)。則由 CA|=73|CB,知J(x+2)2+y2=BJ(x2)2+y2。整理，得(x-4)2+y2=12。點C在以D(4,0)為圓心，半徑為 273 的圓(除與 x 軸的交點)上運動。點C到直線AB即 x 軸距離的最大值為2a。ABC面積的最大值為1父父4M2石石= =473。211.已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c,若對任意 xw0,2均有 f(x)2 成立，則b的最大值為?！敬鸢浮?【解答】【解答】f(0)=c,

10、f(1)=a+b+c,f(2)=4a+2b+c,|f(0)|2,|f(1)|2,|f(2)|20,1,3,13b=2f(1卜卜f(2-)f(0)2-2萬一萬一( (2)-,(與與) )82222f(1)=abc=2a-4當(dāng)且僅當(dāng)，f(2)=4a+2b+c=2,即，b=8時，等號成立。、f(0)=c=-2c=-2b的最大值為 8。12.不等式2x-826+logzx的解集為【答案】【答案】(0,IL4,+M)一八一八0: :二二x: :二二3【解答】【解答】不等式化為x8-2-6log2xx3一或x。2-8-6log2x由 8-2x之 6+log2x,得2x+log2x2,f(x)=2+log2

11、x 為增函數(shù)，且f(1)=2。=2log21-16x21-16x2所以，不等式的解為0 x1o由 2x8 至 6+log2x,得 2x至 log2x+14。設(shè) g(x)=2x,h(x)=log2x+14。如圖，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y=g(x)與y=h(x)的圖像，它們有兩個交點 A(x1,y1),B(x2,丫2)(0為x2),其中 0為4o由、可知，不等式的解集為(0,1h14,+8三、解答題(第 13、14、15、16 題每題 16 分，第 17 題 14 分，滿分 78 分)13.(本題滿分 16 分)求二次函數(shù) f(x)=ax2-2x+1 在區(qū)間 1,2】上的最小值g(a)的表達(dá)式。1c

12、1【解答】【解答】f(x)=a(x-)2-1-。aa1當(dāng)a0時，00a1若01時，f(x)在區(qū)間 1,21 上的最小值為f(1)=a-1。8 分a,111右1WM2,即MaW1時，f(x)在區(qū)間 1,21 上的最小值為f(a)=1-。a2a12 分若1A2,即0ca4時，f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為f(2)=4a-3。a214a-3a114.(本題滿分 16 分)已知兩個同心圓 G：x2+y2=4 和 C2:x2+y2=16,P圓 C2上一點。過點P作圓 C1 的兩條切線，切點分別為A、Bo(1)若 P 點坐標(biāo)為(272,-272),求四邊形 OAPB 的面積。(2)當(dāng)點P在圓C2上運動時

13、，是否存在定圓包與直線AB相切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，請說明理由?！窘獯稹浚?）依題意，OA_LAP,OB_LBP,且OA=OB=2,PA=PB=J42_22=2J1SAOAP=SAOBP=乂2父2點=2點。2一四邊形OAPB的面積為 4 志。(2)設(shè)P(m,n),則m2+n2=16。當(dāng)點P在圓 C2上運動時，包有PA=PB=,42-22=273。點A、B在以P為圓心，2 曲為半徑的圓上。該圓方程為(x-m)2(y-n)2=12。8 分又點A、B在圓G:x2+y2=4 上。聯(lián)立兩圓方程，消二次項，得-2mx2ny+m2+n2=124。即mx+ny4=0。直線AB方程為mx+ny-4

14、=0。圓 x2+y2=1 恒與直線AB相切。存在定圓包與直線AB相切，定圓方程為 x2+y2=1注：本題也可以用平面幾何方法求解:設(shè)OP與AB的交點為D,則OD_LAB。在4OAP中，由OA_LAP,OA=2,OP=4,知OD=1。12 分以O(shè)為圓心，1 為半徑的圓恒于直線AB相切。12 分原點O到直線AB的距離d=00-4,m2n2=4=1 為定值。416 分4 分存在定圓包與直線AB相切，定圓方程為 x2+y2=1。16 分15 .（本題滿分 16 分）如圖，在ABC中，AD為/A的平分線且與BC交于點D,E為AD中點，F(xiàn)、G為BE、CE上的點，且ZAFC=/AGB=90，求證：ZFBG=

15、NGCF。【解答】【解答】如圖，過點C作AD的平行線交直線BA于點P,BE于點Q則由E為AD中點知，Q為CP中點AD平分ZBAC,/BAD=/P=/DAC=/ACP。AC=AP,AQ_LCPo結(jié)合/AFC=90。知，A、F、C、Q四點共圓。8 分ZAFQ=ZACQ=ZP=ZBAE。AABEs&FAE。ABBEAEAI_2=,AE=EFEBoFAAEFEEF.EB=EGEC,F、B、C、G四點共圓。/FBG=/GCFo同理，DE2-EGEC。16 分12 分16 .(本題滿分 16 分)給出 5 個互不相同的實數(shù)，若這 5 個數(shù)中任意兩個數(shù)的和或積中至少有一個是有理數(shù)，求證：這 5 個數(shù)

16、的平方都是有理數(shù)?！窘獯稹吭O(shè) x 為其中的一個數(shù)，依題意，其余的 4 個數(shù)為，或 rx 的形式，其中 r 為有x理數(shù)。4 分(1)若這 4 個數(shù)中至少有 2 個為(rwQ)的形式，設(shè)它們?yōu)?r1,2(ri=口且 ri,bwQ)。xxx則由條件知，r1十r2WQ與r1M2WQ中至少有 1 個成立。xxxx當(dāng)r1+2wQ 時，r12wQ,xWQ,x2wQ 成立。xxx當(dāng)r1M2wQ 時，r?wQ,x2wQ 成立。xxx(2)若這 4 個數(shù)中最多只有 1 個為匚(rWQ)的形式，則至少有 3 個數(shù)為 r-x(rwQ)x的形式。設(shè)這三個數(shù)為 r1-x,r2-x,r3-x(r1,r2,3互不相同，且 r

17、1,r2,r3wQ)。下面考慮這三個數(shù)的和與積。若(r1-x)+(r2-x),(r2-x)+(r3-x),(r3-x)+(r1-x)中至少有兩個為有理數(shù)。不妨設(shè)(r1-x)+(2-x),(2-x)十(3-x)為有理數(shù)，貝汗(r1-x)+(r2-x)+(r2-x)+(r3-x)=r1+2+r3-4xeQ。xWQ,x2wQ 成立。12 分若(r1-x)+(r2-x),(r2-x)+(r3-x),(r3-x)+(r1-x)中最多只有 1 個為有理數(shù)，貝 U(r1X)(2-x),(r2X)(3x),(自-x)(r1-x)中至少有兩個為有理數(shù)。不妨設(shè)(r1-x)(r2-x),(r2-x)(r3-x)為有

18、理數(shù)。22則(r1-x)(r2-x)=rr2(口+r2)x+x=Q,(r2x)(r3-x)=r2r3-(r2+r3)x+xQ。兩式相減，得 rr2r2r3-(r1-r3)xeQ,(r1-r3)xeQ。.xWQ,x2wQ 成立。由、知，止匕時 x2wQ 成立。綜上可得，x2WQ。因此，這 5 個數(shù)的平方都是有理數(shù)。16 分17 .（本題滿分 14 分）（1）設(shè)集合 A=1,2,3|,13,集合 B 是 A 的子集，且集合 B 中任意兩數(shù)之差都不等于 6 或 7。問集合 B 中最多有多少個元素？（2）設(shè)集合 M=1,2,3|,2014）,集合 N 是 M 的子集，且集合 N 中任意兩數(shù)之差都不等于 6或 7。問集合 N 中最多有多少個元素？【解答】【解答】（1）構(gòu)造A的下列13個子集：1,7,2,8,3,9,4,10,5,11,6,12,7,13,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6,13 （A 中每一個數(shù)恰好屬于 2 個子集）。由于從A中任取 7 個元素，它們分別屬于上述 13 個子集中的 14 個子集，由抽屜原理知其中必有 2 個元素屬于同一個子集，它們的差為 6 或 7。因此，A中任意 7 個元素都不能同時屬于集合B。即B