第一部分第二章§11.2 余弦定理

1、1.2理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練1正弦定理與余弦定理考點(diǎn)一考點(diǎn)三4考點(diǎn)二第二章第一頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第二頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回1 正弦定理與余弦定理正弦定理與余弦定理第三頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回1.2 余弦定理余弦定理第四頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第五頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 如圖如圖,在在ABC中中,設(shè)設(shè) a, b, c 問(wèn)題問(wèn)題1：如果：如果C90,如何求如何求AB邊的長(zhǎng)？邊的長(zhǎng)？ 提示：利用勾股定理求提示：利用勾股定理求AB的邊長(zhǎng)的邊長(zhǎng)CB ABCAAB 第六頁(yè)，編輯于星期一：二十一

2、點(diǎn) 二十七分。返回 問(wèn)題問(wèn)題2：當(dāng)：當(dāng)C90時(shí)時(shí),如何用向量的數(shù)量積表示如何用向量的數(shù)量積表示AB邊邊的長(zhǎng)？的長(zhǎng)？ 提示：提示：|c|2cc(ab)(ab)a22abb2a2b22|a|b|cos C. c2a2b22abcos C. 問(wèn)題問(wèn)題3：能否用同樣的方法求：能否用同樣的方法求AB、AC的長(zhǎng)嗎？結(jié)論是什的長(zhǎng)嗎？結(jié)論是什么？么？ 提示：能結(jié)論：提示：能結(jié)論：a2b2c22bccos A b2a2c22accos B.第七頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回余弦定理余弦定理文字文字語(yǔ)言語(yǔ)言三角形任何一邊的平方等于三角形任何一邊的平方等于 減減去去 的兩倍的兩倍符號(hào)符號(hào)語(yǔ)言語(yǔ)言a2 b

3、2 c2 其他兩邊平方的和其他兩邊平方的和這兩邊與它們夾角的余弦的積這兩邊與它們夾角的余弦的積b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C第八頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 1余弦定理揭示了三角形的三邊與一角的關(guān)系余弦定理揭示了三角形的三邊與一角的關(guān)系,也是解三角形的重要工具也是解三角形的重要工具 2當(dāng)三角形的某一內(nèi)角等于當(dāng)三角形的某一內(nèi)角等于90時(shí)時(shí),余弦定理就變成了勾余弦定理就變成了勾股定理股定理,所以勾股定理是余弦定理的特殊情況所以勾股定理是余弦定理的特殊情況,余弦定理是勾股余弦定理是勾股定理的推廣定理的推廣第九頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分

4、。返回第十頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第十一頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第十二頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 1兩邊及夾角解三角形兩邊及夾角解三角形,方法有兩種：方法有兩種： 方法一：利用余弦定理求出第三邊；利用正弦定理方法一：利用余弦定理求出第三邊；利用正弦定理求出一個(gè)角；利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角求出一個(gè)角；利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角 方法二：利用余弦定理求出第三邊；利用余弦定方法二：利用余弦定理求出第三邊；利用余弦定理求出一個(gè)角；利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角理求出一個(gè)角；利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角第十三頁(yè)，編輯于

5、星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 2兩邊及一邊的對(duì)角解三角形兩邊及一邊的對(duì)角解三角形,方法有兩種：方法有兩種： 法一是利用余弦定理法一是利用余弦定理,列出關(guān)于列出關(guān)于a的一元二次方程的一元二次方程,從而解出從而解出a,然后用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理解出角然后用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理解出角A、C. 法二是直接利用正弦定理求出角法二是直接利用正弦定理求出角C,進(jìn)而求角進(jìn)而求角A及邊及邊a.第十四頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回答案：答案：B第十五頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第十六頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥解答此題可由余弦定理求出角的余

6、解答此題可由余弦定理求出角的余弦值弦值,進(jìn)而求得各角的值進(jìn)而求得各角的值第十七頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 一點(diǎn)通一點(diǎn)通三角形三邊求角可先用余弦定理求解三角形三邊求角可先用余弦定理求解,再用正再用正弦定理求解用正弦定理求解時(shí)弦定理求解用正弦定理求解時(shí),要根據(jù)三邊的大小確定角的大要根據(jù)三邊的大小確定角的大小小,防止產(chǎn)生增解或漏解防止產(chǎn)生增解或漏解第十八頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第十九頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回答案：答案：D第二十頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第二十一頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 例例3(12分分)在在ABC中

7、中,(abc)(abc)3ab,且且2cos Asin Bsin C,試確定試確定ABC的形狀的形狀 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥充分運(yùn)用正弦定理和余弦定理充分運(yùn)用正弦定理和余弦定理,可利用邊的關(guān)系判可利用邊的關(guān)系判斷斷,也可轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來(lái)判斷也可轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來(lái)判斷 第二十二頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第二十三頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回所以所以ab. (6分分)又因?yàn)橛忠驗(yàn)?abc)(abc)3ab,所以所以(ab)2c23ab.所以所以4b2c23b2.所以所以bc.所以所以abc.因此因此ABC為等邊三角形為等邊三角形 (12分分)第二十四頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn)

8、二十七分。返回法二：利用角的關(guān)系來(lái)判定法二：利用角的關(guān)系來(lái)判定因?yàn)橐驗(yàn)锳BC180,所以所以sin Csin (AB) (2分分)又因?yàn)橛忠驗(yàn)?cos Asin Bsin C,所以所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B,所以所以sin (AB)0. (6分分)因?yàn)橐驗(yàn)锳、B均為三角形的內(nèi)角均為三角形的內(nèi)角,所以所以AB.第二十五頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回第二十六頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 1判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀,可以從考察三邊的關(guān)系入手可以從考察三邊的關(guān)系入手,即把條件中的即把條件中的“邊角關(guān)系利用正弦定理或

9、余弦定理轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為為“邊邊關(guān)系邊邊關(guān)系,進(jìn)行判斷；也可以從三個(gè)角的關(guān)系入手進(jìn)行判斷；也可以從三個(gè)角的關(guān)系入手,即即把條件轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系把條件轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系,結(jié)合內(nèi)角和定理作出判斷結(jié)合內(nèi)角和定理作出判斷 2判斷三角形形狀時(shí)要注意判斷三角形形狀時(shí)要注意“等腰直角三角形與等腰直角三角形與“等腰或直角三角形的區(qū)別等腰或直角三角形的區(qū)別第二十七頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回7假設(shè)在假設(shè)在ABC中中,acos(BC)bcos(AC),那么那么ABC一一 定是定是 () A等邊三角形等邊三角形 B等腰三角形等腰三角形 C等腰或直角三角形等腰或直角三角形 D直

10、角三角形直角三角形第二十八頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回答案：答案：C第二十九頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回答案：答案：A第三十頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 1余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律,也是解三角形的重要工具也是解三角形的重要工具 (1)在余弦定理中在余弦定理中,每一個(gè)等式均含有四個(gè)量每一個(gè)等式均含有四個(gè)量,利用方程的觀利用方程的觀點(diǎn)點(diǎn),可以知三求一可以知三求一 (2)余弦定理也為求三角形的有關(guān)量余弦定理也為求三角形的有關(guān)量(如面積、外接如面積、外接圓、內(nèi)切圓等圓、內(nèi)切圓等)提供了工具提供了工具,

11、它可以用來(lái)判定三角形的形它可以用來(lái)判定三角形的形狀狀,證明三角形中的有關(guān)等式證明三角形中的有關(guān)等式,在一定程度上在一定程度上,它比正弦定它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛理的應(yīng)用更加廣泛第三十一頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 2根據(jù)余弦定理根據(jù)余弦定理,可得以下結(jié)論：可得以下結(jié)論： 在在ABC中中,設(shè)設(shè)A為最大角為最大角,假設(shè)假設(shè)a2b2c2,那么那么0A90,且三角形為銳角三角形；反之且三角形為銳角三角形；反之,假設(shè)假設(shè)0A90,那么那么a2b2c2. 第三十二頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 在在ABC中中,假設(shè)假設(shè)a2b2c2,那么三角形為直角三角形那么三角形為直角三角形,

12、那么那么A90；反之；反之,假設(shè)假設(shè)A90,那么那么a2b2c2. 在在ABC中中,假設(shè)假設(shè)a2b2c2,那么那么90A180,那么三角形為鈍角三角形；反之那么三角形為鈍角三角形；反之,假設(shè)假設(shè)90A180,那么那么a2b2c2. 第三十三頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 3判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考行思考,依據(jù)條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)依據(jù)條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí),主要有如下兩條主要有如下兩條途徑：途徑： (1)利用正、余弦定理把條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系利用正、余弦定理把條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過(guò)因式分解、通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀；從而判斷三角形的形狀；第三十四頁(yè)，編輯于星期一：二十一點(diǎn) 二十七分。返回 (2)利用正、余弦定理把條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間利用正、余弦定理把條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角