43一元一次不等式的解法

1、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法4.3一元一次不等式（組）一元一次不等式（組）第第4章章動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 已知一臺(tái)升降機(jī)的最大載重量是已知一臺(tái)升降機(jī)的最大載重量是1200kg，在一名重，在一名重75kg的工人乘坐的的工人乘坐的情況下，它最多能裝載多少件情況下，它最多能裝載多少件25kg重重的貨物的貨物？本問題中涉及的數(shù)量關(guān)系是：本問題中涉及的數(shù)量關(guān)系是： 設(shè)能載設(shè)能載x件件25kg重的貨物，因?yàn)橹氐呢浳?，因?yàn)樯禉C(jī)最大載重量是升降機(jī)最大載重量是1200kg，所以有，所以有 7525x1200. 工人重工人重 + + 貨物重貨物重 最大載重量最大載重量.結(jié)論結(jié)論 含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的

2、項(xiàng)的次含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是數(shù)是1的不等式，稱為的不等式，稱為一元一次不等式一元一次不等式. .像像75 + 25x 1200 這樣，這樣， 為了求出升降機(jī)能裝載貨物的件數(shù)，為了求出升降機(jī)能裝載貨物的件數(shù)，需要求出滿足不等式需要求出滿足不等式7525x1 200的的x的值的值.如何求呢如何求呢？ 與解一元一次方程類似，我們將根據(jù)不與解一元一次方程類似，我們將根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，進(jìn)行如下步驟：等式的基本性質(zhì)，進(jìn)行如下步驟：將將式移項(xiàng)，得式移項(xiàng)，得 25x 1200- -75，將將式兩邊都除以式兩邊都除以25（即將即將x的系數(shù)化為的系數(shù)化為1），75+25x1200. 即即 25

3、x 1125. 得得 x45.因此，升降機(jī)最多裝載因此，升降機(jī)最多裝載45件件25kg重的貨物重的貨物. 我們把滿足一個(gè)不等式的未知數(shù)的每我們把滿足一個(gè)不等式的未知數(shù)的每一個(gè)值，稱為這個(gè)不等式的一個(gè)一個(gè)值，稱為這個(gè)不等式的一個(gè)解解.結(jié)論結(jié)論例如，例如，5.4，6， 都是都是3x15的解的解. .這樣的解這樣的解有無(wú)數(shù)個(gè)有無(wú)數(shù)個(gè). .193結(jié)論結(jié)論 我們把一個(gè)不等式的解的全體稱為這我們把一個(gè)不等式的解的全體稱為這個(gè)不等式的個(gè)不等式的解集解集.例如例如 我們用我們用x5表示表示3x15的解集的解集. .結(jié)論結(jié)論 求一個(gè)不等式的解集的過程稱為求一個(gè)不等式的解集的過程稱為解不解不等式等式. . 今后我

4、們?cè)诮庖辉淮尾坏仁綍r(shí)，今后我們?cè)诮庖辉淮尾坏仁綍r(shí)，將利用前面講述的不等式的基本性質(zhì)，將利用前面講述的不等式的基本性質(zhì)，將原不等式化成形如將原不等式化成形如x a( (或或xa，xa）的不等式，就可得到原不等式的的不等式，就可得到原不等式的解集解集. .小提示例例1 解下列一元一次不等式解下列一元一次不等式 ：舉舉例例（1） 2- -5x 8- -6x ；（2） .531 32xx 解解（1） 原不等式為原不等式為2- -5x 8- -6x 將同類項(xiàng)放在一起將同類項(xiàng)放在一起即，得即，得 x 6 移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 - -5x+6x 8- -2計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果解解首先將分母去掉首先將分母去掉去括

5、號(hào)，得去括號(hào)，得 2x - -10 + 6 9x 去分母，得去分母，得 2( (x - -5) )+16 9x移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 2x - - 9x 10 - - 6去括去括號(hào)號(hào)將同類項(xiàng)將同類項(xiàng)放在一起放在一起（2） 原不等式為原不等式為531 32 xx合并同類項(xiàng)，得：合并同類項(xiàng)，得： - -7x 4 兩邊都除以兩邊都除以- -7，得，得 x 47 計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果根據(jù)不等根據(jù)不等式性質(zhì)式性質(zhì)3議一議議一議 解一元一次不等式與解一元一次方程的依解一元一次不等式與解一元一次方程的依據(jù)和步驟有什么異同點(diǎn)據(jù)和步驟有什么異同點(diǎn)？ 它們的依據(jù)不相同它們的依據(jù)不相同.解一元一次方程的依據(jù)解一元一次方程的依

6、據(jù)是是等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)，解一元，解一元一次不等式的依據(jù)是一次不等式的依據(jù)是不不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì). 它們的步驟基本相它們的步驟基本相同，都是去分母、去括同，都是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、兩邊都除以未知數(shù)的系兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)數(shù). . 這些步驟中，要特別注意的是：這些步驟中，要特別注意的是：不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須改變不等號(hào)的方向數(shù)，必須改變不等號(hào)的方向.這是與這是與解一元一次方程不同的地方解一元一次方程不同的地方.練習(xí)練習(xí) 1. 解下列不等式：解下列不等式： （1） - -5x 10 ； （2）4x - -

7、3 10 x + 7 . .解解（1） 原不等式為原不等式為 - -5x 10 方程兩邊同除以方程兩邊同除以- -5， x - -2（2） 原不等式為原不等式為 4x - -3 10 x + 7 移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 4x - -10 x 3+7 化簡(jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得 - -6x 53- - 2. 解下列不等式：解下列不等式：（1） 3x - -1 2( (2- -5x) ) ；（2） . .22332x x 解解（1） 原不等式為原不等式為 3x - -1 2( (2- -5x) ) 去括號(hào)，得去括號(hào)，得 3x- -1 4- -10 x移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 3x+10 x 1+4化簡(jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得 13x

8、 5兩邊同除以兩邊同除以13， x 513（2） 原不等式為原不等式為 去分母，得去分母，得 2( (x+2) ) 3( (2x- -3) )去括號(hào)，得去括號(hào)，得 2x+4 6x- -9移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 2x - -6x - -4- -9 化簡(jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得 - -4x - -13兩邊同除以兩邊同除以 - -4， x 13422332 x x 一個(gè)不等式的解集常常一個(gè)不等式的解集常?？梢越柚鷶?shù)軸直觀地表示出可以借助數(shù)軸直觀地表示出來(lái)來(lái).先在數(shù)軸上標(biāo)出表示先在數(shù)軸上標(biāo)出表示2的點(diǎn)的點(diǎn)A則點(diǎn)則點(diǎn)A右邊所有的點(diǎn)表示的數(shù)右邊所有的點(diǎn)表示的數(shù)都大于都大于2，而點(diǎn)，而點(diǎn)A左邊所有的點(diǎn)左邊所有的點(diǎn)表示的數(shù)都小

9、于表示的數(shù)都小于2因此可以像圖那樣表示因此可以像圖那樣表示3x6的解集的解集x2.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋如何在數(shù)軸上表示出不等式如何在數(shù)軸上表示出不等式3x6的解集呢的解集呢？容易解得不等式容易解得不等式3x6的解集是的解集是x2.0123456- -1A 把表示把表示2 的點(diǎn)的點(diǎn) 畫成空心圓圈，畫成空心圓圈，表示解集不包括表示解集不包括2.例例2 解不等式解不等式12- -6x2( (1- -2x) )，并把它的解集在，并把它的解集在 數(shù)軸上表示出來(lái)數(shù)軸上表示出來(lái) ：舉舉例例解解首先將括號(hào)去掉首先將括號(hào)去掉去括號(hào)，得去括號(hào)，得 12 - -6x 2- -4x移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 - -6x+4x 2- -

10、12將同類項(xiàng)放在一起將同類項(xiàng)放在一起合并同類項(xiàng)，得：合并同類項(xiàng)，得： - -2x - -10兩邊都除以兩邊都除以- -2，得，得 x 5根據(jù)不等式基本性質(zhì)根據(jù)不等式基本性質(zhì)2原不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示原不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.- -10123456解集解集x5中包含中包含5，所以在數(shù)軸上將表示，所以在數(shù)軸上將表示5的點(diǎn)畫成的點(diǎn)畫成實(shí)心圓點(diǎn)實(shí)心圓點(diǎn).舉舉例例解解解這個(gè)不等式，得解這個(gè)不等式，得 x 6x6在數(shù)軸上表示如圖所示：在數(shù)軸上表示如圖所示：- -10123456根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得 x +2 013 所以，當(dāng)所以，當(dāng)x6時(shí)，代數(shù)式時(shí)，代數(shù)式 x+2的值大于或等于的值

11、大于或等于0.13 由圖可知，滿足條件的正整數(shù)有由圖可知，滿足條件的正整數(shù)有 1，2，3，4，5，6.例例3 當(dāng)當(dāng)x取什么值時(shí)，代數(shù)式取什么值時(shí)，代數(shù)式 x+2的值大于或的值大于或等于等于0？并求出所有滿足條件的正整數(shù)？并求出所有滿足條件的正整數(shù).13 練習(xí)練習(xí)1. 解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：上表示出來(lái)： （1） 4x - -3 2x+7 ； （2） . .33524x x 解解（1） 原不等式為原不等式為 4x - -3 2x+7 移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 4x- -2x 3+7化簡(jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得 2x 10兩邊同除以兩邊同除以2， x - -2

12、解得解得 y 3 解解- -1012345中考中考 試題試題例例1 去分母，得去分母，得 6+3x4x+2. 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得 x4. . 正整數(shù)解為正整數(shù)解為 1，2，3，4.解解 求不等式求不等式 的正整數(shù)解的正整數(shù)解. .2+2 +123xx 首先求出不等式的解集首先求出不等式的解集.然后求出正整數(shù)解然后求出正整數(shù)解.分析分析中考中考 試題試題例例2 已知已知 且且xy，則，則k的取值范圍是的取值范圍是 . .32 =3 +1 43 =1 xykxyk- -，解解 3- -2，得，得 x = 7k+5 . 將將代入代入 ，得，得 3( (7k+5) )- -2y=3k+1. . 化簡(jiǎn)，整理，得化簡(jiǎn)，整理，得 y=9k+7. . x y， 7k+59k+7. .解之，得解之，得k- -1. .32 =3 +1 43 =1 xykxyk- -. k- -1中考中考