2018-2019學(xué)年上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 1313 頁(yè)2018-2019 學(xué)年上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題、單選題1 1.已知向量a =( -3,4)，則下列能使ei1e2(、:=R)成立的一組向量e,e2 2是()A.A.e =(0,0),2=(-1,2)B.B.G = (-1,3),2= (2, -6)T TC.C.e =(1,2) 0=(3,1)1D.e十打怡=(1,-2)2【答案】【詳解】試題分析：對(duì)于 A A:由于與a =(-3,4)不是平行向量，所以一定不成立;由(-3(-3；4)4)二 2(-2(-卩)+ +“(2-6(2-61 1 二(-Z(-Z + + 2 2 翊-6 6“) )得到-

2、 解，所以不成立;對(duì)于 C C：由 ( ( 4)4) I I - - -得到2所以成立;*電 對(duì)于D2器；話共線，又與a十3,4)不是共線向量，故不成立 故選 C C.【考點(diǎn)】向量的相等.【解析】對(duì)于 B B :2 2 .把函數(shù)f x二cos 2x -1 8的圖像經(jīng)過(guò)變化可得到函數(shù)這個(gè)變化是( )JIJIA.A.向左平移個(gè)單位B.B.向右平移，1616C.C.向左平移3二個(gè)單位3D.D.向右平移1616g x二sin2x的圖像,(個(gè)單位個(gè)單位第2 2頁(yè)共 1313 頁(yè)【答案】B B【解析】 先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)g x =sin2x轉(zhuǎn)化為余弦型的函數(shù)，再根據(jù)圖像變換 的知識(shí)判斷出正確選項(xiàng) 【詳解

3、】【點(diǎn)睛】 本小題主要考查三角函數(shù)圖像變換，考查誘導(dǎo)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法, 屬于基礎(chǔ)題. .3 3 .設(shè)Sn是無(wú)窮等差數(shù)列 牯的前n項(xiàng)和（n e N*）,則存在”是 該數(shù)列公差 d d = = 0 0 的（）A.A.充分非必要條件B.B.必要非充分條件C.C.充要條件D.D.既非充分也非必要條件【答案】A A【解析】若Sn是無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和（n壬N*）,若存在”，則必有Sn- 0恒成立，即- 0, d - 0，充分性成立，若 d d = = 0 0，則是常數(shù)數(shù)列，例如an= 2時(shí)，Nm Sn不存在”，即必要性不成立，所以“im&存在”是該數(shù)列公差d =0的充分非

4、必要條件，故選 A.A.4 4 .已知等比數(shù)列”二的前n項(xiàng)和為Sn,則下列判斷一定正確是（）【解析】利用排除法:依題意g x =sin 2x =cos上，故162x吟向右平移個(gè)單位得到163n=cos 2xA A .若S30，則a20180C C .若a2- a1，則a2019 a2018【答案】D DB B.若S3：0，則a20180D D .若丄a21，貝y a2019aa12018，由故選：B.B.2第 3 3 頁(yè)共 I3I3 頁(yè)考查等比數(shù)列：._nai=i,a2 = -2,a3=4, 11 | , an二-2,滿足S30，但是a2018: 0，選項(xiàng) A A 錯(cuò)誤;滿足S3：0，但是a2

5、0i8- 0，選項(xiàng) B B 錯(cuò)誤;該數(shù)列滿足a2 - ai，但是a20i9 : 0：a20i8，選項(xiàng) C C 錯(cuò)誤;本題選擇 D D 選項(xiàng) 二、填空題n 2n lim2n4n i【答案】先將 二2丄 分離常數(shù)，然后按照極限的求法，計(jì)算出所求的極限4n +i【詳解】本小題主要考查極限的計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,26 6函數(shù)f(x) = x(xI)的反函數(shù)是 _. .【答案】f 4 X；= 一崢X X一I【解析】 根據(jù)反函數(shù)的求法，求得原函數(shù)的反函數(shù)的解析式并求出定義域【詳解】令y=x2x-T,y-I，解得x = - y y一i,交換x, y的位置得科二 -、*x一I,所以函數(shù)f x =

6、 x2x-T的反函數(shù)是fJ x =-、.x x-i. .故填：L x = rX x-i. .【點(diǎn)睛】n_3考查等比數(shù)列:aia a2=2 ,a3，川，an二-15 5 計(jì)算:【解析】依題意,2 4n i=limn :丄丄n 2n24丄n2 2故填:2【點(diǎn)睛】屬于基礎(chǔ)題第4 4頁(yè)共 1313 頁(yè)本小題主要考查反函數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題. .*彳447 7 已知a=(3k,3卜b =(6,k7卜若 a a 丄 b b，則實(shí)數(shù)k的值為_，【答案】丄5【解析】 根據(jù)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得k的值 【詳解】由于a_b，所以-6 3k 3 k -7 =0,解得k =-.5故填：5【點(diǎn)睛】本小

7、題主要考查兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題8 8已知向量e= 1,2，則與向量e平行的單位向量為 _ . .，或eo -a【解析】 與向量a平行的單位向量為士希,a【詳解】，或eo -【點(diǎn)睛】本小題主要考查與向量平行的單位向量的求法，屬于基礎(chǔ)題mZ的圖像與坐標(biāo)軸沒(méi)有公共點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為【答案】-1,1,3【解析】 首先根據(jù)幕函數(shù)f x圖像與坐標(biāo)軸沒(méi)有公共點(diǎn)列不等式，結(jié)合函數(shù)f x關(guān)于y軸對(duì)稱，求得m的取值范圍 【詳解】2由于幕函數(shù)f X二xmmZ的圖像與坐標(biāo)軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以由此求得與向量e平行的單位向量 依題意可知與向量e平行的單位向量為耳亠 A(452亦, 5 529 9

8、幕函數(shù)f X =Xm2第5 5頁(yè)共 1313 頁(yè)m2_2m_3乞0= -1空m3= m11,0,1,2,3?，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故分別代第6 6頁(yè)共 1313 頁(yè)入檢驗(yàn)可知：m -一1,1,3滿足;故填：-1,1,3【點(diǎn)睛】本小題主要考查幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查幕函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題1010.已知函數(shù) f f x x =log=log2X-mX-m 的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】m _ -1【解析】 根據(jù)函數(shù) f f x x =log=log2x-mx-m 的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限得到f 0 _0，解不等式 求得m的取值范圍. .【詳解】由于函數(shù) f f x x TogT

9、og?x x -m-m 的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限，所以f 0 _0，即log2-m _ 0 = Iog2l，所以m _ 1,m _ -1. .故填：m _【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題1111.設(shè)lim -1 =a，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是 _. .y 13-r丿【答案】r 2【解析】根據(jù)指數(shù)幕有極限的條件列不等式，解不等式求得r的取值范圍【詳解】由于lim1-丨=a，即極限存在，故-蘭1，即一1蘭-蘭1,廠.3-r|3 -r3-r解得r乞2.故填：r乞2. .【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)幕有極限的條件，考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分式不等式的解第 6 6

10、 頁(yè)共3 3 頁(yè)法，屬于中檔題r1212.已知a =(1,-2), b =(1,k)，若a與b的夾角為銳角，貝V實(shí)數(shù)k的取值范圍是【答案】( 、k -2 U -2,1 2丿【解析】 根據(jù)兩個(gè)向量的夾角為銳角，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列不等式組，解不等式組求得k的取值范圍 【詳解】IIIIII設(shè)a與b的夾角為“由于向量a與b的夾角為銳角，故co 0，且向量a與b不同-2kIcos9 =- ,向，即日式0.所以 bn)值范圍是_ ; ;【答案】-5,-3】.【解析】試題分析：數(shù)列Cn是取an和bn中的最大值，據(jù)題意C5是數(shù)列G的最小項(xiàng)，第9 9頁(yè)共 1313 頁(yè)5第1010頁(yè)共 1313 頁(yè)由于函

11、數(shù)y=25是減函數(shù)，函數(shù)y=nk是增函數(shù)，所以da5b6或a5乞b5a4,即525 J 6 k或25J5 k乞25，解得一5豈k乞一4或一4豈k豈一3，所以-5 k-3.【考點(diǎn)】 分段函數(shù)與數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的最小項(xiàng)問(wèn)題.三、解答題T 斗 T 呻1耳1717.在QAB中，設(shè)A =aOB=bM、N分別是A、OB上的點(diǎn)，且OMXa，【答案】OP-a -b55【解析】 過(guò)點(diǎn)M作MH /OB，利用平行線分線段成比例，以及向量加法和減法的線性運(yùn)算，用向量a、b表示出OP. .【詳解】過(guò)點(diǎn)M作MH /OB，如下圖:ON，設(shè)AN與BM相交于點(diǎn)P，試用向量ab表示OP. .5第1111頁(yè)共 1313 頁(yè)OP

12、 =0N N-OB - N-OB - NB B-OB - NB OA OB252525第1212頁(yè)共 1313 頁(yè)則O?5【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法和減法的線性運(yùn)算，考查平面向量的基本定理的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題 1818 .已知函數(shù)f x = 2cos2x 、.3sin2x1,(1)求函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求滿足f x =1且I-二，二I的x的集合. .二二2二【答案】xk二，k二,k Z;x-二，,0,，二IL 3633【解析】(1 1)利用降次公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f x的解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的求法，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間n(2)根據(jù)

13、x的取值范圍，求得2x6的取值范圍，進(jìn)而求解出f八1的解集【詳解】(1)y = cos2x 、.3sin2x=2sin 2x ，則單調(diào)遞增區(qū)間為:I 6丿nn nI nir2k 9玄2x _ 2k： =xk二，k二,kZ;262- 3n |11 n(2)由于X，I-二，二丨，所以2x,6 6r所以x-二【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用降次公式、輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),法，考查三角方程的求法，屬于中檔題 13n. .因?yàn)閒 x=1，所以f f丄兀sin I 2x I 61n2由2xn2x6n11n7n n5n13n考查三角函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的求第1313頁(yè)共 1313 頁(yè)佃.已知數(shù)列Sn f的前n項(xiàng)和為Sn

14、，且Sn= n - 5an- 85n N. .(1(1)設(shè)數(shù)列*n滿足bn =an T n，N*，證明：數(shù)列是等比數(shù)列;第1414頁(yè)共 1313 頁(yè)(2(2)求n為多少時(shí)，Sn取得最小值?【答案】(1)(1)見解析；(2)(2)n =14【解析】S, n = 1(1 1)利用an,求得6an=5an1，利用配湊法得到JSn_ Sn,n2(2(2)利用(1 1)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列1an /的單調(diào)性和正負(fù)號(hào)，確定出當(dāng)n =14時(shí)，Sn取得最小值【詳解】(1)當(dāng)n =1時(shí)，ai= 15ai85, ai= -14，當(dāng)n _ 2時(shí),Sn_Snd n-5an：；：n _1 5

15、an=an一6an二5an_11，5所以bn _an -1_6anJ66anJ _1=5，故數(shù)列Ibn?是首項(xiàng)為_65b =6 -1 =一15，公比為一的等比數(shù)列;6單調(diào)遞增數(shù)列，由an乞o，即1 _15 5nJ-0,16丿時(shí)，不等式成立 所以當(dāng)n =14時(shí)，Sn取得最小值. .【點(diǎn)睛】 本小題主要考查已知Sn求an，考查配湊法求數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題. .2020 .已知函數(shù)f x i；= 2X a 2二aR. .(1(1)討論函數(shù)f X的奇偶性;(2 2)設(shè)函數(shù)g X = 3 2X4,若關(guān)于X的不等式f x g x有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的 取值范圍. .【答案】(1 1)詳見解析；(2 2)

16、a 0. .bn _an-1bn 1an 1_ 1-，由此證得數(shù)列是等比數(shù)列6an 4-1an J一15由1)知bn，所以an十15 5n6，由于數(shù)列an?是1_ ，經(jīng)驗(yàn)證可知，當(dāng)n 1415考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,1第1515頁(yè)共 1313 頁(yè)和1”恥2三種情況，-2-2 列不等式組,由此求得q的取值范圍【解析】(1 1 )對(duì)a分成a =1,a - -1,a三二1三種情況，禾U用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性. .(2 2)將不等式f x .g x分離常數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的取值范圍. .【詳解】(1 1)分類討論：1當(dāng) a=1a=1 時(shí)，f x = 2x-2，f -x =2公，2 2

17、x x= =f x，所以f x為偶函數(shù)；2當(dāng)a=1時(shí)，f xi；= 2x_2；f x=2-2x=-f x，所以f x為奇函數(shù);xxxx3當(dāng)a =二1,f x = 2 a 2，f -x = 2 a 2，由于a =二1，故f -X =_f x，所以f x為非奇非偶函數(shù)；(2 2)依題意，由fx ，g x得，20- .3 2 4，即a , 224 22min2對(duì)于函數(shù)y =2t 4t t 0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知y，所以a 0. .【點(diǎn)睛】本小題主要考查判斷函數(shù)的奇偶性，考查不等式成立問(wèn)題的求解策略，屬于基礎(chǔ)題. .2121 設(shè)數(shù)列曲的前n項(xiàng)和為Sn，若乞也乞2 n N*，則稱訂是 緊密數(shù)列”2a

18、n(1)若數(shù)列 玄匚的前n項(xiàng)和為Snn23n nN*，判斷l(xiāng)aj是否是 緊密數(shù)4列”，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)數(shù)列：an是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列n與 g 都是緊密數(shù)列”，求q的(1(1)利用 a an二Sn一1，求得數(shù)列 - Sn 4,n乏22行一2，由此證得堤緊密數(shù)列”.(2)先根據(jù)aj是 緊密數(shù)列”，求得q的一個(gè)取值范圍 對(duì)于S.對(duì)q分成q=1、【答案】(1)(1)：an是 緊密數(shù)列”理由見解析 【解析】的通項(xiàng)公式，再證得第1616頁(yè)共 1313 頁(yè)1(3【詳解】(1(1)由數(shù)列 iaian的前 n n 項(xiàng)和Sn=丄n243n nN，得S,n=11,n飛Sn,n_2= In 2,n _2所以，苑an1彳12 2_1 1n -2=1 ，1因?yàn)閷?duì)任意0 :n 112131